工程力学80学时总复习

受力分析（常见约束力画法及二力杆受力特点），十静力学－／列平衡方程

解平衡方程，

求得约束力

简易法画杆件内力伤基本变形下杆件内力、应力、变形分析及强度和刚度条件组合变形下杆件的强度分析材料力学I点的应力状态分析及强度理论压杅稳定计算材料在拉仲和压缩时的力学性能

平面图形（截面）的几何性质《静力学》要点1受力分析（常见约束力画法及二力杆受力特点）3解平衡方程，求得约束力2列平衡方

0

OM

0

0

程

Fx

Fy常见约束及约束力的画法固定支座和辊轴支座固定端约束BFBBF

二力杆受力画法、特殊力系约束力画法力的平移条件BC段必须为刚体BC段必须为刚体力的平移定理作用在刚体上点A的力F可以平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩.MB

MB

(F

)

FdMM平面一般力系简化的最终结果3合力FR=F'R，作用线过O点。2平衡状态（力系对物体的移动和转动作用效果均为零）。一个合力偶，M=MO。4情况

向O点简化的结果分类1主矢F‘RF'R=0主矩MOMO=0F'R=0MO0F'R0MO=0F'R0MO0一个合力，其大小为FR=F'R，yO力系简化的最终结果（与简化中心关系）FRhMFROx作用线到O点的距离为h=|MO|/F'RFR在O点哪一边，由MO符号决定平面任意力系向一点简化的最后结果有三种可能：①一合力偶；②一合力；③平衡力系。

MO

Fx

0

F

0

0y平面任意力系的平衡的充要条件★平面一般力系，每取一次研究对象，最多只能列三个独立平衡方程，只能求解三个未知数。★如果平面力系由n个刚体组成，则最多可列3n个独立平衡方程，可解3n个未知数。OF

R

0

M

0平面任意力系的平衡方程（一般式）

0

0

0BA

M

M

Fx二矩式两个取矩点连线，不得与投影轴垂直三矩式

0

0

0CBA

M

M

M三个取矩点，不得共线★

可以思考：平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系分别对应的平衡方程及能求解的未知数？静定与超静定（静不定）问题的概念当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）静定超静定静定超静定静定超静定平面简单桁架的内力计桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结它在受力后几何形状不变。节点：桁架中杆件的铰

头。关于平面桁架的几点假设：1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；2、杆件与杆件间均用光滑铰链连3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；4、各杆件自重不计或平均分布在节点上。理想桁架桁架中每根杆件均为二力求平面桁架中杆内力方法：节点法和截面法⒈节点法截取桁架的节点为研究对象，逐个分析其受力和平衡，从而求得全部杆件的内力。B256789101113AFAx3D

4FCC1FAyFB12FN1FAyFAx

AFn2F2

DFN3FN4FCCFN1FN3FN6FN5B3567892

1011FAAxD

4

13FCC1FAyFB12FN1FAyFAx

AFn2DF2FN4FN3

FCCFN1F

FN3FN6FN5用节点法求平面桁架中杆内力的步骤为：⑴研究整体，求约束力。⑵选取节点，画受力图。假定杆内力为拉力。⑶从含已知力且只有二杆受力未知的节点开始，逐一列平衡方程求解。若求得的结果为负，则是压力。求约束力FAx、FAy

由A节点平衡求FN1、FN2由D节点求FN3、FN4

由

C节点求FN5、FN6

⑵任取一截面，截取部分桁架作为研究对象，画受力图。杆内力假定为拉力。⑶列平衡方程求解。因为作用在研究对象上的是平面一般力系，可以求解三个未知量。截面法求解桁架问题时，不需逐个节点分析，其分析方法可归纳为：⑴研究整体，求约束力。⒉截面法例已知:P=10kN,尺寸如求:

桁架各杆件受力.解:取整体，画受力图.

