高考数学精品预测卷02（解析版）

预测卷0217．设，有以下三个条件：①是2与的等差中项；②，；③为正项等比数列，，．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．若数列的前项和为，且____．（1）求数列的通项公式；（2）若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和．【解答】解：选条件①时，由于是2与的等差中项；所以，①当时，解得；当时，②，①②得：，整理得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项），所以；选条件②时，由于，；所以：，①，当时，，②，①②得：，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；故（首项符合通项），所以；选条件③时，由于为正项等比数列，，．所以，解得，整理得（首项符合通项），所以；（2）若是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得．18．的内角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若点为的中点，且，求边的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得，，即，展开整理得，，因为，所以，所以，因为，所以；（Ⅱ）因为点为的中点，所以，所以，因为，所以，即，所以，因为因为，所以，所以，故，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为48，故的最大值为．19．某大型水果超市，为了对香蕉进行合理定价，对近5天的销售量和销售单价，2，3，4，进行了统计分析，得到一组统计数据如表所示：销售单价（元千克）5.56.57.58.59.5销售量（千克）1501351109575参考公式：线性回归方程：，其中，，相关系数．（Ⅰ）根据表中所给数据，用相关系数加以判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；，则认为与线性相关性很强）（Ⅱ）为调查对香蕉的喜欢程度，随机调查了100名顾客（青少年和中老年各50人），得到如下列联表：喜欢香蕉不喜欢香蕉总计青少年35550中老年104050总计4555100能否有的把握认为顾客是否喜欢香蕉与年龄有关？（Ⅲ）现采用分层抽样的方法从中老年样本中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2名进行跟踪调查，记表示这两人中“喜欢香蕉”的人数，求的分布列、数学期望．附：，．参考数据：，，，．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解答】解：（Ⅰ）相关系数，，与线性相关性很强．由表知，，，，，故关于之间的线性回归方程为．（Ⅱ），有的把握认为顾客是否喜欢香蕉与年龄有关．（Ⅲ）由分层抽样的定义知，抽取的10人中，喜欢香蕉的人数为2，的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012数学期望．20．已知四棱锥中，四边形是正方形，为等边三角形，平面平面．（1）求异面直线、所成夹角的余弦值；（2）若线段的长为2，线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的余弦值为？若存在求出的长度，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在正方形中，则异面直线与所成夹角即与所成角，取的中点，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面；设，则，，则，所以；则异面直线与所成夹角的余弦值为．（2）因为平面，以点为坐标原点，，分别为，轴，过在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，由，则，，，，0，，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，即，令，得，又设，，所以，设直线与平面所成的角为，，则，解得，，即的长为．21．已知双曲线的离心率为2，且过点．（1）求的方程；（2）若点，在上，且，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为双曲线的离心率为2，所以，即，因为点在双曲线上，可得，两式联立，解得，，所以的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，联立可得，△，即，，，，，，因为，所以，，，，或，当时，直线的方程为，即，此时直线过点，不符合题意，舍去；当时，直线的方程为，即，此时直线过定点，因为，所以点在以为直径的圆上，所以为的中点，即时，为定值；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，且，即，因为，所以，解得（舍或，所以，此时为定值．综上所述，存在点，使得为定值，且该定值为．22．已知函数．（1）讨论函数的单调性．（2）当时，若有两个零点，，且实数满足恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）函数，可得，①当时，定义域为，，解得；，解得．的增区间为，减区间为．②当时，定义域为，，解得；，解得．的增区间为，减区间为．（2），令，则，在上单调递增，在上单调递减，则要使有两个零点，．故时，有两个零点，，不妨设．易知，，，，，即．令，在上恒成立．因为，，易知，令，则（1