专题22 数列中的探究性问题（原卷版）

专题22数列中的探究性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．一、题型选讲题型一、数列中项存在的问题例1、(2018无锡期末）已知数列{an}满足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,an)))＝eq\f(1,an)，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；(3)是否存在k∈N*，使得eq\r(akak＋1＋16)为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．例2、(2019苏州期初调查）已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{an}前n项和为Sn，且满足S3＝a4，a5＝a2＋a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若amam＋1＝am＋2，求正整数m的值；(3)是否存在正整数m，使得eq\f(S2m,S2m－1)恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．题型二、数列中的等差数列或者等比数列的存在问题例3、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an，数列{bn}满足b1＝eq\f(1,2)，2bn＋1＝bn＋eq\f(bn,an).(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝eq\f(bn＋2,Sn)，求和c1＋c2＋…＋cn；(3)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r；若不存在，请说明理由．例4、(2019常州期末）已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.(1)求证：{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由．题型三、数列中的有序实数对的问题例5、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列满足，数列的前项和为．（1）求的值；（2）若．=1\*GB3①求证：数列为等差数列；=2\*GB3②求满足的所有数对．题型四、数列中的参数的问题例6、(2019苏州期末）定义：对于任意n∈N*，xn＋xn＋2－xn＋1仍为数列{xn}中的项，则称数列{xn}为“回归数列”．(1)已知an＝2n(n∈N*)，判断数列{an}是否为“回归数列”，并说明理由；(2)若数列{bn}为“回归数列”，b3＝3，b9＝9，且对于任意n∈N*，均有bn<bn＋1成立．①求数列{bn}的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式eq\f(beq\o\al(2,s)＋3s＋1－1,beq\o\al(2,s)＋3s－1)＝bt成立．二、达标训练1、已知数列的通项公式为，若为数列中的项，则____2、(2019扬州期末）记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn＝eq\f(Mn＋mn,2)，数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn.(1)若数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，求Bn.(2)若数列{bn}是等差数列，试问数列{an}是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明．3、(2019苏北三市期末）已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an(qnan－1)＋2qnanan＋1＝an＋1·(1－qnan＋1)，且an＋1＋an≠0，其中a1＝2，q≠0.记Tn＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋qn－1an.(1)若q＝1，求T2019的值．(2)设数列{bn}满足bn＝(1＋q)Tn－qnan.①求数列{bn}的通项公式；②若数列{cn}满足c1＝1，且当n≥2时，cn＝2bn－1－1，是否存在正整数k，t，使c1，ck－c1，ct－ck成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，说明理由．4、已知数列的前项和为，且满足，（）.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.5、(2019南京、盐城一模）已知数列{an}，其中n∈N*.(1)若{an}满足an＋1－an＝qn－1(q>0，n∈N*)．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且ar，as，at成等差数列，求q的值；设数列{an}的前n项和为bn，数列{bn}的前n项和为cn，cn＝bn＋2－3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且|aeq\o\al(2,n＋1)－anan＋2|≤k恒成立，求k的最小值．6、(2017南京学情调研）已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16.(1