0

Fx

MB

Fy

0

0FBx

02P

4FAy

0

FBy

P

0FAyFAy

5kNFBy

5kNF2

8.66kN

(拉)F

F

cos

300

02

1xF1

10kN

(压)F

F

sin

300

0Ay

1y

F

0

F

0取节点A，画受力图.取节点C，画受力图.x1F sin

6004

F

'

sin

600

0yF

0F

004'13

F

F

F

cos60

0F4

10kN(压)F3

10kN

(拉)取节点D,画受力图.x

F

0F

F

'

05

2F5

8.66kN(拉)已知:

PE

10kN,

PG

7kN,各杆长度均为1m;求:1,2,3杆受力.解:取整体,求支座约束力.

Fx

0

MB

Fy

0

0FAx

02PE

PG

3FAy

0AyF

9kNFAy

FBy

PE

PG

0FBy

8kN用截面法,取桁架左边部分.E

M

0

F1

1cos

300

FAy

1

0y

F

0F

F

sin

600

P

0Ay

2

EF1

10.4kN(压)

F

0x

1

3F

F

F

cos

600

02F2

1.15kN(拉)F3

9.81kN(拉)以下情况可直接判断零杆：①节点连接两根不共线的杆件，节点上无外载荷，两根杆件为零杆；②节点连接两根不共线的杆件，节点上外载荷沿其中一杆件，另一根杆件为零杆；③节点连接三根杆件，两根杆件共线，节点上无外载荷，第三根杆件为零杆。凡受力为零的杆件称为零杆。解：（1）求支座约束力11122BFRBAFRAFRA

100kN(

)

FRB

100kN(

)（2）取1-1截面左侧为研究对象，画受力图。列平衡方程AFRAFNa100kN

0

FyF

100

F sin

0

F

0RA

Na

Na（3）取2-2截面左侧为研究对象，画受力图。列平衡方程y

F

05

4

0FRA

FNbFNb

125kN(受拉）RAFFNbA求a、b杆受力解：（1）求支座约束力2RBAyF1ABFAxF（2）取节点A为研究对象，画受力图。列平FAy

3

FP

(

)2PRB3F

5

F

(

)FAx

FP

(

)AyFAx

AFN

1Fy衡方程

F

0

FAy

0FN

1P32N

1F

FII（3）取I-I截面上侧为研究对象，画受力图。列平衡方程

0

MOFN

1

d

FP

d

FN

2

2d

01FN

2

6

FPFNb

0.5FP

0

FxF

cos

45

F

0N

3

P

Fy

0

F

F

F

sin

45

F

0N

1

Nb N

3

N

2PFN

3

2FFN

1FNbFN

2OFN

3AyFBFRBAxFFAyFAx

A1A2N

1FIIFN

1FNbFN

2O（4）取节点B为研究对象，画受力图。列平衡方程FRBBFN

2FNay

F

0F

F

FRB

Nasin

45

0N

2PNa2F

3 2

F

(压）N

2F

1

FP

RB

P6

3F

5

F

(

)巨l」飞Tf

1P『．，`、F《材料力学》复习要点一、杆件内力图拉伸压缩变形—轴力图扭转变形—扭矩图弯曲变形—剪力图及弯矩图简易法画杆件内力图小结：RBMCACRAyFs１．内力的正负与x坐标轴正向的选择没有关系．２．内力图是一封闭图形，从轴线的一端（内力为0)开始，一定要回到轴线另一端(内力为0)。３．若从杆的左端开始画图，研究对象是杆件的左侧段，截面在右边，所有外力均作用在截面的左边．若从杆的右端开始画图，研究对象是杆件的右侧段，截面在左边，所有外力均在截面的右边．(如图，黑色为外力，蓝色为内力）PFsMxFN

(

kN

)6030⊕20⊕⊕2040maxFN

60kNmaxNF

40kNxFN

(

kN

)轴力图：不管从杆的左端开始画图还是从杆的右端开始画图，只要轴向外力箭头方向背离截面，轴力向上（正向）画，如果是集中力，就向上（正向）突变，如果是分布力，就向着正向逐渐变化。其变化值就等于力值。画扭矩图：扭矩图为一封闭图形，在有集中外力偶处，扭矩值一定ABC

