2023年湖北高考数学理科试卷带详解

2023年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)一、选择题：本大题共l0小题．每题5分，共50分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项满足题目要求的.1.假设为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是〔〕A.EB.FC.GD.H第1题图【测量目标】复平面，复数代数式的四那么运算.【考查方式】通过计算复数代数式，确定位于复平面中哪一点.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由图知z=，所以，应选D.2.设集合A=，B=,那么AB的子集的个数是()A.4B.3C.2D.1【测量目标】集合的根本运算.【考查方式】直接给出A，B集合，利用图象法判断它们交集中有2个元素，从而判断交集的子集个数.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由题意知AB中有两个元素，所以AB的子集的个数是4个，应选A.第2题图3.在△ABC中，a=15，b=10,∠A=，那么()A.B.C.D.【测量目标】正弦定理，同角三角函数的根本关系.【考查方式】给出三角形中两边一角，由三角函数解三角形求出一角的余弦值.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由正弦定理得，解得，又因为，所以〔步骤1〕故，所以,应选C.〔步骤2〕4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上〞为事件A，“骰于向上的点数是3”为事件B，那么事件A，B中至少有一件发生的概率是〔〕A.B.C.D.【测量目标】随机事件的概率.【考查方式】将事件清楚A,B两个事件，由求对立事件概率的方法求出答案.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】因为事件A，B中至少有一件发生与都不发生互为对立事件，故所求概率为，选C.5.和点满足.假设存在实数使得成立，那么=〔〕A.2B.3C.4D.5【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】由三角形内一点所构成的向量的关系，判断该点为重心，从而求出满足线性关系的m的值【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由知，点M为的重心，设点D为底边BC的中点，那么=，所以有，故=3，选B.6.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，，600.采用系统抽样疗法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为〔〕A．26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9【测量目标】系统抽样.【考查方式】给出了总体，利用系统抽样抽取样本并求出在三个营区中的抽取人数.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由600名学生中抽取一个容量为50的样本抽取“比例〞＝；〔步骤1〕因为随机抽得的号码为003，得系统抽样规那么为：〔，１，２，〕；所以：第I营区〔从001到300〕抽取的号码为：003，015，，291，共25人；第II营区〔从301到495〕抽取的号码为：303，315，，495，共17人；第III营区抽取的人数为：50－25－17＝8人．应选Ｂ．〔步骤2〕7如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和，那么〔〕A.B.C.D.第7题图【测量目标】数列的极限与运算.【考查方式】图形的面积构成了一个数列，利用数列的极限运算求出极限.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：r，即〔步骤1〕那么面积依次为：所以，故C正确.〔步骤2〕8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者效劳活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，那么不同安排方案的种数是〔〕A.152B.126C.90D.54【测量目标】排列，组合及其应用.【考查方式】给出了5名同学所能从事的工作，根据排列组合算出不同的分配方案.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】分类讨论：假设有2人从事司机工作，那么方案有；假设有1人从事司机工作，那么方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确.9.假设直线与曲线有公共点，那么的取值范围是〔〕A.B.C.D.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与双曲线有公共点求出b的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为〔2，3〕半径为2的半圆〔步骤1〕，当直线与此半圆相切时须满足圆心〔2，3〕到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得〔舍〕〔步骤2〕，当直线过〔0，3〕时，解得b=3,故所以C正确.〔步骤3〕10．记实数，，，中的最大数为，最小数为.的三边长为，定义它的倾斜度为那么“〞是“为等边三角形〞A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【测量目标】充分必要条件.【考查方式】给出三角形倾斜度的定义，判断命题的充分必要性.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】假设ABC为等边三角形时，即a=b=c，那么那么=1〔步骤1〕；假设ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，那么，此时=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.〔步骤2〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在展开式中，系数为有理数的项共有项.【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据二项式的展开式求出系数为有理数的项数.