八个有趣模型-搞定空间几何体外接球与内切球(学生)

(圆满版)八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)(圆满版)八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)(圆满版)八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球种类一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的地点即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球同样）PPPPO2ccccAbCCCBbabaCbAAaBBaAB图1图2图3图4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出R例1（1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16B．20C．24D．32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,若侧棱SA23,则正三棱锥SABC外接球的表面积是。解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明以下：如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连结AE,CD，AE,CD交于H，连S接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，ABSC，同理：BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，此题图如图（3）-2，AMMN，SB//MN，AMSB，ACSB，SB平面SAC，SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，

ACHDEB(3)题-1SA平面SBC，SASC，故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互垂直，(2R)2(23)2(23)2(23)236，即4R236，外接球的表面积是36SMACNB(3)题-21（4）在四周体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,则该四周体的外接球的表面积为（）C.10D.4033（5）假如三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为种类二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连结PD，则PD必过球心O；

PO第二步：O1为ABC的外心，因此OO1平面ABC，算出小圆O1的半CAD1O径O1Dr（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得Babc1PA；图52r），OO1sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO12Rr2OO1222．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，极点P点也是圆锥的极点PPPPOOOOCCCCAO1DAAO1O1O1BABBB图6图7-1图7-2图8PPPAAAO2O2BO2CDBCBDOOO图8-1图8-2图8-3解题步骤：第一步：确立球心O的地点，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R.方法二：小圆直径参加结构大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为A．3B．2C．16D．以上都不对3种类三、切瓜模型（两个平面相互垂直）PPPPOOOO1ACAO1CACAO1CBBBB图9-1图9-2图9-3图9-41．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；第二步：在abc2R，求出R。PAC中，可依据正弦定理sinBsinCsinA32．如图9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2R2O1O23．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，极点P点也是圆锥的极点解题步骤：第一步：确立球心O的地点，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R4．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO12Rr2OO12例3（1）正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为。（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各极点都在同一个球面上，则此球的体积为（3）在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.C.4D.433SO1SCO（4）已知三棱锥ABC的全部极点都在球的求面上,ABC是边长为,为球的直的正三角形径,且SC2;则此棱锥的体积为（）A．2B．3C．2D．266324种类四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）C1C1C1A1A1O2A1O2O2B1B1B1OOOCCCAAO1AO1BBO1B图10-1图10-2图10-3题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面能够是随意三角形）第一步：确立球心O的地点，O1是ABC的外心，则OO1平面ABC；第二步：算出小圆O1的半径AO1r，OO11AA11h（AA1h也是圆柱的高）；22第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(h)2r2Rr2(h)2，解出R22例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为8（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各极点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于。（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面相互垂直，EAEB3,AD2,AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为。（4）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A,AA14则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球3的表面积为。5种类五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一同，或菱形折叠(如图11)A'OH2DAH1ECB图11第一步：先画出以以下图的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连结OE,OC；第三步：解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：OH12CH12OC2例5三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为.种类六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四周体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，a2b2x2c2x2y2z2b2c2y2(2R)2a2b2，c2a2z22

AxDyyczz增补：VABCDabc1abc41abcxCBab63第三步：依据墙角模型，2Ra2b2c2x2y2z2，图122R2x2y2z2，Rx2y2z2，求出R，88比方，正四周体的外接球半径可用此法。例6（1）棱长为2的正四周体的四个极点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四周体的截面)的面积是.(1)题6（2）一个正三棱锥的四个极点都在半径为1的球面上，此中底面的三个极点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．33B．3C．3D．343412（3）在三棱锥ABCD中，若ABCD2,ADBC3,ACBD4,则三棱锥ABCD外接球的表面积为。（4）在三棱锥ABCD中，ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为.（5）正四周体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为种类七、两直角三角形拼接在一同(斜边同样,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型PBCOA图13题设：APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连结OP,OC，则OAOBOCOP1AB，O为三棱锥PABC外接球球心，此后在OCP中求出2半径）例7（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四周体ABCD的外接球的体积为（）A．125B．125C．125D．12512963（2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连结AC，所得三棱锥ABCD的外接球的表面积为．7种类八、锥体的内切球问题1．题设：如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；第二步：求DH1BD，POPHr，PD是侧面ABP的高；3PDH，成立等式：OEPO，解出r第三步：由POE相像于DHPD2．题设：如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步：求FH1BC，POPHr，PF是侧面PCD的高；2第三步：由POG相像于PFH，成立等式：OGPO，解出HFPF3．题设：三棱锥PABC是随意三棱锥，求其的内切球半径

PEOACDHB14PGOADEHFBC15方法：等体积法，即内切球球心与四个面组成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，成立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBCVPABC1SABCr11SPAC1SPBCr1SPABSPACSPBC)r3SPABrr(SABC3333第三步：解出r3VPABCSOSOSOPACSOPBCABCPAB习题：SABCSA2SBSC41．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的外接球半径为（），A.3B.6C.36D.92．三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形