(完整版)随机过程习题答案

随机过程部分习题答案习题2Xt)b,t(0,bV~N(Xt)2.1设随机过程值和相关函数。解因V~N(，所以1Xt)b，也服从正态分布，[Xtb]bb[X(t)]Vtb]t2DVt2X(t)~N(b,t2)Xt)所以，的一维概率密度为1(xb)22t2f(;t)e,x(,)t(0,)，2tmt)[Xtb均值函数相关函数XR(s,t)E[X(s)XtE[(b)(bXE[stVbsVbtVb]22b2f(y)X(t)e，tY0Xt)的一维概率2.2设随机变量Y具有概率密度，令，求随机过程tRt,t)密度及。X12t0X，(t)e是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，解对于任意F(x;t){X(t)}e}Ytln}Ytlnxlnx}1F(lnx)Y}1YtttYx对求导得Xt)的一维概率密度lnx1f(;t)f()txtt0，Ymt)E[Xt)]E[e]()efydyytYt均值函数相关函数X0Rt,t)E[Xt)Xt)][ee]E[e()]eytt)(f(y)dy2YtYtYtt12121X1212011开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程2.3若从t02cos(),时刻抛得正面ttXt)t,t时刻抛得反面1Xt)F(,x和Fx)1）的一维分布函数；21Xt)F(x,x)（2）的二维分布函数；212Xt)t),m(t),m22（3）的均值，方差。XXXX11tX()解（1）时，的分布列为22101211P22x011F(,x),0x1x1一维分布函数22t1时，X的分布列为21212Px11Fx),1x2x2一维分布函数211X(X(X(),X)（2）由于相互独立，所以的分布列为22214104214141x或x1112,,0x1x21412F(x,x)二维分布函数21120xx或x1x221212xx212111mt)t)tt)t（3）2122Xm2X12121()E[Xt)][EXt)]tcos)(2)[)]ttt2t222222X11cos(tt)2tcos))ttt2222214cos(ttt)t)2241[cos(t)t]22924XXt)At)B)t,AB为常数，2.4设有随机过程是相互独立且服从正态分布N(0,2)的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。,BA~N(0,2)，~(0,2)BN解因所以，均值独立，E[A]E[B][A][B]2mt)[XtE[At)BtXtEBt)[])[]0相关函数Rt,t)[Xt)XtE(AtB))tA1tBtX1212122EAcostcostB2sinsin2ttAB2cossinttAB2cossintt211121costcos[]sinsin[]tEAttEB222121(coscosttsinsin)t22t1123cos(tt)212Xt)mt)Bt,tt)和协方差函数为普通函数，令2.5已知随机过程的均值函数XX12Yt)Xt)t)，求随机过程Yt)均值和协方差函数。mt)Yt[Xt)tEXttmt)t)[(()解均值YXCt,t)Rt,t)mt)mt)协方差Y12Y12Y1Y2YtYtmt)mt)12Y1Y2E(Xt)t)(Xt)t)[mt)t)][mt)t1122X11X22E[Xt)Xtmt)mt)其它项都约掉了12X1X2Rt,t)mt)mt)X12X1X2Ct,t)X12Xt)At),(,)是常数，在2.6设随机过程，其中上服从均匀分布，令Y(t)X2(t)Rt,t)Rt,t)和。，求YR(t,tEYtYt)[()()][()()]EX2tX2t解Y)EAsin(tAt)sin2222A2Ecos(2t22t4A2E1cos(2t2)cos(22)2)2)ttt411t2)])tdt)0而Ecos(2t2)0同理利用三角积化和差公式Ecos(2t2)cos(22)t1Ecos(2)4)t241cos22A21Rt,t)2]所以，42YR(t,t)E[X(tY(t)][()()]EXtX2tE[Asin(t)Asin)]t22A3t2Et2A3Et)tt)cos(222A3[2t)t)sin(33t41[2sin(t)])0td而EtEt[sin(330同理所以，Rt,t)0X(t)XYtZt2Xt)X,Y,Z2.7设随机过程，其中是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程的协方差函数。EXEYEZDXEX2DYEY2DZEZ21解根据题意，m(t)E[X(t)]E[XYtZt2]EXtEYt2EZ0XCt,t)[Xt)mtXt)mtX121X12X2E[X(t)X(t)]E[(XYtZt)(XYtZt)]21221212X,Y,Z因相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零EXttEYttEZ1tttt222212222121212Xt)x为实随机过程，为任意实数，令2.8设Xt)xYt)Xt)x5证明随机过程Yt)的均值函数和相关函数分别为Xt)的一维和二维分布函数。