D会有突变。当外力偶矩矢（右手大拇指）背离截面时，扭矩图会往正向（上）突变，反之，往下突变。40kN.m

10kN.m

10kN.moxABDxT

/(

kN

m

)20C

1020T

20kN

.mmax弯曲剪力、弯矩与外力间的关系

x

q

xdF

S

dxSdxdM

(

x

)

F

(

x

)dM

2(x)

q(x)dx2对称性与

称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Fs图称，M图对称；对称结构在

称载荷作用下，Fs图对称，M图

称。平面弯曲梁剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段

均布载荷段

集中力集中力偶q=0q>0q<0FS图特征M图特CFCm水平直xFSFSx斜直xFSxFS增函数

降函数FSCxFS1FS2FS1–FS2=FxFSC自左向右突变

无变化FS

>0

FS

<0斜直线x征MxM增函数

降函数曲xMxM伞状

盆状自左向右折角自左向右突变x

与mM折向与F反向反MxM1M2M1

M2

m简易法画剪力、弯矩图首先要求约束力，箭头画在原图上（受力图）。剪力图用浮点法，从左至右跟力走。弯矩图却正朝下，图中免标正负号，弯矩画在受拉侧，凸向取决分布力。弯矩M为正，画在基线（轴线）下方弯矩M为负,画在基线（轴线）上方用简易作图法画图示梁的内力图。解（1）求约束力2

qa

2F

qa

;

FRDRAqa2qaFRAqa/2qa/2––AqBC

DFRD2qa

/2FS图M图qa2/23qa2/8AABqa/2B

+Cqa2/2CDDaaa（2）画内力图剪力图按浮点法直接作（最好从左边开始画）。弯矩图：先根据AM

02qa2BM

83qa2M极值

2qa

2ML

C

22M

RC

qaDM

022112maxmaxqa,

M

qaFS

dx

dx

S

q(x)2d

2

M(

x

)

dF

(

x

)微分关系判断各段图线趋势，再根据面积增量法求各控制面的弯矩值，最后连点作图。AB斜直线BC抛物线（下凸）C处弯矩突变CD斜直线试作图示结构中各杆的内力图。其中BK=KA=CE=ED=a，M=2qa2，F=qa。拉

（压）平面弯曲内力应力变形FNFN

>

0x—杆轴AT

>

0x—杆轴ATAFsMM

>

0x—平行于杆轴Fs>0xA

FN

(

x

)Ll

EA(

x)l

FN

(

x)dxO

T

WPT

I

p

(

)

,max

I

zMy

x

xbIzF

S

y

s

z

yABTGIpABdxLAB

xEI

(

x

)

M

(

x

)二、基本变形扭

转拉

（压）扭转平面弯曲强度条件刚度条件max

[

]FAmin

N

maxN

max[

]F

A[

]max

[]|T

|

Wpmax[

]PmaxT

W [

]M

max

max

[

]

max

[]Wz

[

]max

zM

W

[

]max

[

]

max

[

]

L

L|

|

max内力计算（截面法）以A点左侧部分为对象，A点的内力由下式计算：(其中“Fi、Fj”均为A

点左侧部分的所有外力)拉压FN

A

Fi

(

)

Fj

(

)扭转T

Mi

(

)

Mj

(

)A平面弯曲FSA

Fi

(

)

Fj

(

)M

m

(F

)

m

(F

)

A

A

i

A

j作图示杆的轴力图G图示锥形圆轴，承受外力偶

Me作用，材料的切变模量为。试求两端面间的相对扭转角。MeMe

balld

(x)

2

a

b

a

x

32lM

e

dx0

πG

d

4

(x)

