圆锥曲线讲义-高三数学一轮复习

38/38第十二章圆锥曲线本部分的要求主要有三个方面：第一，考查圆锥曲线的定义，求圆锥曲线的标准方程，求曲线的轨迹方程；第二，根据圆锥曲线的标准方程确定圆锥曲线的几何性质(主要是参数a，b，c，p、焦点坐标、顶点坐标、离心率e、抛物线的准线方程、双曲线的渐近线方程等)；第三，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关综合问题；一.知识与方法梳理：(一)圆锥曲线定义、标准方程、几何性质：项目椭圆双曲线抛物线定义平面内到两定点距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹平面内到两定点距离之差的绝对值为定值（小于两定点距离）的点的轨迹平面内到一定点距离与到一定直线的距离（定点不在定直线上）相等的点的轨迹定义的数学表示|F₁F₂|+|PF₂||=2a>|F₁F₂||PF₁|-|PF₂||=2a<|F₁F₂||PF|=标准方程（一）焦点在x轴上：x焦点在x轴上：xy²=2px(p>0)(焦点在x轴正半轴上)y²=−2px(p>0)(焦点在x轴负半轴上)标准方程（二）焦点在y轴上：y焦点在y轴上：yx²=2py(p>0)(焦点在y轴正半轴上)x²=−2py(p>0)(焦点在y轴负半轴上)标准方程与焦点位置系数大小决定焦点系数符号决定焦点一次项和系数符号决定焦点焦点坐标与准线方程(一)F(±c,0),x=±(二)F(0,±c),y=±(一)F(±c,0),,x=±(二)F(0,±c),y=±(一)F(p2,0),,x=−F(−p2(二)F(0,p2),F(0,−p2离心率e=e越大椭圆越扁;e=e越大开口越阔;e=1p越大开口越阔;顶点A(±a,0),B(0,±b)(一)A(±a,0);(二)A(0,±a)O(0,0)对称性关于x轴、y轴、原点对称：关于x轴、y轴、原点对称；(一)关于x轴对称;(二)关于y轴对称;渐近线无（一）x2a−双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于b；无参数的几何意义b²+c²=a²;a:长半轴长;b短半轴长;c:半焦距;a²+b²=c²;a:实半轴长;b:虚半轴长;c:半焦距;p:焦准距焦半径（第一标准型）|PF|=a±ex（左＋右－）左支点:|PF|=-(a±ex)（左＋右－）右支点:|PF|=ex±a（左＋右－）|PF|=p2+x;通径（正焦弦）2b²2b²2p最值椭圆上点到焦点距离最大值a+c,最小值a-c;过焦点的最短弦长

2b²a双曲线上点到焦点距离最小值c−a(同支)或c+a(异支），无最大值;过焦点的最短弦长

2b²a抛物线上点到焦点距离最小值p2注：等轴双曲线：实轴与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线；“离心率e=共轭双曲线：将双曲线的实轴与虚轴对换后所得的双曲线，称为原双曲线的共轭双曲线；双曲线x2a2互为共轭双曲线具有共同的渐近线；具有相同的焦距；并且其离心率满足1(二)关于圆锥曲线的定义：(1)椭圆:①若|PF₁|+|PF₂|=2a>|F₁F₂|=2c,则该轨迹为椭圆;②若|PF|+|PF₂|=2a=|F₁F₂|=2c,则该轨迹为线段F₁F₂；③若|PF|+|PF₂|=2a<|F₁F₂|=2c,则无轨迹。(2)双曲线:①若||PF₁|-|PF₂||=2a<|F₁F₂|=2c,则该轨迹为双曲线；②若||PF|-|PF₂||=2a=|F₁F₂|=2c,则该轨迹为以F₁、F₂为端点的两条射线；③若||PF脏|-|PF₂||=2a>|F₁F₂|=2c,则无轨迹。④若|PF|-|PF₂|=2a<|F₁F₂|=2c,则该轨迹为双曲线的一支(含F₂的一支)；⑤若|PF|-|PF₂|=2a=|F₁F₂|=2c,则该轨迹为以F₂为端点的一条射线；(3)抛物线:|PFPF=(4)圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离与到一定直线l的距离之比为定值e的点的轨迹为圆锥曲线(其中F在1外且0<e<1时为椭圆；e>1时为双曲线；e=1时为抛物线；)，其中该定点为焦点，该定直线为该焦点对应的准线。(5)定义体现的是圆锥曲线上点的几何条件，常常在解决问题中体现出几何方法，与平面几何、解三角形知识结合来解决问题；(6)椭圆焦点三角形的性质：椭圆x2a2+y2b2=1ab>0)上的一点P(x₀,y₀)(y₀≠0)和焦点F₁(-c,0)、F₂(c,0)为顶点的△PF₁F₂,称为焦点三角形。记∠F₁PF₂=θ,∠PF₁F①|PF₁|+|PF₂|=2a⇒△F₁PF₂的周长为2(a+c);②(2c)²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|PF₂|cosθ;③离心率e=sinα【证明如下】④【证明如下】⑤当P为短轴的两个端点时，θ最大。越向两侧，θ越小。【证明如下】(7)双曲线焦点三角形的性质：以双曲线x2a2−y2b2=1a0,b>0)上的一点P(x₀,y₀)(y₀≠0)和焦点F₁(-c,0)、F₂(c,0)为顶点的△PF₁F₂,称为焦点三角形。记.