对数的换底公式及其推论

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法规若是a>0，a-1，M>0，N>0有:loga(MN)JogaMgN(1)町1。N⑵log.Mn二nlogaM(nR)(3)二、新授内容：对数换底公式：gmN=1，m>0,m=1,N>0)logaNJ°(a>0,alogmax证明：设logaN=x,贝Ua=N■两边取以m为底的对数：logmax=logmN=xlogma从而得:logmNlogmNx二logaNlogmalogma两个常用的推论①logablogba=1,logablogbc」ogca=1”②logambn=卫logab(a,b>0且均不为1)*m证：①logablogb「罟■晋"②logambnlgbnnlgblgammlga三、讲解模范:例1已知log23=a,log37=b,用a,b表示log42解：由于log21又log37=b,3=a，则log32a二4256log356log373log32ab3log342log37log32■1abb1log厂1-log023例2计算：①502②log43log92-logj432.5解：①原式-5%23log5-53115②原式=-log2log3log22例3设x,y,z二且3x=4y=6z（0,：：）2比较3x,4y,6z的大小*2yz证明1：设3x=4y=6z=k?/x,y,z（0,：：）?k1取对数得

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lg6lgk6423x-4y=（三4）lgklg64-lg81::0lg3lgklg4lg3lg4lg3lg43x::4y又：4y-6z=（46）lgk」g36Tg64lgk=lg4lg6lg2lg6lg2lg6???4y::6z.3x::4y::6z*例4已知logax=logac+b，求x，解析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；别的，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端,也许将b变为对数形式.解法由对数定义可知：x=aloga」b=alogacab=cab?解法二：x由已知移项可得logax「logac二b，即logab*c由对数定义知：—=ab.x=cab.c解法三：b

b

b

bb=logaalogx=logclogalogca.x

=ca四、课堂练习：①已矢卩log189=a,18b=5,用a,b表示log3645解：Tlog189=a18log182=1_a-logi8—=1_logi82?/18b=518=b???log5loglog1845log189log185ab3645一2-alog18361+log182②若log83=p,log35=q,求lg5解：Tlog83=p?-log233=p=log23=3p=又???log35=q???lg5二逐血噫log310log3^log351+3pq三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业：1.证明：1logablogabx证法1：设logaX二p,logabX二q,logab二r则:X=apX=(ab)q=aqbqb=arpq=aq(1r)从而p=q(1?r)???a=(ab)■/q=0?p=1r即：logaX=1logab(获证)qlogabX证法2：由换底公式左边=logaX=logxab=gga右边ab=1logab=logabXlogXa2?已知loga!d=loga2b?二二loga.bn二’求证：砸玄侵an(b1b2bn)='lgd_lgb2证明：由换底公式lga1lga2lgb1lgb^亠lgbn=glga?亠亠lga.lg(db2bn)?-loga。an(b1b2bn)l