mt)EYt1{Xt)}0{Xt)}证明Y{Xt)}F(;t)XYt),Yt(0,0)的取值为12Rt,t)YtYt11{Xt)x,Xt)x}Y1212112210{Xt)x,Xt)x}112201{Xt)x,Xt)x}112200{Xt)x,Xt)x}1122{Xt)x,Xt)x}F(x,x;t,t)1122X1212ft)Xt)ftY)，求2.9设是一个周期为T的周期函数，随机变量Y0）上均匀分布，令Xt)证随机过程满足1[Xt)Xt)]()()ftftdtTT01,y(0,T)f(y)TY证明Y的密度函数为其它[Xt)XtE[ftY)ftYfty)fty)f(y)dyY1fty)fty)dyTT01yutTfu)fu)dutTt1tu)fu)dufT1tTTfu)fu)duT02.13设{Xt),t是正交增量过程，X(0)V是标准正态随机变量，若对任意的t0，Xt与V相互独立，令Yt)Xt)V，求随机过程Yt),t的协方差函数。6，所以E[XtEV]V]1，mYt[Xt)V][Xt)]V]0YCt,t)Yt)mtYt)mtY121Y12Y21212E[X(t)X(t)]EV]E[X(tV]E[X(tV]21212E[X(t)X(t)]EV]22（利用正交增量过程的结论）12X124.1[04]的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在其它整数点分别3一步概率转移矩阵为1000011100333111P003331110033300001二步转移概率矩阵为100001000010000111111422100000333333999912321000099999111111000033333399990000100001000017n2，令X2或3，这些4.2独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p，对于n值分别对应于第n-1次和第n{X,n2,}的一步和二步转移概率矩阵。n01，23（反，反）解对应状态为p}pp}q，0001p}002（不可能事件）p}003（不可能事件）同理可得下面概率p}0p}0，1011p}pp}q，1213p}pp}q，2021p}0p}0，2223p}0p}0，3031p}pp}q，3233一步转移概率矩阵为pq0000pqpq0000pqP二步转移概率矩阵为pq00pq00ppqpqq2222200pq00pqppqpqq2P(2)pq00pq0022ppqpqqpqpqq00pq00pqp{X,n4.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为n1p{X},i4i0811114444111144441113P484811114444{X4XX{X41X试证20121解根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3，有{XXX{X4XX012P{XX20101{XXX{XXX012012{XX{XX0101111113pppppp544444811224113341111pppp161121134444同理有XX{X41X12X211{XX{XX1212{X{X11pppppppppppppppppppppppp12341234pppppppppppppppp12341234111111111111113113113113444444484444448448448448111111111111111144444844444444447123219191281287812815603232{X4XX{X41X所以，201214.5设{Xt),tT}为随机过程，且XX(t),XX(t),,XX(t),1122nn9为独立同分布随机变量序列，令Y0,YY(t)X,YcYX,n20111nn1nY,n试证：是马尔可夫链。nY,n证明只要证明满足无后效性，即nYiYYi,YiPYiYi},}{即可。n1n1011nnn1n1nnYXCYY(X,X,,X)X,X,,X,的函数，因为是根据题意，，由此知是nnn1n12n12nXY,Y,Y,,Y,相互独立。从而相互独立的随机变量，所以，对任意的n，与n1012nYiYYi,,Yi}n1n1011nnYiYYi,,Yi}（因Yi）n1nn1n011nnnn{XiYYi,Yi,}n1n1n011nn{XiCi}XY,Y,Y,,Y,与独立，条件概率等于无条件概率）（因n1n1nn1012n{XiYi}n1nn1nnYiYi}n1n1nn4.6已知随机游动的转移概率矩阵为0.50.50P00.50.50.500.5P(3)求三步转移概率矩阵及当初始分布为{X{X{X1000时，经三步转移后处于状态3的概率。0.500.500.250.50.25P00.500.50.250.250.5(2)解00.500.50.50.250.250.250.50.250.500.250.3750.375P0.250.250.500.50.3750.250.375(3)0.50.250.250.500.50.3750.375100.250.3750.375P0010.3750.250.3750.3750.3750.25T0.3750.3750.25p0.25所以，34.7已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下0.80.10.1P(0)(0.4,0.2,0.4),P0.10.70.2（1）（2）T0.20.20.60.70.10.10.10.10.60.20.10.10.10.60.20.10.10.20.6P(0)PT求下一、二个月的销售状态。