∠F₁PF₂=θ,∠PF₁①||PF₁|-|PF₂||=2a;②(2c)²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cosθ;③离心率e【证明如下】④S【证明如下】(8)抛物线焦点弦的性质：已知过抛物线y²=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为抛物线的焦点弦,设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则有(请自己证明和推导):①x【证明如下】②焦半径|【证明如下】③焦点弦长|AB|=x₁+x₂+p或|AB【证明如下】④以焦点弦AB为直径的圆必与其准线相切；以焦半径为直径的圆必与y轴相切；【证明如下】⑤S【证明如下】⑥1【证明如下】拓展：A.以椭圆焦点弦AB为直径的圆必与该焦点对应的准线相离；证明:设A、B的坐标分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),弦AB的中点记为M(x₀,y₀),分别记从A、B、M到准线x=−a2所以圆的半径：R故以焦点弦AB为直径的圆必与对应准线相离。B.以双曲线焦点弦AB为直径的圆必与该焦点对应的准线相交；【证明如下】C.以椭圆焦半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；证明：设以焦半径PF₁为直径的圆的半径为r、以长轴为直径的圆的半径为R，则R在△PF₁F₂中,因为OM为中线,则|于是，R因此，以焦半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。D.以双曲线焦半径PF₁(F₁为左焦点)为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切(内切：P在右支；外切：P在左支)。【证明如下】(9)关于点P在圆锥曲线上的解决策略：策略一：定义(几何条件)，高考主要考查椭圆、双曲线的第一定义和抛物线的定义；(对于椭圆、双曲线的第二定义，高考不要求)：定义是研究曲线几何特征的重要内容，应用定义，往往能快速灵活的解决一些与定义中的几何条件相关的几何问题。策略二：方程(代数条件)，高考主要考查圆锥曲线的标准方程，也有考查参数方程，一般不考极坐标方程。利用点的坐标与曲线的方程是解析几何解决问题的基本策略，也是解析几何的核心要素。因而：点P(x,y)在以F₁、F₂为焦点的椭圆上⟺|⟺|⟺x2a2⟺x=点P(x,y)在以F₁、F₂为焦点的双曲线上⟺||⟺|⟺x2a2⟺x=点P(x，y)在以F为焦点、I为准线的抛物线上⟺⟺y2⟺x=2pt【典例1】如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(A)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【体验练习1】1.已知圆((x+2)²+y²=36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.设F₁,F₂分别是椭圆x2A.4B.3C.2D.53.椭圆x2A.14B.4.已知椭圆上有一点P，F₁，F₂是椭圆的左，右焦点，若△F₁PF₂为直角三角形，则这样的点P有(C)A.3个B.4个C.6个D.8个5.已知P为椭圆x225+y216=16.已知椭圆x2a2+y2b2=17.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F−2A.x225+y8.已知圆C₁:(x+3)²+y²=1和圆C₂:(x-3)²+y²=9,动圆M同时与圆C₁及圆C₂相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为9.已知F为双曲线C:x210.已知双曲线x211.已知抛物线y²=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),B(3,4),则当并点P的坐标为_(2,2)时,|PA|+|PF|的最小值为_;|PB|+|PF|的最小值为。12.设抛物线x²=12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=1013.如图，设抛物线y²=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(C)A.|BF|−1|AF14.已知双曲线x264−y15.如图，过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|4F|=3,则此抛物线的方程为_(三)关于圆锥曲线的标准方程：（1）求圆锥曲线的标准方程一般用待定系数法(根据条件确定焦点—设方程一列方程(组)--解方程--代入);（2）根据圆锥曲线的方程求有关参数一般需要先转化为标准方程来解决(转化确定焦点确定参数)（3）中心在O'(m，n)，对称轴垂直于坐标轴的椭圆方程为：x−m2中心在O'(m，n)，对称轴垂直于坐标轴的双曲线方程为：x−m2顶点在O'(m，n)，对称轴垂直于坐标轴的抛物线方程为：(y−n)²=±2p(x−m)(p>0)或((x−m)²=±2p(y−n)(p>0)（4）与x2a互为共轭的双曲线具有共同的渐近线x2a2−【典例2】判断方程x2【典例3】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，开且边点P(3，0)，则椭圆的方程为.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(3)经过点M(2,-3)且与椭圆9x²+4y²=36共焦点的椭圆方程为;【提升】：(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F₁F₂|这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.