量子力学复习资料华科期中考

Hst$冃录TOC\o"1-5"\h\z基本假说2基本假设2基本定义3对易关系4厄米算符5一维谐振子6共同本征函数7守恒量8中心立场的径向方程9表象变换10自旋11微扰理论12光13定理一-特征值与特征函数14HstHste基本假说经典物理学（其中两个结论）:能量永远是连续的。电磁波（包括光）是这样产生的：带电体做力膻运动时,会向夕卜射电磁波。如：回旋加速器中的轲致辐射。普朗克量子^说:辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下,谐振子的能量不能取任意值，只能是某一B小能量值，只能是某一B小能量&的匚攵倍。对频率为P的谐振子,最小能量&为:s=hv（s称为能量子普朗克常数：h=6.6260755x10-34Js）玻尔的假设：（1913"论原子分子结构"）定态^设：原子系统只能处在一系列具有不连续能量的状态，在这些状态上电子虽然绕核做园周运动但并不向外辐射电磁波。这些状珮为原子系统的稳定状态（简称定态）。这些定态的能量：耳,E2，…,E”跃迁假设：电子从一个能量为的稳定态跃迁至I房一能量为的稳定态时，要吸收或发射T频率为的光子,有：％=——辐射频率公式德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性,—切实物粒子呦电子、原子、分子等）也都具有波粒二象性；具有确定动量p和确定能量E的实物粒子相当于频率为v和波长为2的波,二者之间的关系如同光子和光波的关系一样,满足deBroglie公式：E=hvp=h/A基本假设

Hstcf量子力学基本假设之一:波函数如J）表征了粒子所具有的波粒二象性，完到苗述了微观体系的状态。量子力学基本假设之二:量子力学中,尢学量用算符表示,若在经典力学中有力学量F,则在量子力学中相应的力学量算符为F。力学量用厄米算符表示，表示力学量的算符有组成完全系的本征函数。量子力学基本假设之三：描述体系状态的波函数处和）其日寸空演化行为满足薛定谱方程。量子力学基本假设之四：将体系的状态波函数0用算符戶的本征函数①”展开,其中:户①”=久”①”，户①丸=人①彳％=工5①”+Jc：①昇兄则在体系0态中测量力学n量F得到结果为血的概率为，得到结果2T2+必范围内的概率是kJd益量子力学基本假设之五:在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态。（全同，性原理）基本定义绝对黑体:能完全吸收各种波长电磁波而无反射和透射的物体。热辐射：任何物体在任何溫虾都在不断地向夕卜发射各种波长（躺）的电磁波。不确定度关系是微观粒子波粒二象性所带来的必象结果。这是因为，对波动而言，不能提"空间某一点X的波长"。从而，对微观粒子，只要承认其具有波粒二象性，"微观粒子在空间某一点X的动量”,这样的提法也没有意义。所以，对一个给定点X,动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。不确定度（测不准）关系的严格证明:对于Ji和“，有A.V-Apx>h,和A为厄米算符,结论为:AA-ABHstcf算符：作用在一个函数上得岀另r函数的运算符号,设某种运算把函数"变为",表A示为:Fu=vo利用能量算符，可決合岀量子力学中的基本方程…-薛定谱方程：Mb2=[-—V2+V(r，O>(r,z)Ot2tn束缚态：通常扌无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。TS来说,束缚态所属的能级是分立的。态屋加原理：一般情况下,粒子并不只是完全确定的处于其中的某一状态，而是以某种畴处于其中的某一状态。换句话说,粒子的状态是所有这些分立状态的書加,即0(x)=》c”必⑴。n定态：由定态描述的粒子状态,测量其能量时,得到确定值匕简并：如果系统的能级是分立的，即E=En.若对同一个能级,有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。力学量完全集：设有一组彼此对易的厄米算符(A，A，A，…)，它们拥有共同本征函数中k,若化构成正交归一完备集,使得彳丑合体系的一个量子态©,总有中=为叭叭，则称(A，入，右，…)构成体系的一组力学量完全隼。kZeeman效应(1896):加入磁场后，体系的能级结构发生了变化,导致能级分裂。原来(3=0丿的一条谱线，分裂成三条、五条、七条(3工0丿等。对易关系对易式：7入幺和0,[入三中一直入中。坐标动量对易关系：[x,px]=ih[y,py]=iri[z,p:]=ihHst$0,0a,p=x,y.z0,0a,p=x,y.z角动量的对易式：[t,j]=o,[l角动量的对易式：[t,j]=o,[lx9刃=注乙[/A.,z]=-^y,[iy,x]=-ihz,[(,刃=o,[/y,z]=zAv,[L,x]=ihyy[/.,y]=-ihx,[Zy,z]=0,[匚，仇]=0,[],缜]=/恥，[[』」=-®、.，必t雄，必，久]=0,[“]现,[L,px]=^py,[l：9py]=-ihpx,[/y,pJ=0,A_AAAAA[/2,/」=0,[/2,/J=0,[l2J:]=0对易恒等式：aAAAAAAA[A,B]=4B,A][A,B+C]=[AyB]+[A,C]aAAAAAAAAAAAAA[A,BC]=[A,3]C+B[A,C][AB,C]=A[ByC]+[A,C]B[A,[B+C]]+[B,[C,A]+[C,[A,B]]=0丿也米算符定理：体系的任何状态下,厄米算符的平均值为实数。逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符。推论:厄米算符平方的平均值大于等于零。定理1:厄米算符的本征值必为实数。定理2:厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。HstHst（f+CO10COS=cos（b—+cotsiude=cos（b—+cotsiudeE»［丄2（sm°2）+亠仝］sin0dOdOsnr0d（f）^角动量z分量的本征值与本征函数:L=mh.m=0+1、±2•…是量子化的；相应的本征函数:中点(p)=2——etm(p,m=0,±1,±2…；Q2兀连续谱本征函数：设本征值与本征函数为代和pr本征方程为：-涪一中=py->Cexp(仏dr若xe(一s,+o,则几W(_s,+s),为连续变化:所以称匕.为连续谱本征函数…-不能用Y的方式逬行归T七;—维自由粒子的哈密顿量算符为:白=生=斗j能量本征方程为：2m2mEy/，解为：中F(x)=Q站，E=ri'kh2mk=4^宀XO2m°s(x)=0如也是连续谱本征函数，不能用F的方式进行归T匕一维谐振子简谐运动：体系在平衡立置附近的微対辰动;—维谐振子：粒子一纟隹情况下的简谐运动,同时粒子的势能可以表示为V(x)=KW/2;Hstcf—维谐振子的能量本征方程：二0(.丫)-丝(丄用”妒一E)讥x)=0dx~h~2能量本征值:En=(//+1/2)7?69本征函数:y/(x)=Ane~i,ZxZ-H„(ax)a=^mco/h磁多项式乞(?)=(-1)”/召八j=0,1,2,….1心=[°/丽25!)尸满足如下性质：1x叭=(VF770T+J伙+1)/2化j/d壬嫔=-J伙+1)/2畑)共同本征函数共同本征函数：设怎必=Ay/A,By/R=B中r,若[AJl^Of则y/A不能是B的本征函数中B不能是A的本征函数;若[A,B]=0，则可能存在0,使得：入中=Ay/,By/=B中称中为算符怎和斤的共同本征函数；动量0=1讥,Py^P：)的共同本征函数：拥有共同本征态，即平面波：％(F)=严=严““椚；坐标?=(並儿即的共同本征函数：1注：虽然这两个公式平时也没怎么用到,但是在2012年春季光信量子力学期中考试的最后一题就用到了