0.80.10.1PP(0)P0.40.20.40.10.70.20.420.260.32TT解（1）0.20.20.60.80.10.10.670.170.16P0.10.10.70.20.190.540.27）0.20.20.60.30.280.420.670.170.16P(2)P(0)P0.40.20.40.190.540.270.4260.2880.286TT）0.30.280.420.70.10.10.10.10.60.20.10.10.10.60.20.10.10.20.6PP(0)P0.20.20.30.3TT（2）0.20.30.280.70.10.10.10.70.10.10.10.10.60.20.10.10.60.20.1P）0.10.10.60.20.10.10.60.20.10.10.20.60.10.10.20.611P(2)P(0)P(0.2,TT）4.8某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1—畅销，状态2—滞销）1271011121112122411311411516171819220212223销售状态22111211以频率估计概率，求（12）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。解状态1的个数为15个，状态2的个数为9个（1）所以，销售状态的初始分布为90.6250.275PT(0)（2）求一步转移概率状态11共有7个，状态12共有7个，状态21共有7个，状态22共有2个，7171729p,pp,p所以，，142142911122122一步转移概率矩阵为112272P，9911111117111223132222222922297127712236369171P(2)7272999992999299162162三步转移概率矩阵为231311363622P(3)917172162162992313723263896482596480.60.472369723699171291717181311030.620.383241629324162929162916三步转移后的销售状态分布为12TT14.9设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k条通道时，以概率随机通过任一k通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。01000001200100001000001300010)上服从均匀分布的6.1设有随机过程Xt)1E2t)00[()()]X12d012[cos)]td01cos，与t无关21EXt)R(0)22XXt)所以是平稳过程。Xt)At)A2是均值为零、方差为6.2设有随机过程，其中的正态随机变量，求：1XX()（1）（2）的概率密度；4Xt)是否为平稳过程。Xt)解（1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，对任意t，服从正态分布。1X,X()42A，2E[X]E[A][X][A]DA2121212[X([][X([]424222X所以的概率密度为1x2efx)xx22，1X()的概率密度为411x2f(;x)e，24Rt,t)EAtAt[)（2）Xcos(t)cos()[]cos()cos()tEAtt22，与t有关Xt)所以，不是平稳过程。Xt)At)A是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为6.3设有随机过程，其中14xx2},x0x0f(x)22)A相互独立的随机变量，Xt)为常数，问是否为平稳过程。是在上服从均匀分布且与2A的数学期望，A解先求出瑞利分布的数学期望和xxxx2x22xd()222200x2}20x2x2x}022012x1x22dxedx22222220xxxx2x222xd}()222022222x2令yyedy2y220[Xt[AtEt12t)0d20Rt,t)EXtXt[()([EA)tAtXt)]EA2E[cos(t)Acos(1Et)2)]2212t))]d20cos()2与t无关15EXt)R(0)22XXt)所以，是平稳过程。Xt)ft)Xt)f(x)6.4设有随机过程，其中是周期为T的实值连续函数，是在（0，）上服从R)均匀分布的随机变量，证明是平稳过程并求相关函数。X111fydy()TtTTE[Xt)]ft)令dtyfydy()解，为常数TTT0t01t,t)E[Xt)Xt)]ft)ft)dTRTX011fyfydy()())tTf(y)f(ydyT，与t无关TTt01TEXt)R(0)f(y)dy22TX0Xt)所以，是平稳过程。1R()()()fyfydyTTX0XtYt)Zt)XtYt)Zt)是否为平稳过程。