(3)与椭圆x2a2(4)与椭圆x2x2a2【典例4】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点M3−42和(2)与双曲线x29−y2(3)与双曲线x216−y2【提升】：(1)过已知两点且不知道焦点在哪个轴上时，双曲线的标准方程可表示为：mx²+ny²=1(mn<0)(2)与双曲线共焦点的双曲线标准方程可表示为：x(2')与双曲线x2a2(3)与椭圆x2a2(3')与椭圆x2a2(4)与双曲线x2a2−其中λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线；(5)以y=±bax为渐近线的双曲线系方程为：(6)与双曲线x2x2a2−【体验练习2】1.过点3−5,且与椭圆y2.设F₁,F₂分别是椭圆E:x2+3.根据下列条件，写出双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54(2)焦距为26,且经过点M(0,12);(3)经过两点P−327和4.过点M−23和N15.写出适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2):(2)准线方程是y=−14(3)焦点到准线的距离是2;(4)焦点在直线x-2y-4=0上;(5)已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M2(6)焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为15;(7)抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2−6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1A.x23+y7.如果方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_8.设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为213(四)关于圆锥曲线的几何性质：根据曲线方程研究曲线的几何性质，是解析几何的基本问题，通过研究方程中变量的范围、对称性、顶点、特殊点、特殊直线、渐近线、变化趋势等，实现对方程表示的几何图形的定位、定性和定量，这也是函数研究思路的延续。通过圆锥曲线的标准方程，我们可以研究圆锥曲线的几何性质(焦点、顶点、离心率、渐近线、准线等)，反之，我们也可以通过圆锥曲线的几何性质来研究圆锥曲线的方程，这是圆锥曲线问题的基本考点。【典例5】求抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、对称轴方程、准线方程；【典例6】椭圆x2a2+分析：求椭圆的离心率问题的一般思路：求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a²=b²+c²消去b，即可求得离心率或离心率的范围.【体验练习3】1.(教材改编)椭圆x2A.4B.8C.4或8D.122.已知椭圆x2a2A.33B.3.已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+2上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为.4.从椭圆x2a2A.24B.5.已知椭圆，E:x2aA.032B6.设椭圆C:x2a27.椭圆x24+y2=1的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆上一动点，若8.若双曲线x2A.5B.59.若实数k满足0<k<9,则曲线x225−yA.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等D.离心率相等10.已知F为双曲线C:x²-my²=3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为11过双曲线x2a2−A.2B.12.平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:x213.设双曲线x2a2−yA.±12B14.将离心率为e₁的双曲线C₁的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e₂的双曲线C₂，则(D)A.对任意的aB.当a>b时,e₁<e₂;当a<b时,e₁>e₂C.对任意的a,b,e能>e₂D.当a>b时,e₁>e₂;当a<b时,e₁<e₂15.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(B)A.216.已知椭圆x2a12+yA.17.已知双曲线x2m−y18.过抛物线y²=4x¹的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|=3，则△AOB的面积为_.19.已知点A(-2,3)在抛物线C:y²=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_20.已知抛物线y²=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(B)Ax=1B.x=-1Cx=2D.x=-2(五)曲线与方程(轨迹与轨迹方程问题)：解析几何研究问题的基本思路是：曲线⇄方程，即根据曲线的几何条件求出曲线的代数方程，然后由曲线的代数方程，来研究曲线的集合特征(性质)，因而，轨迹与轨迹方程问题是解析几何的基本问题。