Hst拥有共同本征态：中3）=-即三久兀一一儿）久2一G）八和/的共同本征函数：标下:I.=-/7?—,I2=-———（sin3—）+—if*d（psin0dOdOsiir0*共同本征函数泌如="爲1需恥。沏沖，称为球谐函数，满足关系：i1Ylin=/（/+1）妒丫加加=/,/一1,…，一/+1-/,

l:Ylm=mhYlm/=0,1,2,…轨道角动量量子数加磁量子数在（PZ）表象中，iJJy和"的表示2:h720、10h72h720、10h72/00-I0‘100、(\00、z=/j000L=2h-010<°°一1丿,001\77守恒量A力学量平均值的时间依赖特性：4-A（r）=丄[入穴]+—;atihdt右A不显含/，即8A/3/=O，有—/）=—[A^H]odtiti2以下的四个表示式^后面泡^IJW符的表达式最好都记住,考试的时候有些计算会用到,尤其是包禾IJ算符的表示式禾Q相互关系;Hst(f若［入〃］=0Tf入⑴=0,称此时久对应的力学量为体系的一^守恒量。at中心立场的径向方程定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量戶和e即［F9H］=0,［G,H］=0，但［戶,创工0则体系能级是简并的。2氢原子中,电子的势能函数:V(r)=-—;r22减金属原子中，电子的势能函数:V(r)=-—<心卫。为Bohr半径。r厂它们都是球对称的，称之为中心力场。能量本征方程写为:［一尸［+丄丁+V(「)］0=E02/zrdrdr2/zr_中H、(p)=R［U)Y［m©(p)是曲的共同本征函数；关于尺⑴的径向方程:兀(卩+|^；(巾+［爭(£-1^))-斗学笊0)=0令Z/(r)=rR,(r),有：Z；(r)+［|^(E-V(r))-^4^］乙(r)=0卉・厂£(厂)称为径向波函数，取决于V⑴的形式。无限深球方势阱:V(r)=『'r<as,r>a$态情况，得到：能量本征值E=En="Wnr=0丄2…Hste径向波函数：ZOn（r）=J-sin（/?r+1）；rr其中：能量是量子数的显函数。「\aa非$态情况（I>0的情况）R后）=cnljn^knlr）,5=SJa能级（2/+1）度简并氢原子ZV）+[学（E+厶-£11]%（r）=0