1πGl4

dxl0

a

b

a

x

2M

e

2M

el(b

2

ab

a2

)3πGa3b3

Ga相等，试求

dB

/

dA

?圆管A套在圆杆B上，将二者焊在一起，它们的切变模量分别为和Gb，当管两端作用外力偶矩Me时，欲使杆B和管A的maxTa

Tb

M

eAB

Tal

TblGIp

AGIp

BA

P

A

B

p

BM

eGA

Ip

ATa

G

I

G

IbM

eGB

IP

BT

GA

Ip

A

GB

IpB

A,

max

B,

maxTadA

/2

TbdB

/2Ip

A

Ip

BdB

GAdA

GB即,ABlMedB

dAMe示尺寸，L曲矩图己，若已，m一应：-=lkNF

1l3FAy,_=

_:_k-．一如图示悬臂梁，其受力、尺寸及截面形心C的位置

，已知截面对形心轴z的惯性矩Iz，半截面的静矩为Sz。试：⑴作出的剪力图和弯矩图；⑵求梁

截面上腹板和翼缘交界处的正应力及

截面上最大正应力；⑶求梁

截面上最大切应力。[例]图示T形截面铸铁外伸梁,其许用拉应力[σt]=30MPa,许用压应力[σc]=60

MPa。已知截面对中性轴的惯性矩Iz=25.9

X10-6m4，试求梁的

均布载荷[q]。解：⑴求支座约束力，作内力图截面B、D

都有可能为截面B:上下边缘点都是可能的点I

Itz

z30

106

25.9

106t

max

[

]

MB

y1

0.5q

y1RA

RBF

0.75q

,

F

2.25q截面10.5

y[

]

Iq

t

z

0.5

48

10

3

32.4103

N

/

m

32.4kN

/

m①yzFRARBFI

Icz

zc

max

[

]

MB

y2

0.5q

y220.5

y[

]

Ic

zq

60

106

25.9

1060.5

142

10

3

21.9

103

N

/

m

21.9kN

/

m截面D:下边缘点是

点I

Itz

zt

max

[

]

MD

y2

0.281q

y2q

[

t]

I

z

0.281

y2660.281

142

10

33010

25.9

10②③yz

19.5

103

N /

m

19.5kN

/

mq

32.4kN

/

mq

21.9kN

/

mq

19.5kN

/

m均布载荷[q]=19.5kN/m若有必要，再进行切应力校核I

tFmaxz

9.5MPa

[

]

S

B

z

max

(

[

]

0.8

~

1.0[

]

)t1.25

19.5

103

20

142

7110925.9

106

20

103

S*如果将截面倒置，则点在B

截面受I

Itzzt

max拉侧(上侧)

[

]

MB

y2

0.5q

y2比较①②③式，得yz0.5

y2(

N

/

m

)

10.9kN

/

mq

[

]

I

t

z0.5

142

10

330

106

25.9

10

6三、平面弯曲变形1.微分方程的积分EI

(

x

)

M

(

x

)EI

EI

(

x )

(

M

(

x

))

d

x

C

1EI

(

x

)

(

(

M

(

x

))dx

)dx

C

1

x

C

2积分常数C1、C2由边界条件确定。位移边界条件PABC

D

0

D

0支点位移条件：

A

0

B

0

C光滑条件：C

C连续条件：

CPDABCMPABCDKBAPCBAPCD写出如下四图的边界条件和光滑连续条件载荷叠加结构形式叠加（逐段刚化法）2.按叠加原理求梁的挠度与转角载荷叠加C

C

1

C

2A

A1

A2P=BAPqACB+ABq逐段刚化法原理说明B

1

2B

1

2L1

L2ACCPL2B

x12P

L2ACM

BPB

x

=+L1解：⑴建立静定基确定超静定次数，用约束力代替多余约束所得到的结构——静定基。=LA

EIqBLMAqBALAqBFRBx处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。ω用变形比较法解简单超静定梁⑵几何方程——变形协调方程

0BFRB

B

Bq+LFAqBRB=ABFRBAqB⑶物理方程——变形与力的关系⑷补充方程BF

RBBq8

EI

FRB

L33

EI

;

qL

48EI

3EIqL4

FRB

L383qLRB

0

F

⑸求解其它问题（约束力、应力、变形等）⑵几何方程——变形协调方程BCB

LBq BF

B=[例]

