直线与平面平行判定和性质经典练习详细详解

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直线、平面平行的判断及其性质

1.以下命题中，正确命题的是④.①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥;②若直线l与平面平行，则l与平面内的随意一条直线都平行；③假如两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l与平面内的随意一条直线都没有公共点.2.以下条件中，不可以判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③3.关于平面和共面的直线m、n，以下命题中假命题是（填序号）.①若m⊥，m⊥n，则n∥②若m∥，n∥，则m∥n③若m，n∥，则m∥n④若m、n与所成的角相等，则m∥n答案①②④已知直线a,b,平面，则以下三个命题：

①若a∥b,b,则a∥;②若a∥b,a∥,则b∥;③若a∥,b∥,则a∥b.其中真命题的个数是.答案05.直线a//平面M,直线bM,那么a//b是b//M的条件.A.充分而不用要B.必要而不充分C.充要D.不充分也不用要能保证直线a与平面平行的条件是

A.a，b，a//bB.b，a//bC.b，c//，a//b，a//cD.b，Aa，Ba，Cb，Db且ACBD7.假如直线a平行于平面,则aaA.平面内有且只有素来线与B.平面内无数条直线与平行平行C.平面内不存在与a平行的直线D.平面内的随意直线与直线a都平行8.假如两直线a∥b,且a∥平面,则b与的地点关系A.订交B.b//C.bD.b//或b以下命题正确的个数是优异文档适用标准文案

（1）若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α

2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的随意素来线平行

3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行

4）若素来线a和平面α内素来线b平行,则a∥α

A.0个B.1个C.2个D.3个11.b是平面α外的一条直线，以下条件中可得出∥α是bA.b与α内的一条直线不订交B.b与α内的两条直线不订交C.b与α内的无数条直线不订交D.b与α内的所有直线不订交已知两条订交直线a、b，a∥平面α，则b与α的地点关系

A.b∥αB.b与α订交C.bαD.b∥α或b与α订交

13.以下列图，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上

的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的地点关系，并赏赐证明.

SG∥平面DEF，证明以下：

方法一：三角形中位线连结CG交DE于点H，以下列图.

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB.

在△ACG中，D是AC的中点，

DH∥AG.

H为CG的中点.

FH是△SCG的中位线，

FH∥SG.

又SG平面DEF，FH平面DEF，

SG∥平面DEF.

方法二：平面平行的性质

EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.

EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.

同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，

∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.

以下列图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、

C1D1、A1A的中点.求证：

1）BF∥HD1；

2）EG∥平面BB1D1D；

3）平面BDF∥平面B1D1H.

证明平行四边形的性质，平行线的传达性

（1）以下列图，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，

HD1∥MC1.

又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.优异文档适用标准文案（2）取BD的中点O，连结EO，DO，则OE1DC，12又D1G1DC，∴OED1G，2∴四边形11OEGD是平行四边形，∴GE∥DO.又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.

3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1

HD1=D1，DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H.

以下列图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.

求证：MN∥平面AA1C1C.

证明方法一：平行四边形的性质

A1C1中点为F，连结NF，FC，

N为A1B1中点，

NF∥B1C1，且NF=1B1C1，2

又由棱柱性质知B1C1BC，

M是BC的中点，∴NFMC，

∴四边形NFCM为平行四边形.

MN∥CF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.

方法二：三角形中位线的性质

连结AM交C1C于点P，连结A1P，

∵M是BC的中点，且MC∥B1C1，∴M是B1P的中点，

又∵N为A1B1中点，

MN∥A1P，又A1P平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.

方法三：平面平行的性质

设B1C1中点为Q，连结NQ，MQ，

∵M、Q是BC、B1C1的中点，

∴MQCC1，又CC1平面AA1C1C，MQ平面AA1C1C，

∴MQ∥平面AA1C1C.

N、Q是A1B1、B1C1的中点，

∴NQA1C1，又A1C1平面AA1C1C，NQ平面AA1C1C，

NQ∥平面AA1C1C.

又∵MQ∩NQ=B，∴平面MNQ∥平面AA1C1C，

MN平面MNQ∴MN∥平面AA1C1C.

以下列图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.

求证：EF∥平面ABCD.优异文档适用标准文案

方法一：平行四边形的性质

E作ES∥BB1交AB于S，过F作FT∥BB1交BC于T，连结ST，则AEES，且BFFTAB1B1BBC1C1CB1E=C1F，B1A=C1B，∴AE=BF∴ESFT，∴ES=FTB1BCC1又∵ES∥B1B∥FT，∴四边形EFTS为平行四边形.

EF∥ST，又ST平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.