才rr其中〃为电子的约化质量，令rl=/L=e=l•••朮广）+[2E+--仏竺加广）=0r厂得能量本征值：£=乞=_耳丄=_学丄,〃=1,2...a=h2//ie2Bohr半径2h~n~2an~主量子数：n=nr+l+l，角量子数：/=0,1,2••-波函数:%（几&,0）=心（*,”（&,0）磁量子数：m=m+1-/能级不简并氢原子能级是斥度简并表象变换在自己的表象中，算符的矩阵式对角化的，对角线上的矩阵元与本征值相对应。狄拉克符号的定义与内积：Hjstcf“〉:右矢，代表量子态©；例：京，代表量子态©的共馳态”；〈创“〉是内积；何^〉大于等于o,成为模方;〈“同是外积；内积：w，中）=\ch中'中三W\W）；〈呦0=1f10是归T七态矢〈0阴=0一|妨和|0〉是正交的本征态的正交归一：《卩〉=4A=|◎何称为投影算符，£1^1=7A的作用是将10在从〉方向上的分量制魏岀来。k态矢|0在尸表象中用％=《阴表示态矢在F表象中用d；=〈0|0表示。算符向左作用3:角动量算符「=lxex+lyey+l:e:.证明:在、的任何一个本征态下,〔和（，的本征值为零；|加〉为（八丄）的共同本征态，证明*和厂的平均值都为［/（/+1）_亦］沪/2;附4：L±|/,w>=方J/（/+1）-加（〃7±1）|l,m±\>自旋电子自旋假设：（荷兰物理系学生Uhlenbeck和Goldsmith与1925年提岀）：电子具有自旋，形成自旋角动量,在任何方向上的投影只有两个数值：C=±2；2自旋形成自旋磁矩必与§的关系是Mv=-—S;3两个结论的推导应当要比较界统，证明题有时候就是跟证明差不多的题目；'该公式证明的时候可能会用到；

Hst基于假设i,必在空间任何方向上的投影只能取两个值，如乙方向，〃、-=±—=土血，其中卩b为Bohr磁子。JLIC2在电子自旋假设的基础上发展起来的量子理论，不仅可以解释史特恩-盖拉赫实验,而且可以解痉碱金属原子光谱的双纟堤构和反常塞曼效应等,终为人们所接受。它揭示岀电子具有自旋繇内禀属性，是一种量子效应，没有经典对应。就是说，电子的自旋是量子概念，不能同宏观粒子的自旋机械运动简单对应。仝仝2AAAA5/y-SySx=ihSzaxay-ayax=2iazs=-g=2ySyS:-S:Sy=msxT&、&：-&0=2icrxm§$：=呃s=-g=2y常用公式:=cos久+/dsinA微扰理论绝热微扰：当夕卜界的围绕十分缓慢地作用到系统上时,不会改变系统的状态,这样的微扰叫做绝热微扰;突发微扰：当夕卜界的微扰十分突然地作用到系统上时,也不会改变系统的状态•这样的微扰叫突发微扰；—级近似下•叭=0—级近似下•叭=0严+二级近似下：E；厂硏-广〉伙+如_厂；22/Z69*电偶极矩：D5q=2q汽阴;Hstcf电极化率:K=D/E=2(r/两;跃迁选择定则：在外电场的作用下,只允许=1的跃迁发生，这成为跃迁的选择定则;禁戒跃迁：在外电场的作用下,谐振子从基态I0>不能跃迁到激发态I”〉，其中〃>1,称这样的舐迁为禁刃夭迁；称这样的舐迁为禁刃夭迁；能量和时间不确曇遇弓；能级竟度,谱线竟度△!/=（△&•+△&_］）/〃；光半经典理论：如果对光的吸收、受激辐射和自发辐射的理论处理采用这样的办法：将光波看做电磁波（而不是看做光子群），用电动力学（而不是量子力学）来描述，对原子系统采用量子力学来描述,这样的理诒习惯上被称为半经典理诒。光的吸收：实验表明,在光的照M下，原子中的电子能吸收光子,从低能级跃迁到高能级,这叫光的吸收。光的受激辐射：在光的激发下，原子中的电子能从髙能级跃迁到低能级,并程放一个光子，这叫光的受激辐射。光的自发辐射：祀艾有夕卜界因素的作用下，原子钟的电子能自动地从髙能级跃迁到低能级,并轻放T光子,这叫光的自发辐射。

HstHste定理-一-特征值与特征函数定理1:设SX丿是能量本征方程的一解，其对应的能量本征值为E,则也是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为E；㈱仑：对应于能量的某个本征值E，若对应的能量本征方程的解只彩不简并，则这个解可取为实函数。定理2:设以尤丿是能量本征方程的一个解，对应于能量的某个本征值E，总可以找到能量本征方程的一组实解,凡是属于的E任何解,均可表示为这一组实解的线性尋加。定理3:设V（小具有确定的偶宇称，即V^）