结构如图，求BC杆所受力。解：⑴建立静定基EAxωABFBCLBCqLAqBFBEI=ABFB+AqBEIL=EAxfLABFBCLBCqBABF+AqB⑶物理方程——变形与力的关系⑸求解其它问题（约束力、应力、变形等）BFBBqqL4

F

L3

B8EI

3EI

;EA

B

B

BC

F

L3

F

L8EI

3EI⑷补充方程qL4L

8I(BCA

3IL3qL4

)

FB

EABC

FB

LBCL为

；截面B的转角和挠度分别为

和

。图示等截面梁AC段的挠曲线方程为

2EI

，则该段的转角方程2

M0

x变形协调条件

C

B

l

B

C式中，Fs

为受剪面上的剪A

为受剪面的面积FFmmmmF(b)Fs剪切面铆钉剪切应力F

sA

四、剪切和挤压的实用计算1、剪切（分

剪和双剪剪力

Fs

=

F剪切的强度条件

AF

sFFmmmmF(b)Fs剪切面[]为材料的许用切应力。且n

u极限切应力安全系数2、挤压(挤压是相互的）FFPP挤压面受剪面在接触面上的压力，称为挤压力，并记为

Fbs

。挤压破坏的两种形式12螺栓压扁钢板在孔缘压皱在挤压实用计算中，假设名义挤压应力的计算式为bS

F

bSAbSF

bsA

bs为接触面上的挤压力为计算挤压面的面积dδ挤压现象的实际受力如图

c

所示。图cbSbSF

bSA

bs

当接触面为圆柱面时,计算挤压面积Abs

为实际接触面在直径平面上的投影面积AbS

d

实际接触面直径投影面挤压强度条件PP(b)※注意：1.分清剪切面和挤压面，并能准确计算其面积。2.对于连接件，除了分析剪切和挤压，还要分析板的拉伸。连接件与被连接的接触面为平面时,计算挤压面面积Abs

就是实际接触面的面积，如图b所示。写出图示结构的剪切面积和挤压面积AFBxFFBy解：取杆AB为研究对象，画受力图，列平衡方程。

Fy

FBy

F

15kNB

0

M

0AA

0

FxFBxF

3

F

0.5

0F

4.33kN

FA

4.33kNByBxBF

2

F

2

15.6kNF

s2F

FB

7.8kN根据剪切强条件4Fsd

2

12.4mm4FS

4

7.8

103

3.14

65

106

d

d

14mm五、组合变形组合变形的研究方法

——

叠加原理①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿主惯性轴分解②内力分析：分析每一种基本变形，画其内力图，确定③应力分析：画面。面应力分布图，叠加，建立点的强度条件。yzLxP1yxxz

FN拉伸(压缩)与弯曲的组合拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。P2MzFN

N

N

max

M

Mz

FNMz

M

maxWz

A强度条件：maxz

Mz

FNWA

[

]双对称轴梁非对称弯曲(斜弯曲）分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。Py

PsinzP

PcoszyPyzlxPPyφ

Pz合应力：

M

y

z

M

z

yI

y

I

zmax

max

maxmax

M

y

M

zWy

Wz最大正应力在D和D´点强度条件：

max

M

y

M

z

[

]Wy

WzxzDD´tmaxycmax截面在固定端：弯曲与扭转的组合mPlr

3M

2

T

2W

22r

4WM

0.75T

T图M图Plm+寸口

(P

=

q

l

,

h

=

2b)，已,5.图示曲柄轴直径d=5

0

mm,长£-:==5:00mm,受集中力p.1凶i作用，其作用线偏离曲柄轴线距离为e=400mm,试：（1)在图中标出

点A的应力状态并计算其应力值；（2)若材料的许用应力[u]=70MPa,论校核其强度。(12分）试按第四强度理飞“Up久曰图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，轮子直径D1=400mm，P1=1.2kN，P1=2P2，[]=120MPa，试用第三强度理论校核此轴的强度。[例]20º