1.曲线与方程：方程F(x，y)=0是曲线C的方程⇔曲线C是方程F(x,y)=0的曲线⇔1⇔P2.求曲线方程(轨迹方程)，就是求曲线(轨迹)上任一点的坐标关系(约束条件)；3.曲线C₁:F(x,y)=0与曲线C₂:G(x,y)=0的交点问题,就是方程组Fx4.求动点的轨迹方程的一般步骤：(1)建系——建立适当的直角坐标系; (2)设点——设动点的坐标为(x,y);(3)列式——把几何条件转化为坐标表示; (4)化简——对坐标表达式进行等价的化简变形，(5)证明——证明所得方程为符合条件的动点轨迹方程.(事实上，只需回看检验即可)5.求轨迹方程的基本方法：直接法：一边应用数学公式(解析几何、向量、三角等)，将轨迹中动点的几何条件转化为动点的坐标关系，进而求出动点轨迹方程的一种方法：定义法：通过动点的几何关系判定轨迹的类型(符合某类轨迹定义)，进一步确定该类轨迹方程中的有关参数，代入轨迹方程，即可求得该轨迹方程的一种方法；待定系数法：如果根据条件能判定轨迹类型，可以通过设该轨迹方程，然后根据条件列出有关待定系数的方程(组)，进而解出有关待定系数，从而写出动点轨迹方程的一种方法。转移代入法(相关点法)：当动点轨迹问题中，动点的运动是由另一动点(称为相关动点)的运动而引发的，如果该相关动点在一己知曲线上运动，我们即可用该动点坐标表示该相关动点坐标，代入已知曲线方程而求得动点轨迹方程的一种方法；参数法：是一种间接求法，是通过设定一个中间变量作为参数，寻找出动点轨迹的参数方程，然后再消去参数，得出动点轨迹方程的一种方法；点差法：当出现与中点有关的轨迹问题时，经常采用的一种方法是设出相关的所有相关点，然后列出这些点所有的坐标关系，然后通过运算消去所有参数，得出动点坐标关系的一种方法。因为经常需要将点的坐标代入已知方程，并且将两个方程相减、分解、代换，所以将此法叫做点差法；几何法：首先通过几何知识找到动点的几何条件，然后转化为动点坐标的代数关系的一种方法；另外，还有交轨法、极坐标法等，6.求轨迹方程就是求轨迹上动点的坐标关系，而求轨迹则是确定动点的轨迹图形，有时是通过几何关系直接确定轨迹图形，而有时是先求出轨迹方程，然后通过方程的特点来确定轨迹图形的。【典例6】已知两圆C₁:(x-4)²+y²=169,C₂:(x+4)²+y²=9,动圆P与C₁内切，与C₂外切。求圆心P的轨迹和轨迹方程。【典例7】设直线x-y=4a与抛物线y²=4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程.【提升】“相关点法”是求轨迹方程的重要方法，其基本步骤是：(1)设点:设被动点(动点)坐标为(x,y),主动点(相关动点)坐标为(x₁,y₁);(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.【典例8】以原点为圆心，分别以a，b(a>b)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程。7.中点弦问题、弦中点问题：①若P(x₀,y₀)在椭圆x2x【证明】设被P平分的中点弦与椭圆交于点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂),则有x12即1又x1+x又因为y被P平分的中点弦方程为y−y0=−②若P(x₀,y₀)在双曲线x2x【证明】③若P(x₀,y₀)在抛物线y²=2px(p>0)内，则被P平分的弦方程为：y₀y=p(x+x₀)。【证明】④若过点P(x₀,y₀)做椭圆x2x【证明】设过P的弦与椭圆交于点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂),弦中点记为Q(x,y),则有x12即1又x1+x又因为y所以过P的弦中点的轨迹方程为xa2⑤若过点P(x₀,y₀)做双曲线x2x【证明】⑥若过点P(x₀,y₀)做抛物线y²=2px(p>0)的弦，则弦中点的轨迹方程为：y(y-y₀)=p(x-x₀);【证明】【体验练习4】1.方程x22.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是(B)A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=03.设定点F₁(0,-3),F₂(0,3),动点P满足条件|P4.和点O(0，0)，A(c，0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为5.已知⊙O方程为x²+y²=4,过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为6.已知F₁(-5,0),F₂(5,0),△F₁PF₂的顶点P满足:(1)△F₁PF₂的周长为22,顶点P的轨迹方程为_2sin∠7.点M与点F(4，0)的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，则点M的轨迹方程为8.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(-5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()A.x+y=5C.9.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点，若RA=A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+410.