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第一章极限理论Ⅰ、基本概念一、数列极限1.数列收敛与发散的定义数列收敛有数列发散有2.数列的极限的定义,有如下等价形式:⑴语言之外至多只有中的有限项.

⑵邻域形式⑶子列形式的任意子列都收敛于3.数列有上、下界,有界,无上、下界,无界的定义数列有上界(下界,有界)数列无上界(下界,无界)5.数列的上、下极限的定义⑴用确界定义:若极限存在,则称其为数列的上极限,记为若极限存在,则称其为数列的下极限,记为⑵用聚点定义:数列的最大聚点称为的上极限,最小聚点称为的下极限.⑶用收敛子列的极限定义:数列的所有收敛子列中的最大极限值称为的上极限;数列的所有收敛子列中的最小极限值称为的下极限.二、函数极限函数极限按自变量x的趋向来区分,有六种类型,即三、无穷小量与无穷大量极限为0的量称为无穷小量(在某一变化过程中);有非正常极限的量称为无穷大量(在某一变化过程中).Ⅱ、基本理论一、收敛数列的性质1.收敛数列的极限是唯一的;2.收敛数列是有界数列;3.收敛数列具有保号性与保不等式性;4.收敛数列的四则运算.四、柯西准则1.数列的柯西收敛准则五、迫敛性1.数列收敛的迫敛性定理如果数列与都收敛于a,又有,则数列也收敛于a.2.函数极限的迫敛性定理如果在某内,有,且则七、斯笃兹(Stolz)定理1.设是严格递增的正无穷大数列,它与数列一起满足:,则2.设数列,且数列严格单调递减,若,则八、斯笃兹定理的推广1.设为常数,如果定义在上的函数则满足:(1)函数在的任何有限区间上有界,2.设为常数,如果定义在上的函数满足:则九、不动点定理(压缩映象原理)设函数满足:对任意(其中I是区间),有这里x称为的不动点.其中是常数,则存在唯一,使得Ⅲ、基本方法与典型例题一、利用极限定义验证极限例1

设,证明例2

设函数满足:存在且有限,令求二、初等方法例3

计算下列数列的极限:四、迫敛性定理例6

设为k个正数,证明:例7

求例8求例9

设数列满足:求五、单调有界定理例10设,证明收敛,并求其极限.例11

设,证明:七、斯笃兹定理的应用例13

设,证明:例14

设函数在上有定义,内闭有界,且为有限数或),试证明:八、定积分法例15

求下列极限:十、对数(指数)求极限法例19

设函数在某邻域内可导,且,计算极限例20

计算例21

计算十一、洛必达法则例22

求下列极限:十二、等价无穷小量替换例23

设函数在区间上连续,计算极限例24

设a,b,A

为不为零的常数,证明的充分必要条件是例25

计算极限十三、利用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限例26

计算极限例27

设,求十四、利用级数的定义或性质求极限例28

证明:例29

求极限十五、利用函数导数的定义求极限例30

设,求极限十六、递推关系法例31设,考察极限例32

设数列满足条件:求十七、利用不动点定理例33(压缩数列)设数列满足条件:,有则称数列为压缩数列.证明:压缩数列必收敛.例34

设

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