Pz150100AB

200P1CDD1yP2D1x20º

Pyzx150100AB

200P1CDP2D1D1FMxyxPzz

PyMxF

P1

P2

1.8kNzP

0.6kNP

0.218kNyM

x

120N

m120(N·m)T150100ABCDF200Mxyxz

PyMx内力分析：弯扭组合变形面内力为：PzM

B

9.32

128

.52

128

.8(N

m)2

2M

C

21

.8

60

63

.8(N

m)∴B截面是

面。Wr

3M

2

T

2

B

4

3W

32

[1(

D

)

]1564

(mm

)D

3

d1564128.82112.5(MPa)

∴安全9.321.8Mz(N·m)60128.5My(N·m)—长度系数（或约束系数）。

l

—相当长度Pcr

2

E

I m

in

(

l

)

2F

细长压杆临界压公式两端铰支一端固定一端一端固定一端铰支两端固定μ=1μ=2μ=

0.7μ=0.5六、压杆稳定临界应力IA

——惯性半径)(ii

l2cr

2

E——杆的柔度（或长细比）公式压杆的临界应力总图iLcr2cr

2

E

cr

ab

PSλp临界应力总图λ0

s

a

b00b

a

s0b

a

s2

Ecr2λ≥λp，大柔度杆cr

a

bcr

s*0

≤λ≤λp，中柔度杆*≤λ0，粗短杆pP

2

E

i

lIAi

PcrcrF

A临界力计算的步骤FPcra1

b1

2PPE

bsa

0压杆的稳定性计算轴向压缩强度条件：稳定条件：2.折减系数法:n

FPcr

工作安全系数1.安全系数法:nst

—规定的安全系数稳定条件：A

F

≤

A

F≤Fn

≥

nst——折减系数，可根据材料及柔度查表得到。例图示为两根材料、长度和约束都相同的细长压杆，材料的弹性模量为E，(a)杆的横截面是直径为d的圆，(b)杆的矩形，的横截面是

d

(d

/2)试问（a）、（b）两杆的临界力之比为多少？d(a)Fld

/2d(b)FF勹诩次相同为示结构，A「I杆，量1

;E

I”2

m

s

吐EI

2

/l21

2

321y3xz32121

3maxmax三向应力分析七、应力状态及强度理论平面应力分析2

22x

x

y

x

ycos

2

x

sin

2

cos

2

x y

sin

2

xyxxyOyxxxyOn平面内的主应力xy

x

y2tg2

0

0极值正应力就是主应力！0xyxxyyO在切应力相对的项限内，且偏向于x

及y大的一侧min1

max

;

2

主单元体1

22）2xy

2

x2m

inyxy

max±

（应力圆xyxyOn

xyOx

xyA(

,

)B(y

,yx)2nD(

,

xC复杂应力状态下的应力---应变关系————（广义胡克定律）Gijij

i

j

kiE

1

(

i

,

j

,

k

x

,

y

,

z

)xyzzyxyx强度准则的

形式其中，

—相当应力。nb

,0.2

,

s

32

r

2

12132322212

1

r

4

r

3

1

3

r1

1

r22

r

3

4

r

4

2

3

2

常见二向应力状态的

r

3

和

r

431纯剪切应力状态的主单元置及主应力01345∘45∘∘

45

,

,

出,“'"

F,了汰口井已知求主应力、最大切应力、一径、四个阶段：弹性、屈服、强化、颈缩。强度指标：

,s

b100%l0塑性指标：

l

l0——

延伸率0

A

A

100%A0——

断面收缩率实验现象：屈服时，与轴线成45°方向出现滑移线；颈缩现象；低碳钢：bepsσabec

dfgf

hod

pe八、材料的力学性能材料拉伸时的力学性能冷作硬化现象；卸载规律；铸铁：变形很小；突然脆性断裂；只有强度极限：b2、极限应力

:

u

{

s

,0.2

,b