专题18 多元问题的处理（原卷版）

专题18多元问题的处理一、题型选讲题型一、消元法多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：多元最值首选消元：三元问题→二元问题→一元问题例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则eq\f(c2＋5,a＋b)的最小值为________．题型二、奇次化研究双变元分式函数的最值问题通常可以通过变形，将两个变元合并为一个变元，转化为单变元的函数来研究·本质上是求二次分式在特定区间上的最值(值域)问题．一般地，先化二次分式eq\f(x的二次式,x的二次式)＝eq\f(x的一次式,x的二次式)＋常数．以下分两类情况：①分母不能因式分解时，求导数或用基本不等式解决，②分母能因式分解时，继续化简为eq\f(常数,x的一次式)＋eq\f(常数,x的一次式)＋常数．再求导数例3、(2017南京三模）已知x，y为正实数，则eq\F(4x,4x＋y)＋eq\F(y,x＋y)的最大值为．例4、(2019通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则eq\f(3a－b,a2＋2ab－3b2)的最小值为________．题型三换元法与主元法换元法是解决不等式中最常用到的一种方法，若不等式中出现多元的问题可以运用整体的思想看成一个主元，然后再运用换元法解决。例5、(2017南京三模）已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，EQ\F(2,a)＋EQ\F(3,b)≤EQ\F(2,c)，则EQ\F(3a＋8b,c)的取值范围为．例6、(2018镇江期末）已知a，b∈R，a＋b＝4，则eq\f(1,a2＋1)＋eq\f(1,b2＋1)的最大值为________．题型四、求导法例7、(2019扬州期末）若存在正实数x，y，z满足3y2＋3z2≤10yz，且lnx－lnz＝eq\f(ey,z)，则eq\f(x,y)的最小值为_________．题型五、转化为恒成立问题把所要求的的参数独立出来，转化为恒成立问题，进而求出所对应函数的最值问题。例8、(2018南京、盐城一模）若不等式ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________．二、达标训练1、(2019南京、盐城一模）若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．2、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．3、(2018苏州期末）已知正实数a，b，c满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,c)＝1，则c的取值范围是________．4、（2019宿迁期末）已知正实数a，b满足a＋2b＝2，则eq\f(1＋4a＋3b,ab)的最小值为________.5、(2019通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则eq\f(3a－b,a2＋2ab－3b2)的最小值为________．6、(2019苏北三市期末）已知x>0，y>0，z>0，且x＋eq\r(3)y＋z＝6，则x3＋y2＋3z的最小值为________．7、(2018苏锡常镇调研）已知函数若存在实数，满足，则的最大值是___．8、(2017无锡期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，则eq\f(ac,b)＋eq\f(c,ab)－eq\f(c,2)＋eq\f(\r(5),c－2)的最小值为________．9、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知对任意的x∈R,3a(sinx＋cosx)＋2bsin2x≤3(a，b∈R)恒成立，则当a＋b取得最小值时，a的值是________．10、(2017镇江期末）已知不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．