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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,在边上满足,为的中点,则().A. B. C. D.2.已知复数,则()A. B. C. D.23.已知双曲线的焦距为,若的渐近线上存在点,使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.4.已知向量与向量平行,,且,则()A. B.C. D.5.历史上有不少数学家都对圆周率作过研究,第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值,他的方法被后人称为割圆术.近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现,使得值的计算精度也迅速增加.华理斯在1655年求出一个公式:,根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图,如下图所示,执行该程序框图,已知输出的,若判断框内填入的条件为,则正整数的最小值是A. B. C. D.6.设命题p:>1,n2>2n,则p为()A. B.C. D.7.已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,则球O的表面积为()A. B. C. D.8.复数满足,则()A. B. C. D.9.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.610.椭圆是日常生活中常见的图形,在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水,将杯体倾斜一个角度,水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米,底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯,且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计),在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出),杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.11.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.180 B.90 C.45 D.36012.若,则函数在区间内单调递增的概率是()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在内有两个零点,则实数的取值范围是________.14.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.15.已知函数为奇函数,,且与图象的交点为,,…,,则______.16.(5分)函数的定义域是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线过椭圆的右焦点,且交椭圆于A,B两点,线段AB的中点是,(1)求椭圆的方程;(2)过原点的直线l与线段AB相交(不含端点)且交椭圆于C,D两点,求四边形面积的最大值.18.(12分)数列的前项和为,且.数列满足,其前项和为.(1)求数列与的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.(12分)中的内角,,的对边分别是,,,若,.(1)求;(2)若,点为边上一点,且,求的面积.20.(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.21.(12分)如图所示,在三棱锥中,,,,点为中点.(1)求证:平面平面;(2)若点为中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22.(10分)已知数列满足,且.(1)求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式;(2)求数列的前项和.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】
由,可得,,再将代入即可.【题目详解】因为,所以,故.故选:B.【答案点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用,是一道基础题.2、C【答案解析】
根据复数模的性质即可求解.【题目详解】,,故选:C【答案点睛】本题主要考查了复数模的性质,属于容易题.3、B【答案解析】
由可得;由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【题目详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【答案点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.4、B【答案解析】
设,根据题意得出关于、的方程组,解出这两个未知数的值,即可得出向量的坐标.【题目详解】设,且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故选:B.【答案点睛】本题考查向量坐标的求解,涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中等题.5、B【答案解析】
初始:,,第一次循环:,,继续循环;第二次循环:,,此时,满足条件,结束循环,所以判断框内填入的条件可以是,所以正整数的最小值是3,故选B.6、C【答案解析】根据命题的否定,可以写出:,所以选C.7、D【答案解析】
由题意画出图形,找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O,通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径,则答案可求.【题目详解】如图;设AB的中点为D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB为直角三角形,且斜边为AB,故其外接圆半径为:rAB=AD=2;设外接球球心为O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2⇒R2=(R)2+r2⇒R;∴球O的表面积为:4πR2=4π.故选:D.【答案点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查数形结合的解题思想方法,考查思维能力与计算能力,属于中档题.8、C【答案解析】
利用复数模与除法运算即可得到结果.【题目详解】解:,故选:C【答案点睛】本题考查复数除法运算,考查复数的模,考查计算能力,属于基础题.9、B【答案解析】
由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【题目详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【答案点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.10、C【答案解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大,由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率,进而确定离心率的取值范围.【题目详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为,短轴长为6,所以椭圆离心率,所以.故选:C【答案点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用,属于基础题.11、A【答案解析】试题分析:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以,,令,则,.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.12、B【答案解析】函数在区间内单调递增,,在恒成立,在恒成立,,函数在区间内单调递增的概率是,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】
设,,设,函数为奇函数,,函数单调递增,,画出简图,如图所示,根据,解得答案.【题目详解】,设,,则.原函数等价于函数,即有两个解.设,则,函数为奇函数.,函数单调递增,,,.当时,易知不成立;当时,根据对称性,考虑时的情况,,画出简图,如图所示,根据图像知:故,即,根据对称性知:.故答案为:.【答案点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的转化能力和计算能力,画出图像是解题的关键.14、【答案解析】
记只雌蛙分别为,只雄蛙分别为,从中任选只牛蛙进行抽样试验,其基本事件为,共15个,选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为,共9个,故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.15、18【答案解析】
由题意得函数f(x)与g(x)的图像都关于点对称,结合函数的对称性进行求解即可.【题目详解】函数为奇函数,函数关于点对称,,函数关于点对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称,与图像的交点为,,…,,两两关于点对称,.故答案为:18【答案点睛】本题考查了函数对称性的应用,结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键,属于中档题.16、【答案解析】
要使函数有意义,则,即,解得,故函数的定义域是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【答案解析】
(1)由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解;(2)设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB(不含端点)相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【题目详解】(1)直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段AB的中点是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为.(2)由(1)联立,解得或,不妨令,易知直线l的斜率存在,设直线,代入,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线l与线段AB(不含端点)相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,,则,所以,当,即时,,因此四边形面积的最大值为.【答案点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.18、(1),;(2).【答案解析】
(1)令可求得的值,令,由得出,两式相减可推导出数列为等比数列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式,再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式;(2)运用等差数列的求和公式,运用数列的分组求和和裂项相消求和,化简可得.【题目详解】(1)当时,,所以;当时,,得,即,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,.;(2)由(1)知数列是首项为,公差为的等差数列,.,.所以.【答案点睛】本题考查数列的递推式的运用,注意结合等比数列的定义和通项公式,考查数列的求和方法:分组求和法和裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题.19、(1)(2)10【答案解析】
(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根据二倍角的余弦公式计算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知计算出与,再根据三角形的面积公式求出结果即可.【题目详解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,则,化简得,,解得或(负值舍去),,,,,,的面积.【答案点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用,考查了二倍角公式的应用,考查了运算能力,属于基础题.20、(1),(2)【答案解析】
(1),所,两式相减,即可得到数列递推关系求解通项公式,由,整理得,得到,即可求解通项公式;(2)由(1)可知,,即可求得数列的前项和.【题目详解】(1)因为,所,两式相减,整理得,当时,,解得,所以数列是首项和公比均为的等比数列,即,因为,整理得,又因为,所以,所以,即,因为,所以数列是以首项和公差均为1的等差数列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【答案点睛】此题考查求数列的通项公式,以及数列求和,关键在于对题中所给关系合理变形,发现其中的关系,裂项求和作为一类常用的求和方法,需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.21、(1)答案见解析.(2)【答案解析】
(1)通过证明平面,证得,证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【题目详解】(1)因为,所以平面,因为平面,所以.因为,点为中点,所以.因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)以点为坐标原点,直线分别为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面与平面所成锐二面角
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