中等数学-数字谜题所有解上

●数学活动课程讲座数字谜题的所有解((陕西师范大学数学与信息科学学院这样一类计算问题:算式里运算数字或运算符号不全(好像被虫子了),要求根据式子给定的数量关系,把所缺的运算数字或运此处考虑一类特殊的码全出现比如,173×□×469529

也是题目的解本文介绍如何求出此类问题的所有解求解此类问题要特别注意认真理解题意观察与分析观察运算式的结构特征,,找出各种数量关系有时就是多元方程组),等关系,运算中的进位关系等.计算与推理相结合由结构特征与数量关系,通过计算与推×××1

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在这两个乘法算式中,123456789恰好各出现一次又如,找出由这九个数码恰好出现一次□□□□□□□□□=(□□□□□)2有139854276118262(最小的平方数)923187456303842(最大的平方数再如,32547891×6=195287346□□□□□□□□□的一个解,而51249876×3=15374962816583742×9=149253678收稿日期:2007-11-

选择突破口从上面的分析中,选择信息量最大的数字或位置作为解题的突破口,.筛选与淘汰相结合分类穷举,或正面肯定某数码属于某数,或否定某数码属于某数(反证法),边筛选边淘汰确定各个数字或各个数位中的检验首先是确保逻辑上不重不漏,运算没有笔误;其次是梳理解法,精简过程.例1123456789各用一次组成两个数,使其中一个数是另一个数的两倍求出所有满足条件的解:因为九个数码组成两个数,故一个为五位数,另一个为四位数.M=ABCDE表示五位数,N=FGHI表示四位数.于是,原问题即M=2N,或FGH+FGHIABCD1A1E为偶数,2×F有A1F≥5.E≡2I(mod10),E结论2 5在M的BCD中,F≥6.若5在N中,由5×2=10知,BCD、E中会出现0或1.但由A=1知BCDE不小于2.这一 说明,5只能在M中,进而,F≥6. 9在N中,8在M中且在与相应的位置上若不然,9M,N=FGHI<9000M=2×FGHI<18于是MB又E为偶数故等于9的只能是DD9,H412×H没有进位

3C9G412×G有AB2×F,B为偶数BCD中必有5知D=5.H7.此时M=1B95E,N=F47I,M=2N2×F,2×I,FI只能是2368中的68.2×6478129562×8476=16952故C≠9.,9M,9N中2×918及数码不重复知,8结论 7在N中,7M,M157ENB7,F=17-18,2重复.故BC7G≠8G7-12,2×G1=7,2×H应有进位;AB=2FB为偶数而为偶数,D5H2C7,H2,2×H又不应有进位这一说明CC≡2G(mod10),C为偶数BCD5B

D7

≠8H

7-2

=从而F7.M=15C9E,N=7G4I,M=2N是2368中的68.2×7648152962×7846=15692故D≠9.

2×HC为偶数,E为偶数,必有B=5.AB=15=2×F+1,知F=15-127,与数码不重复.故D≠7.综上可知,7在N中.结论5 MN均为3的倍数,M中有1、3458,N中有2679;或者M中有14658N237FGH由 FGHIABCD2(F×103+G×102+H×10+得3F×103+G×102+H×10+=(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+9[A×1111+(B+F)×111+(C+G)×11+(D+H)=45+9从而N153可见N3的倍数M2NM6的倍数.由于M15814)N97(16,234634M,26N中4M,23N中结论 找出所 12个F≥6,N9762F可取679,穷举18种情况:6279×212558(舍去)6297×212594(舍去)6729×213458(所求)6792×213584(所求)6927×213854(所求)6972×213944(舍去)7269×214538(所求)7296×214592(舍去)7629×215258(舍去)7692×215384(所求)7926×215852(舍去)

7962×215924(舍去)9267×218534(所求)9276×218552(舍去)9627×219254(舍去)9672×219344(舍去)9726×219452(舍去)9762×219524(舍去N9723,F≥6F可取79,穷举12种情况:7923×215846(所求)7932×215864(所求)7329×214658(所求)7392×214784(舍去)7239×214478(舍去)7293×214586(所求)9723×219446(舍去)9732×219464(舍去)9327×218654(所求)9372×218744(舍去)9237×218474(舍去)9273×218546(所求12个6729×2=13458 6792×2=135846927×2=13854 7269×2=1453