已知△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是(C)A.x29−y11.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=λ1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线12.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积为_4π_.13.曲线C是平面内与两个定点F₁(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a²(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上,则△F₁PF₂的面积不大于1其中，所有正确结论的序号是14.P是椭圆x2a2+y2b215.在△ABC中,|BC|=4,ABC的内切圆切BC于D点，且16.动点P在直线x=1上运动，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是(B)A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线17.在平面直角坐标系中，方程|xA.三角形B.正方形C.非正方形的长方形D.非正方形的菱形18.如图，斜线段AB与平面a所成的角为60°，B为斜足，平面a上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是(C)A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支19.如图,动圆C₁:x²+y²=t²1<1<3,与椭圆C220.如图,DP⊥x轴,点M在DP的延长线上,且|DM|=2|DP|.当点P在圆x²+y²=1上运动时.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点T(0,t)作圆x²+y²=1的切线l交曲线C于A、B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标.(六)关于直线与圆锥曲线的位置关系(综合问题)：(1)①点与椭圆的位置关系:点P(x₀,y₀),椭圆x2x②点与双曲线的位置关系：点P(x₀，y₀)，双曲线x2x③点与抛物线的位置关系：点P(x₀，y₀)，抛物线，y²=2px(p>0)。则有y(2)切线问题(拓展问题，选学※)：①若P(x₀,y₀)在椭圆x2a2【证明】容易求得椭圆的切线斜率为k=−又因为该切线过点P(x₀,y₀),所以切线方程为y−y0又因为点P(x₀,y₀)在椭圆x2a2+可得过P的椭圆的切线方程为x②若P(x₀,y₀)在双曲线上，则过P的双曲线的切线方程是x③若P(x₀,y₀)在抛物线y²=2px上，则过P的抛物线的切线方程是y₀y=p(x+x₀)。④若P(x₀,y₀)在椭圆x2a2【证明】设切点P₁、P₂的坐标分别为P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂),由①的结论，切线PP₁的方程为：x1xa又因为P(x₀,y₀)在PP₁和PP₂上,则有x上式说明P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)满足方程x所以切点弦P₁P₂的方程是x⑤若P(x₀,y₀)在双曲线x2则切点弦P₁P₂的方程是x⑥若P(x₀,y₀)在抛物线y²=2px外，过P作抛物线的两条切线，切点为P₁，P₂，则切点弦P₁P₂的方程是y₀y=p(x+x₀);(3)圆锥曲线弦长公式：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则：|同时|对于圆锥曲线的弦长问题，一般需要根据弦长公式来解决，同时需要通过方程组联立，借助韦达定理来解决，这是与圆的弦长的解决方式不同的。(4)在解决圆锥曲线的综合问题时的基本思路是：一.画出示意图帮助理解题意；二.将条件努力转化为点的坐标和曲线的方程来解决；三.综合运用“巧设变量”、“巧设方程”、“设而不求”、“整体代换”、“数形结合”、“参数辅助”等技巧；四.特别关注：①直线斜率是否存在；②判别式是否大于零；(5)①直线与椭圆的位置关系:直线Ax+By+C=0,椭圆x一般地，由Ax+By其中a'=a²k²+b²>0,若二次方程的判别式为△，则有：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ=0⇔直线与椭圆相切；Δ<0直线与椭圆相离。【典例9】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:x2a2(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E:x24a2+y