方法二：相像三角形的性质

连结B1F交BC于点Q，连结AQ，

B1C1∥BC，∴B1FC1FB1QC1B

∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴B1EB1FB1DB1Q

EF∥AQ，又AQ平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.

方法三：平面平行的性质

过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，则B1EB1G，B1AB1B

B1E=C1F，B1A=C1B，

C1EB1G，∴FG∥B1C1∥BC，C1BB1B

EG∩FG=G，AB∩BC=B，

∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，

EF∥平面ABCD.

以下列图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q

CC1上的点，问：当点Q在什么地点时，平面D1BQ∥平面PAO？

面面平行的判断

当Q为CC1的中点时，

平面D1BQ∥平面PAO.

Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.

P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.

PO∩PA=P，D1B∩QB=B，

D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

直线与平面平行的性质定理

18.以下列图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.优异文档适用标准文案

1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.

2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.

1）证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.

HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.

EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.

同理可证，CD∥平面EFGH.

解设EF=x（0＜x＜4），由于四边形EFGH为平行四边形，∴CFx.则FG=BF=BCCF=1-x.进而FG=6-3x.∴四边形EFGH的周长CB46BCBC42l=2(x+6-3x)=12-x.又0＜x＜4,则有8＜l＜12,∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，212）.19.以下列图，平面∥平面，点A∈，C∈，点B∈，D∈,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.

1）求证：EF∥;

2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF

的长.

1）证明两个平行平面同时与第三个平面订交，则交线平行；平行线分线段成比率

方法①当AB，CD在同一平面内时，由∥，平面∩平面ABDC=AC，

平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，

AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，

又EF,BD,∴EF∥.

方法②当AB与CD异面时，

设平面ACD∩=DH，且DH=AC.

∵∥，∩平面ACDH=AC，

AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.

∵EF平面EFG，∴EF∥.综上，EF∥.

2）解三角形中位线

以下列图，连结AD，取AD的中点M，连结ME，MF.

E，F分别为AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，

ME=1BD=3，MF=1AC=2，22

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∴∠EMF为AC与BD所成的角（或其补角），

∴∠EMF=60°或120°，

∴在△EFM中由余弦定理得，

EF=ME2MF22MEMFcosEMF=32221，232=1362EF=7或EF=19.

正方形ABCD与正方形ABEF所在平面订交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.

求证：PQ∥平面BCE.

证明方法一：平行四边形的性质以下列图，作PM∥AB交BE于M，

QN∥AB交BC于N，连结MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE=BD.

又∵AP=DQ，∴PE=QB，

又∵PM∥AB∥QN，∴PMPEQNBQPMQN，∴PMQN，ABAE，DCBD，ABDC∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.

MN平面BCE，PQ平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

方法二：相像三角形的性质以下列图，连结AQ，并延伸交BC于K，

连结EK，

∵AE=BD，AP=DQ，

∴PE=BQ，∴AP=DQ①PEBQ

又∵AD∥BK，∴DQ=AQ②BQQK

由①②得AP=AQ，∴PQ∥EK.PEQK

PQ平面BCE，EK平面BCE，∴PQ∥平面BCE.

方法三：平面平行的性质以下列图，在平面ABEF内，过点P作

PM∥BE，交AB于点M，

连结QM.

PM∥BE，PM平面BCE，

即PM∥平面BCE，∴AP=AM①PEMB

又∵AP=DQ，∴PE=BQ，优异文档适用标准文案

∴AP=DQ②PEBQ

由①②得AM=DQ，∴MQ∥AD，MBBQ

MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.

又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，

PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.

以下列图，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

1）求证：直线MN∥平面PBC；

2）求线段MN的长.

1）证明：方法一：相像三角形的性质

连结AN并延伸交BC于Q，

连结PQ，以下列图.

AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，AN=DN=AD=8，NQNBBQ5PMBN5又∵==，

AM=AN=8，∴MN∥PQ，MPNQ5

又∵PQ平面PBC，MN平面PBC，

MN∥平面PBC.

方法二：平行四边形的性质

以下列图，作MQ∥AB交PB于Q，作NR∥AB交BC于R，

连结QR.

MQ∥AB∥NR，∴PMMQ，NRBN，PAABDCBD又∵PMBN，∴MQNR，MAND∴四边形MNRQ为平行四边形，∴MN∥QR.

QR平面PBC，MN平面PBC，∴MN∥平面PBC.

方法三：平面平行的性质

以下列图，在平面ABP内，过点M作MN∥PB，交AB于点O，

连结ON.

MO∥PB，MO平面PBC，PB平面PBC

MO∥平面PB