(完整版)等差数列求和

偶偶一、等差数列的前n项和公式n(a+a)1n—2n(n_1)=na+di2n(类似于S=An2n(类似于S=An2+Bn)n=一n2+a__12丿设尊差数列仙｝的刖11项■和为£「』若?Sm=0;£^+1=3贝恤=()A.3B.4C.5D.6解：5=$nr-£，arrf=^rri-'rr=^!所以公差d=3rT«---arT=l»弘-咚产也得”2所以arr=-2-(m-1)"1=2，解得tn=3，二、1)对于项数为2k(kgN)的等差数列，有+S=k(a+a)2kkk+1S=ka奇kS=ka偶k+1S-S=kd偶奇Sa^奇=—k-SaTOC\o"1-5"\h\z偶k+1(2)对于项数为2k_1(kgN)的等差数列，有+S=(2k_1)a2k_1kS=kaS奇=(k_1)a偶kS-S=a=a奇偶k中S=kk_1例：已知等差数列｛a｝的前n项和为377,项数n为奇数，且奇数项和与偶数项n和之比为7:6，求中项。解：设n=2k-l（keN），则中项为a,TOC\o"1-5"\h\z+kS=S=（2k-1）a=377n2k-lkSk7—奇==—Sk-16偶S377解得k=7,a=F二——二29，71313即中项为29三、等差数列的前n项和的最值公差d>0o｛a｝为递增等差数列，S有最小值。nn公差d<0o｛a｝为递减等差数列，S有最大值。nn公差d=0o｛a｝为常数列。n特别地，当a>0,d<0时，S有最大值（所有非负项之和）1n当a<0,d>0时，S有最小值（所有非正项之和）。1n例：在等差数列｛a｝中，已知a=20，前n项和为S，且S=S，求当n取n1n1015何值时，S取最大值，并求此最大值。n6666解法一：根据题意可得TOC\o"1-5"\h\z10X20+^^9d二15X20+d223得"=_5565可求a二——n+-n33所以a=0,13即当n<12时，a>0；n当n>14时，a<0。n所以当n=12或13时，S有最大值,n且最大值为S二S二1301213解法二：根据题意，S=An2+Bn（A解法二：根据题意，S=An2+Bn（A丰0），如图所示n由10=15，得当n=12或13时S取最大值，na=A+B=20,1252A得S=_—n2+

n6125n，可求得S=13012设等差数列设等差数列仙｝的刖□项和ftSrf若Siki-1=-2fSm=OjSm4l=3?贝」Hl=（TOC\o"1-5"\h\z解法二、由'io'15知a+a+a+a+a=0，即5a=0,111213141513得a=0,d=――，故当n=12或13时，S取最大值，133n13(a+a丿最大值为S=S=113=13012132求等差数列前n项和S的最值常用方法：利用等差数列单调性或性质求出正负n转折项；或根据二次函数图像的性质求最值。四、等差数列的性质等差数列｛a｝，公差为d,前n项和为S，则：nn（1）等长度截取，S,S—S,S—S，…成等差数列公差为k2dk2kk3k2k（2）算术平均值，*冷,牛…为等差数列，公差为d若｛a｝与｛b｝为等差数列，且前n项和为S与T，则冇=严nnnnbTTOC\o"1-5"\h\zm2m—1例设S是等差数列｛a｝的前n项和，若S4=1，则H=。nnS3S816解：因为S,S—S,S—S,S—S成等差数列,设S=m,S=3m则484128161248S3S—S=2m,S—S=3m,S—S=4m，则S=10m，所以〜=—。84128161216S1016A.3ti.斗C.5A.3ti.斗C.5B.6解已知两个等差数列｛a｝和仓｝前n项和分别为A和B，且住二7"+45，则使nnnnBn+3n得a为整数的正整数n的个数是bn解：T=（2n—l）bnnA=—2n-1B_7（2；—1）+45—（2n-1）+37n+19n+112

n+1所以n+1二2,3,4,6,12即n二1,2,3,5,,11共5个数。五、等差数列｛a｝各项取绝对值后组成的数列勺a|｝的前n项和nnT。

n例：已知数列｛a｝的通项a—11-2n(neN)，求数列｛aT。

n解：由a—11—2n>0得n<5.5，n即当n即当n<5时,a—11—2n，n|a—2n-11，n以当n<5日寸，T—a+a+•••+a—10n—n2TOC\o"1-5"\h\zn12nT—a+a+•••+a—a—a—…—an1/25^67n、当n>6日寸，——(a+a+•••+a