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第二章导数与微分1.分析基础:函数,极限,连续

2.微积分学:微分学3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程《高等数学》主要内容积分学微积分学的创始人:德国数学家莱布尼兹(Leibniz)导数思想最早由法国英国数学家牛顿(Newton)牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.导数思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的。与导数概念直接相联系的是这样两个问题：直线运动物体的速度问题和曲线的切线问题。这是由牛顿和莱布尼兹分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系第1节导数的概念一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为而在时刻的瞬时速度为？若时间间隔选得较短可近似看作物体在时刻的速度。2.切线问题割线的极限位置——切线位置直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线.北师大版初三数学切线定义：上述定义一般不适用于其他曲线.如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限二、导数的定义定义其它形式即也可记作★关于导数的说明：★★注意:★将换成例1.求函数(C

为常数)的导数.例2.

求函数说明：对一般幂函数(为常数)例如，，将换成得：例3.

求函数的导数.类似可证得例4例5例6.

证明函数在x=0不可导.三、导数的几何意义切线方程为法线方程为若切线与x轴平行,若切线与

x轴垂直.曲线在点处的例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x

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