高三数学一轮复习资料第五编平面向量解三角形54正弦定理和余弦定理理

高三数学（理）一轮复习教课方案第五编平面向量、解三角形总第24期§正弦定理和余弦定理基础自测1（202X·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a=答案22（202X·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为答案或233以下判断中不正确的结论的序号是①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解,②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解,④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解答案①③④4在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为答案1035（202X·浙江理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c若（3b-c）coA=acoC，则coA=答案33例题精讲例1在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c解∵B=45°＜90°且ainB＜b＜a,∴△ABC有两解由正弦定理得inA=asinB=3sin45=3,则A为60°或120°b22①当A=60°时，C=180°-AB=75°,c=bsinC=2sin75=2sin(4530)=62sinBsin45sin452②当A=120°时，C=180°-AB=15°,c=bsinC=2sin15=2sin(4530)=62sinBsin45sin452故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=62或A=120°,C=15°,c=6222例2在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosB=-bcosC2ac（1）求角B的大小；（2）若b=13，ac=4，求△ABC的面积解（1）由余弦定理知：coB=a2c2b2，coC=a2b2c22ac2ab将上式代入cosB=-b得:a2c2b2·2abc2=-bcosC2ac2aca2b22ac整理得:a2c2-b2=-ac∴coB=a2c2b2=ac=-12ac2ac2∵B为三角形的内角，∴B=23（2）将b=13,ac=4,B=222222-2ac-2accoB代入b=ac-2accoB,得b=ac3211acinB=33∴b=16-2ac1△ABC2,∴ac=3∴S=24例3（14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2-a2bc=0（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求asin(30C)的值bc解（1）∵coA=b2c2a2=bc=-1,又∵A∈（0°，180°），∴A=120°2bc2bc2（2）由a=32222,得bc=3-bc,又∵bc≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc当且仅当c=b时取等号）即当且仅当c=b=1时，bc获取最大值为1（3）由正弦定理得：abc2R,∴asin(30C)2RsinAsin(30C)sinAsinBsinCbc2RsinB2RsinC3(1cosC3sinC)3cosC3sinC)=1=sinAsin(30C)=22C)2=44sinBsinCsin(60sinC3cosC3sinC222例4在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，若是（a2b2）in（A-B）=（a2-b2）in（AB），判断三角形的形状解方法一已知等式可化为a2［in（A-B）-in（AB）］=b2［-in（AB）-inA-B］∴2a2coAinB=2b2coBinA,由正弦定理可知上式可化为：in2AcoAinB=in2BcoBinA∴inAinBinAcoA-inBcoB=0∴in2A=in2B,由0＜2A,2B＜2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形2方法二同方法一可得2a2coAinB=2b2inAcoB,由正、余弦定理,可得2b2c2a22a2c2b22222222222222ab2bc=ba∴abc-a=bac-b即a-bab-c=02ac222∴a=b或ab=c∴△ABC为等腰或直角三角形1（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;2）△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a解（1）由正弦定理得ab∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴sinBsinAb=asinB8sin60=46sinAsin452由正弦定理得inC=csinB8sin30=1又∵30°＜C＜150°,∴C=90°b4∴A=180°-BC=60°,a=c2b2=432已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（ab）2-c2，求tanC的值解依题意得abinC=a2b2-c22ab,由余弦定理知,a2b2-c2=2abcoC所以,abinC=2ab1coC,即inC=22coC,所以2inCcoC=4co2C,化简得：tanC==2tanC=-4222221tan2C323（202X·辽宁理，17）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、=2,C=3（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；2）若inCinB-A=2in2A,求△ABC的面积解（1）由余弦定理及已知条件，得a2b2-ab=4又因为△ABC的面积等于3，所以1abinC=3，所以ab=42联立方程组a2b2ab4,解得a2ab4,b22）由题意得inBAinB-A=4inAcoA,即inBcoA=2inAcoA,当coA=0时，A=，B=，a=43，b=232633当coA≠0时，得inB=2inA,由正弦定理得b=2a,a2b2ab4,a23，联立方程组解得3b2a,43.b3所以△ABC的面积S=1abinC=23234已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2co2B-8coB5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状解方法一∵2co2B-8coB5=0,∴22co2B-1-8coB5=0∴4co2B-8coB3=0,即2coB-12coB-3==1或coB=3（舍去）∴coB=1222∵0＜B＜,∴B=∵a，b，c成等差数列，∴ac=2b3∴coB=a2c2b2a2c2(ac)2=2ac2=1，化简得a2c2-2ac=0,解得a=c2ac2又∵B=，∴△ABC是等边三角形3方法二∵2co2B-8coB5=0，∴2（2co2B-1）-8coB5=0∴4co2B-8coB3=0，即2coB-12coB-3==1或coB=3（舍去）∴coB=1,∵0＜B＜,∴B=,2223∵a,b,c成等差数列，∴ac=inC=2inB=2in=33∴inAin2A=3，∴inAin2cosA-co2sinA=3333化简得3inA3coA=3,∴inA=1∴A6=,∴A=,22623∴C=,∴△ABC为等边三角形3回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1在△ABC中，若2coBinA=inC,则△ABC必然是三角形答案等腰2在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则sinB的值为sinC答案353已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S=1222（bc-a），则A=△ABC4答案45°4在△ABC中，BC=2，B=，若△ABC的面积为3，则tanC为32答案335在△ABC中，a2-c2b2=ab,则C=答案60°6△ABC中，若a4b4c4=2c2a2b2,则C=答案45°或135°7在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=答案56千米，他右转150°，尔后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么的值是答案3或23二、解答题9在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=bbc（1）求证：A=2B；（2）若a=3b,判断△ABC的形状（1）证明因为a2=bbc，即a2=b2bc,所以在△ABC中，由余弦定理可得,coB=a2c2b2=c2bc=bc=a2=a=sinA,所以inA=in2B,故A=2B2ac2ac2a2ab2b2sinB（2）解因为a=3b,所以a=3,由a2=bbc可得c=2b,bcoB=a2c2b2=3b24b2b2=3,2ac43b22所以B=30°,A=2B=60°,C=90°所以△ABC为直角三角形10（202X·全国Ⅱ理，17）在△ABC中，coB=-5，coC=4135（1）求inA的值；（2）△ABC的面积S△ABC=33，求BC的长2解1由coB=-5,得inB=12,由coC=4,得inC=313135533所以inA=inBC=inBcoCcoBinC=2由S△ABC=33,得1×AB×AC×inA=33由1知inA=33,故AB×AC=6522265又AC=ABsinB=20AB,故20AB=65,AB=13所以BC=ABsinA=112sinC13132sinC2、b、c是△ABC的三边长，关于的方程a2-2c2b2-b=0a＞c＞b的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=103，c=7（1）求角C；（2）求a，b的值解（1）设1、2为方程a2-2c2b2-b=0的两根，则12=2c2b2，1·2=-baa2222222a2a又coC=a2b2c2=ab=1,又∵C∈0°,180°,∴C=60°2ab2ab22由S=12

abinC=103，∴ab=40①由余弦定理2222222×40×11c=ab-2abcoC,即c=ab-2ab1co60°∴7=ab-22∴ab=13又∵a＞b②∴由①②，得a=8,b=512（202X·广东五校联考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ab=5，c=7，且4in2AB-co2C=722求角C的大小；