6.5设解因所以，XtYt)是平稳过程，它们的均值是常数、相关函数与t无关是的函数，又相互独立。E[ZtE[XtYtE[Xt)]Ytmm是常数XYR(t,t)EXtYtXtYt[()()()()]ZE[X(t)X(t)Y(tY(t)]E[X(t)X(t)EY(tY(t)]R)R)与t无关XYEZt)R(0)R(0)R(0)2ZXYZt)所以，是平稳过程。R()6e6.13设正态随机过程具有均值为零，相关函数为2，求给定t时的随机变量XXtXtXt2),Xt的协方差矩阵。Xt)()6eRXt()是平稳过程，则解因是正态过程，且均值为零，相关函数2与t无关，所以X16对任意给定的t，(XtXtXt2),Xt服从正态分布，Cov(XtXt(,)CttXRt,t)mR)e22，XXX1Ct,t)R(0)6(,Ctt6Re所以，，2，XXXX3C(t,t2)R(2)6e1(t,tR6e2C，XXXXCov(Xt,Xt()Ctt同理X1Rtt)mRe62，2XXX所以，11(tt)6e(6C(tt2)6eCtt(6eCtt1C2，，2，XXXX2Cov(Xt2),Xt))Ctt)6e2，X11C(tt)6e1C(t2,t6e(2)6C(tt6eCtt，2，，2XXXX3Cov(XtXt))Ctt)6e2，X31C(tt)6eCt(t6eXCt(2)6(6Ct2，tet12，，XXX所以协方差矩阵为t,t)Ct,tCt,t2)Ct,tCXXXXCtt)CttCtt2)CttCtt)CttCtt2)CttXXXXXXXXCtt)CttCtt2)CttXXXXe16e16e32626e16e16e1226e1e166e12236e1e16e622Xt)at)Yt)bt)和6.15设随机过程a,,为常数，是在(0,)R)R)上服从均匀分布的随机变量，求和。R)EXtYt[()()][cos(Ea)sin(tbt)]解XY17ab2)]t[sin2ab1[sintd)]20absin2R)R()因ababR)R()sin())所以22YXXY习题7Xt)R)eaXt()的谱密度。7.2设平稳过程的相关函数，求XS(R))edeedajj解XXe0ded(aj(aj011e(aj0e(ajajaj0112aajaj2a2X(t)acos(t)a,为常数，(,)上服从均匀分布的随7.3设有平稳过程是在00Xt)机变量，求的谱密度。1,(,))f(解的概率密度为其它R(EXtXt)[()()][cos(Ea)cos(tat)]X0001)cos()ttda2000a2td000a220aR)eded2S)jj2XX018ajj400a400a2[2)400R)e))S)。7.4已知平稳过程的相关函数XXSXX)02e[eeed]edjjjjjj00dej(ej(dej(ej(]0ed1111]1j)1j))11))]1)1)227.6当平稳过程通过如图所示的系统时，证明输出Yt)的谱密度为)2TXR)EYtYt[()()]EXtXtTXtXtT()(()())YE[X(t)X(t)XtTXtTXtXtTXtT)X(t)](()()(2R)RTRT))XXXS(Red[2)R)YYXXX2S)R))XXX192S)S)ejTS)ejTXXX2S]TX,c2Xt)S()R)。007.7已知平稳过程的谱密度为，求相关函数XX11R)S)ed2ccos2d解j0XX0c2c2]20000Xt)acos(t)a，其中为常数，是在)上服从均匀分布的随机变7.8设有平稳过程f(f)()相互独立，求证Xt()的谱密度为量，是分布密度满足的随机变量，且S(a2f))。和Xf,)和相互独立，所以证明设是的联合分布密度，因1f,)),0，fR(EXtXt)[()()]E[acos(tt)acos()]Xacos(t)cos(),)tfdd2a2)df2t)t)d01a2f(d)2)td20a2f))d2a2f())djfd))2a2)f()))fd为偶函数，f(edj（因=0）21R()S)ed又jXX20a21f)S)比较上面两式，2XS)a2f)所以，XXtYt)SRe[S，7.9设是单独且联合平稳的随机过程，试证：SS。S(S))R)()R证明只要证明即可，由互相关函数的性质S)R)edjR(ejR(e)dRsedsS())()j()jsYXYXYXXt)为平稳过程，令Yt)Xta)Xta)a7.10设，为常数，试证S)4S)sin()2aYXR)2R)RaR2)a2)YXXXR(EYtYt)[()()]E[X(taXtaXtaXta)])()(()(证明YE[X(ta)X(ta)XtaXta)()(X(ta)X(ta2a)XtaXta2a)]()(R)R)RaR2)a2)XXXX2R(R)aR2)2)aXXXS(R))ed[2)RRaR2)2aedjjYYXXX2S(R)2)aedR2)aedjjXXX2S)eS)eS)j2aj2aXXX2S(S)2)cos(2)2)aSaXXX4S()sin)2aXXtYt)m和mZt)Xt)Yt)都不为零，令，7.11设是两个相互独立的平稳过程，均值XYS))。S求和21R(EXtYt)[()()]EXtEYt[()][()]mmXtYt(和()独立）解（因XYS)R)edmmedjjXY)mmmmedjXYXYR(EXt