2021年河南省信阳市高级职业中学高三数学理期末试卷含解析

2021年河南省信阳市高级职业中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.阅读右图的程序框图,若输出的值等于,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（▲）

A．?

B．?

C．?

D．?参考答案：A2.设直线与函数的图象分别交于点M、N，则当达到最小时的值为__________.A.

B. C.1

D.2参考答案：C3.如图，在△ABC中，，,P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为

A.

B.

C.3

D.

参考答案：B4..我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（

）A.，， B.，，C.，， D.，，参考答案：D【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.【详解】根据题意可知，第一天，所以满足，不满足，故排除AB，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有，且，所以循环条件应该是.故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.5.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（

）A．B．C．D．参考答案：A向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为；或将选项进行逐个验证.6.设E,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是(

)

(A)arcsin

(B)+arccos

(C)－arctan

(D)π－arccot

参考答案：D解：取AD、BD中点H、M，则EH∥FG∥BD，于是EH在平面EFG上．设CM∩FG=P，AM∩EH=Q，则P、Q分别为CM、AM中点，PQ∥AC．∵AC⊥BD，TPQ⊥FG，CP⊥FG，T∠CPQ是二面角C—FG—E的平面角．设AC=2，则MC=MA=，cos∠ACM==．∴选D．7.点P是曲线上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为A.1

B．

C．

D．参考答案：D8.已知函数，实数a，b满足.若，，使得成立，则的最大值为（）A．3

B．4

C．5

D．参考答案：A9.已知命题、，则“为真”是“为真”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出的值，结合函数的单调性进行求解即可．【详解】解：函数图象向右平移个单位长度，得到，所得图象关于原点对称，则，得，，∵，∴当时，，则，由，，得，，即的单调递增区间为，，∵，∴当时，，即，即在上的单调递增区间为，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是

.参考答案：解析：设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是12.已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为

．参考答案：36π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，△ABC为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，利用四面体ABCD体积的最大值为9，求出R，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，△ABC为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，最大值为=9，∴R=3，∴球O的表面积为4πR2=36π．故答案为：36π．13.函数（a为常数）在（-2，2）内为增函数，则实数a的取值范围是

.参考答案：14.已知椭圆上一点P到其右焦点F2的距离为5，则点P到其左准线的距离为

．

参考答案： 15.如图，在直角坐标系中，已知射线，，过点作直线分别交射线于两点，且，则直线的斜率为

.参考答案：答案：

16.（5分）sin7°cos37°﹣sin83°sin37°的值为

．参考答案：﹣考点： 两角和与差的余弦函数．专题： 三角函数的求值．分析： 由诱导公式可得sin83°=cos7°，可得sin7°cos37°﹣sin83°sin37°=sin7°cos37°﹣cos7°sin37°=sin（7°﹣37°），计算可得答案．解答： 由诱导公式可得sin83°=sin（90°﹣7°）=cos7°，∴sin7°cos37°﹣sin83°sin37°=sin7°cos37°﹣cos7°sin37°=sin（7°﹣37°）=﹣sin30°=﹣故答案为：﹣点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及诱导公式的应用，属基础题．17.（）7的展开式中，x﹣1的系数是

．（用数字填写答案）参考答案：﹣280【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．【解答】解：∵（﹣）7的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣2）r?，令=﹣1，求得r=3，可得x﹣1的系数为?（﹣8）=﹣280，故答案为：﹣280．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

(本小题满分16分)

已知：函数

，在区间上有最大值4，最小值1，设函数．

（1）求、的值及函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；

（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围．参考答案：解：（1），由题意得：

得

或

得（舍），

，…………4分（2）不等式，即，设，，，…………10分（3），即．令，则

记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，记，由题可知，或．…………14分时满足题设．…………16分19.（本小题满分13分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列（），且，,已知，(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)设，,（），试比较与的大小.参考答案：见解析考点：数列综合应用，等比数列，等差数列（Ⅰ）设等差数列公差为，等比数列公比为

依题意：

解得：，

所以，．

（Ⅱ）

，

①

②

①-②得：，

又

当时，

当时，．

所以．20.(本小题满分12分)在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10,0.05，第二小组的频数是40.

(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求两个班参赛学生的成绩的中位数。

参考答案：（1）0.40，图见解析（2）100（3）64.5略21.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值