信号与系统(第3版)徐天成等编著电子教案：第4章 连续时间系统的时域分析2

第4章连续时间系统的时域分析4.2线性时不变系统及其分析方法概述4.1系统模型及其分类4.3线性时不变系统响应的经典求解4.4零输入响应与零状态响应4.5冲激响应与阶跃响应4.6系统的卷积积分分析4.7卷积积分的性质4.8用MATLAB对连续时间系统的时域分析

14.5冲激响应与阶跃响应

以单位冲激信号作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位冲激响应”，以h(t)表示。

以单位阶跃信号u(t)作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”，以g(t)表示。

1.定义

2.冲激响应h(t)的求解将及代入上式，得

24.5冲激响应与阶跃响应（1）如果n>m，冲激响应h(t)应与齐次解的形式相同，如果特征根包括n个非重根，则（2）如果n=m，冲激响应h(t)将包含一个项，即

34.5冲激响应与阶跃响应(3)如果n<m，冲激响应h(t)中将包含

系数由初始条件确定系数由方程两端奇异函数匹配直接计算

例4.5-1：已知微分方程为

求冲激响应h(t)。

解：

44.5冲激响应与阶跃响应将

代入微分方程，比较方程两边系数可求出：所以该方法避免了求

54.5冲激响应与阶跃响应3.阶跃响应g(t)的求法当n≥m，阶跃响应g(t)不包含冲激信号，如果特征根包括n个非重根，则其中B为常数，可用待定系数法求特解的方法确定。根据线性系统的微分与积分特性可知，阶跃响应g(t)为

由于

64.6系统的卷积积分分析线性时不变系统的激励为x(t)，冲激响应为h(t)

1.卷积积分的物理含义即冲激信号的零状态响应

分解为冲激信号的线性组合

时不变性均匀性叠加性

74.6系统的卷积积分分析当时，系统的全响应，表达式如下零输入响应零状态响应

84.6系统的卷积积分分析2．卷积积分的计算由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。首先将x(t)和h(t)的自变量t改成，即：

再进行如下运算（即卷积积分的四步曲）：

反褶、时移、相乘、积分。反褶：时移：

相乘：积分：计算卷积积分的关键是定积分限。

94.6系统的卷积积分分析1）当t<0时，2）当t>0时，s(t)=0

例4.6-1：已知

,求解

104.6系统的卷积积分分析例4.6-2：已知，求解：

1）当t<0时，s(t)=02）当0<t<T时，

114.6系统的卷积积分分析3）当tT

时，

124.6系统的卷积积分分析例4.6-3

已知求：

0t12h(t)-1/210t1解：01-2

134.6系统的卷积积分分析-1/211tt-21）当时，2）当时，-1/211tt-2

144.6系统的卷积积分分析-1/211tt-23）当，即当时4）当，即当时，-1/211tt-2

154.6系统的卷积积分分析-1/211tt-25）当，即时，-1/213/223t0

164.7卷积积分的性质

1.代数性质（1）交换律（2）分配律

分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。h2(t)h1(t)x(t)

174.7卷积积分的性质（3）结合律

结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。h2(t)h1(t)x(t)2．微分与积分

184.7卷积积分的性质3.与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：

194.7卷积积分的性质4.时移性质若则例4.7-1：用卷积积分的微分与积分特性求下列图中两信号f1(t)与f2(t)的卷积积分s(t)=f1

(t)*f2(t),并画出s(t)的波形。

204.7卷积积分的性质解：

214.7卷积积分的性质波形的合成注意：只有当需要求导数的函数。经求导为，再经积分后，能够得到原函数的情况下，才能使用式(4.7-7)来求两函数的卷积，否则就不能直接使用该式。

224.7卷积积分的性质例4.7-2：已知f1(t)=u(t),f2(t)=e-(t-1)u(t-1)，求f1(t)*f2(t)。解：该例与例4.6-1做比较可知，本例中的f1(t)与例4.6-1中的x(t)相同，而本例中的f2(t)是将例4.6-1中的h(t)右移1得到的，所以根据卷积的时移特性及例4.6-1的结果，可以直接写出s(t)的表达式

234.8用MATLAB对连续时间系统的时域分析方程右边多项式系数构成行向量方程左边多项式系数构成行向量通过调用MATLAB函数tf(b,a)

得到系统函数。如果已知系统的系统函数，就可以用函数lsim

来分析系统的时域响应。

244.8用MATLAB对连续时间系统的时域分析例4.8-1

已知某连续系统的微分方程为当系统的输入信号为时，绘制系统的响应和输入信号的波形。解：其程序清单如下。a=[122];b=[13];sys=tf(b,a); ％定义系统的系统函数t=0:0.01:6; ％定义采样间隔和时间范围f=exp(-t);lsim(sys,f,t); ％对系统输出进行仿真gtext('系统激励');gtext('系统响应'); ％用鼠标添加文本注释

254.8用MATLAB对连续时间系统的时域分析a=[122];b=[13];sys=tf(b,a); ％定义系统的系统函数t=0:0.01:6; ％定义采样间隔和时间范围f=exp(-t);lsim(sys,f,t); ％对系统输出进行仿真gtext('系统激励');gtext('系统响应'); ％用鼠标添加文本注释

264.8用MATLAB对连续时间系统的时域分析解：MATLAB中没有直接计算连续信号卷积的函数。我们将连续信号以等间隔采样后得到的离散序列的卷积和（有关离散序列及卷积和将在第7章讲解），再利用专用函数conv来实现连续信号卷积的计算。

有关程序清单如下

274.8用MATLAB对连续时间系统的时域分析k1=0:0.01:5;k2=-1:0.01:3;p=0.01; ％采样时间间隔p=0.01f1=Heaviside(k1-1)-Heaviside(k1-4); ％定义f1(t)信号f2=0.5*k2.*[Heaviside(k2)-Heaviside(k2-2)];％定义f2(t)信号f=conv(f1,f2);f=f*p; ％计算序列1与序列2的卷积和k0=k1(1)+k2(1); ％计算序列f非零样值的起点位置k3=length(f1)+length(f2)-2; ％计算卷积和f的非零样值宽度k=k0:p:k0+k3*p;subplot(2,2,1); ％确定卷积和f的非零样值时间向量plot(k1,f1);axis([0,5,-0.2,1.2]); ％在子图1绘制f1(t)时域波形图title('f1(t)');subplot(2,2,2);plot(k2,f2); ％在子图2绘制f2(t)时域波形图title('f2(t)');axis([-1,3,-0.2,1.2]);subplot(2,2,3);plo