【难易程度】容易【参考答案】6【试题解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，那么r必为4的倍数，所以r可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.12己知，式中变量满足约束条件那么的最大值为.第12题图【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出了约束条件，判断可行域，求出目标函数的最大值.【难易程度】容易【参考答案】5【试题解析】依题意，画出可行域〔如图示〕，那么对于目标函数y=2z，当直线经过A〔2，－1〕时，z取到最大值,.13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，假设放入三个相同的球〔球的半径与圆柱的底面半径相同〕后，水恰好淹没最上面的球〔如下图)，那么球的半径是cm．第13题图【测量目标】柱，球的体积.【考查方式】给出了3个球和水的体积相加等于圆柱形容器的体积，由圆柱的体积公式以及圆的体积公式求出圆的半径.【难易程度】容易【参考答案】4【试题解析】设球半径为r，那么由，解得r=4.14．某射手射击所得环数的分布列如下：ξ78910px0.10.3y的期望，那么y的值为．【测量目标】数学期望，古典概型.【考查方式】给出了古典概型的概率和数学期望，算出未知数.【难易程度】容易【参考答案】0.4【试题解析】由表格可知〔步骤1〕联合解得.〔步骤2〕15．设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．那么图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数．第15题图【测量目标】射影定理，几何、调和平均数.【考查方式】给出几何图形以及算数平均数的几何意义，判断几何、调和平均数所表示的线段.【难易程度】中等【参考答案】CD，DE【试题解析】在Rt△ADB中DC为高，那么由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数〔步骤1〕，将OC=代入可得故，所以ED=ODOE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.〔步骤2〕三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔本小题总分值12分〕函数，．〔I〕求函数的最小正周期；〔II〕求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合．【测量目标】同角三角函数的根本关系，三角函数的周期性、最值.【考查方式】给出了两三角函数解析式，通过化简求出的最小正周期；求出新函数的解析式，通过化简求出函数的最值.【难易程度】容易【试题解析】〔I〕=的最小正周期为.〔步骤1〕〔II〕当时，取得最大值.〔步骤2〕取得最大值时，对应的的集合为.〔步骤3〕17．〔本小题总分值12分〕为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C〔单位：万元〕与隔热层厚度〔单位：cm〕满足关系：，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．〔I〕求的值及的表达式；〔II〕隔热层修建多厚对，总费用到达最小，并求最小值．【测量目标】函数模型的构建，利用导数求函数的最值以及导数在实际问题中的应用.【考查方式】给出实际问题，根据所给条件构建函数模型从而求出k的值，利用导数求的总费用的最小值，主要考查了运用数学知识解决实际问题的能力.【难易程度】容易【试题解析】〔I〕设隔热层厚度为xcm，由题设每年能源消消耗用为可由,得k=40，因此而建造费用为〔步骤1〕最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为〔步骤2〕〔II〕令，即.解得〔舍去〕.〔步骤3〕当时当5＜x＜10时，故x=5是的最小值点，对应的最小值为.当隔热层5cm厚时，总费用到达最小值70万元.〔步骤4〕18.(本小题总分值12分)如图,在四面体ABOC中，OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.〔I〕设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算的值；〔II〕求二面角的平面角的余弦值.第18题图【测量目标】立体几何的探索性问题，三垂线定理，二面角..【考查方式】给出了四面体及假设干边角条件，由P为AC的中点探索是否有满足条件的定点,根据线面之间的关系以及三垂线定理，求出二面角的余弦值.【难易程度】中等【试题解析】〔I〕在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接NC，又OAOC，故OA平面ONCOANC．〔步骤1〕取AN的中点QPQNCPQ⊥OA．〔步骤2〕在等腰三角形AOB中，∠AOB＝，∠OAB＝∠OBA＝．在Rt△AON中，∠OBA＝ON＝．在△ONB中，∠ONB＝－＝＝∠NBONB＝ON＝AQ＝3．〔步骤3〕〔II〕由AC⊥NP∠OPN是二面角O－AC－B的平面角．在Rt△PON中，ON＝，PN＝〔步骤4〕第18题图19.(本小题总分值12分)一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.〔I〕求曲线C的方程；〔II〕是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有＜0?假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由.【测量目标】抛物线的定义、标准方程，圆锥曲线中的探索性问题.【考查方式】由题中条件得到抛物线的第二定义，从而求出曲线的方程;给出条件探索不等式是否成立，利用直线与曲线方程联立求解问题.【难易程度】中等【试题解析】〔I〕设点是曲线C上任意一点，那么点P满足：化简得〔步骤1〕〔II〕设过点M〔〔的直线与曲线C的交点为A，设的方程为，由得，，于是①〔步骤2〕又，②〔步骤3〕又于是不等式②等价于③〔步骤4〕把①式代入不等式③有④〔步骤5〕对任意实数t，4的最小值是0，所以不等式对于一切t成立等价于，即由此可知，存在正数m，对于过点M〔m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有,且m的取值范围是〔〔步骤6〕第19题组20.(本小题总分值13分)数列满足:,,＜0；数列{}满足:=〔n1〕.〔I〕求数列，{}的通项公式;〔II〕证明:数列{}中的任意三项不可能成等差数列.【测量目标】数列关系求通项，反证法.【考查方式】给出了两个数列之间的关系，利用递推关系求出数列的通项公式，利用反证法证明命题的正确性.【难易程度】较难【试题解析】〔I〕由＝＝＝．〔步骤1〕∵，∴＝＝＝1，又＜0