②直线与双曲线的位置关系：直线Ax+By+C=0，双曲线x一般地，由Ax+其中a'=b²-a²k²。若a'≠0，(*)为二次方程，其判别式为Δ，则有：Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ=0⇔直线与双曲线相切；进而：Δ>0Δ>0x若a'=0，(*)为一次方程，此时直线恰好与双曲线的渐近线平行(或正好是双曲线的渐近线)。它与双曲线相交(或相离)，但只有一个公共点(或无公共点)。研究：过平面内一点做直线与双曲线只有一个公共点，可以做多少条?【典例10】若双曲线IE:x2a①求k的取值范围；②若|AB|=63,③直线与抛物线的位置关系：直线Ax+By+C=0，抛物线y²=2px(p>0)。一般地，由Ax+By+Δ>0⇔直线与抛物线相交；Δ=0⇔若a'=0，(﹡)为一次方程，此时直线恰好是水平直线。它与抛物线相交，但只有一个公共点。研究：过平面内一点做直线与抛物线只有一个公共点，可以做多少条?【典例11】已知抛物线C:y=mx²(m>0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【体验练习5】1.直线y=kx-k+1与椭圆x2A.相交B.相切C.相离D.不确定2.若直线y=kx与双曲线x2A.023B3.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y²=4x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.已知双曲线x25.已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x²=4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为.6.过双曲线x2A.4337.已知点F₁,F₂是椭圆x²+2y²=2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，则|PFA.0B.1C.2D8.已知M(x₀,y₀)是双曲线C:x22−y2=1上的一点，F₁，F₂是C的两个焦点，若MFA.−33339.过抛物线y²=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条10.设a,b是关于t的方程t²cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a²),B(b,b²)两点的直线与双曲线x2A.0B.1C.2D.310.在抛物线y=x².上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为.11.已知双曲线x212.已知抛物线的方程为y²=4x。直线l过定点P(-2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点?13.曲线2x²+y²=2a²(a>0)与连结A(-1,1),B(2,3)的线段没有公共点,求a的取值范围。14.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l₁∥l，且l₁和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.15.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−1(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。三.高考真题选：1.点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x²于A,B两点,且|PA=|AB|,则称点P为“A点”,那么下列结论中正确的是()A.直线l上的所有点都是“A点”B.直线l上仅有有限个点是“A点”C.直线l上的所有点都不是“A点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“A点”2.椭圆x29+y22=1的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4,则|PF₂|=;∠3.设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在(-1,f(-1))处的切线的斜率为.4.已知双曲线x2a2−5.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p(x,y)的轨迹方程是y=f(x),f(x)的最小正周期为;y=f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。6.已知双曲线x27.设A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)=N(t)的所有可能取值为;8.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F-2(1,0)的距离的积等于常数a²(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积大于129.在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60°.则△OAF的面积为;10.双曲线x2−y2A.11.若抛物线y²=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.12.若双曲线x2a2−A.y=±2xB.y=±213.直线l过抛物线C:x²=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.⁴/₃B.2C.⁸/₃D14.设双曲线C的两个焦点为−215.设双曲线C经过点(2,2),且与y216.已知(2,0)是双曲线x217.已知双曲线x2a2−18.已