单组样本的假设检定课件

第10章

單組樣本的假設檢定10-1第10章

單組樣本的假設檢定10-110-2目標定義假設與假設檢定。描述假設檢定的5個步驟。區別單尾檢定與雙尾檢定間的不同。進行母體平均數的假設檢定。進行母體比例的假設檢定。定義型I與型II誤差。10-2目標定義假設與假設檢定。何謂假設？假設是一個關於母體參數的陳述，之後則使用資料與計算機率驗證這個陳述是否合理。母體參數的假設例子為：對於系統分析師的平均月收入為$3,625。Bovine’sChopHouse約有20%的顧客會在一個月內來用餐兩次。10-3何謂假設？假設是一個關於母體參數的陳述，之後則使用資料與計算何謂假設檢定？假設檢定(hypothesistesting)：基於樣本證據與機率理論來判斷假設是否合理而要接受，或是假設不合理而要拒絕的過程。10-4何謂假設檢定？假設檢定(hypothesistesting假設檢定的五個步驟10-5假設檢定的五個步驟10-5步驟1：建立虛無假設與對立假設虛無假設（nullhypothesis）H0

：關於母體參數值的假設性敘述。對立假設（alternatehypothesis）H1

：當樣本資料提供足夠證明虛無假設不為真時，接受的對立敘述就是對立假設。10-6步驟1：建立虛無假設與對立假設虛無假設（nullhypo母體平均數的假設檢定有三種情形1.2.3.

記得虛無假設始終包含等式10-7母體平均數的假設檢定有三種情形1.10定義型I誤差（typeIerror）：當虛無假設H0為真時卻被拒絕，用表示。型II誤差（typeIIerror）：當虛無假設不正確時卻被接受，用表示。10-8定義型I誤差（typeIerror）：10-8步驟2：選擇顯著水準10-9步驟2：選擇顯著水準10-9單尾檢定當對立假設

H1

，表示一個方向時，即為單尾檢定，例如：H1：全職員工的年終獎金超過$35,000。（µ>$35,000）H1：行駛在I-95公路上的卡車時數每小時小於60英里。（µ<60）H1：對於加油的顧客，付現的人數少於20%。（µ<20）10-10單尾檢定當對立假設H1，表示一個方向時，即為單尾檢定，例在0.05顯著水準與右尾檢定下的z

統計量抽樣分配10-11在0.05顯著水準與右尾檢定下的z統計量抽樣分配10雙尾檢定如果對立假設並沒有指出一個方向時，我們使用雙尾檢定。例如：H1：Georgetown城沃爾瑪百貨每位顧客的平均消費金額不等於$25。（µ≠$25）H1：每加侖汽車售價不等於$1.54。（µ≠$1.54）10-12雙尾檢定如果對立假設並沒有指出一個方向時，我們使用雙尾檢定。雙尾檢定的不拒絕域與拒絕域，顯著水準為0.0510-13雙尾檢定的不拒絕域與拒絕域，顯著水準為0.0510-13步驟3：決定檢定統計量檢定統計量（teststatistic）：一個由樣本資訊所計算出來的統計值，用來決定是否要拒絕這個虛無假設。10-14步驟3：決定檢定統計量檢定統計量（teststatist母體平均數檢定，其中母體標準差已知在大樣本與母體標準差已知的情形下，母體平均數的檢定統計量為：10-15母體平均數檢定，其中母體標準差已知在大樣本與母體標準差已知的步驟4：制訂決策法則臨界值（criticalvalue）：介於虛無假設拒絕域與接受域間的分隔點。10-16步驟4：制訂決策法則臨界值（criticalvalue）範例位在紐約州西部的Jamestown鋼鐵公司，主要製造及組裝書桌或其他辦公室設備。在Fredonia分廠中，每週生產的A325型號書桌數量服從常態分配，其平均數為200張、標準差為16張書桌。最近由於市場需求增加，該工廠引進新的生產方式並雇用了新的員工。公司副總裁想要調查A325型號書桌在引進新的生產方式後，產量是否有改變。換句話說，在0.01的顯著水準下，Fredonia分廠的平均書桌產量是否為200張？10-17範例位在紐約州西部的Jamestown鋼鐵公司，範例continued步驟1：建立虛無假設與對立假設。

H0:μ=200；H1:μ≠20010-18步驟3：選擇樣本統計量。母體服從常態分配，且母體標準差σ已知，使用z分配做為檢定統計量。

步驟2：選擇顯著水準。

如題目所述，使用0.01

的顯著水準。

範例continued步驟1：建立虛無假設與對立假設。範例continued步驟4：決定決策法則。決策法則的制定，是先從附錄B.1中找出z

的臨界值。由於這個範例是雙尾檢定，因此在兩尾內的機率是0.01的一半，即0.005。在左右兩尾之間的面積0.99即為不拒絕H0

的機率。因為附錄B.1基於曲線下右半邊的面積，也就是0.5；再由0.5－0.005=0.495，得出在0至臨界值間的面積是0.495；查表得出最接近0.495的機率值是0.4951，而其相對應的z

值為2.58。

10-19範例continued步驟4：決定決策法則。10-19範例continued顯著水準為0.01的決策法則10-20範例continued顯著水準為0.01的決策法則範例continued決定決策法則。

若z>2.58或

z<－2.58，則拒絕H0

10-21

步驟5：做決策。

範例continued決定決策法則。10-21步驟5範例continued計算結果是1.55未落在拒絕域內，因此不拒絕H0。結論是母體平均數與200張書桌沒有差異，因此根據樣本證據顯示：Fredonia分廠的每週產量與原先的平均產量200張書桌沒有顯著的不同，而母體平均週產量與去年週產量間的差距3.5單位，可能導因於抽樣誤差。

10-22範例continued計算結果是1.55未落假設檢定的p-值法此方法在於計算樣本統計量的值至少與實際觀測值一樣大的機率（假設虛無假設為真），其檢定程序是將機率值，稱為p值，與顯著水準進行比較。10-23假設檢定的p-值法此方法在於計算樣本統計量的值至少與實際假設檢定的p-值法如果p-值比顯著水準小，則拒絕H0；如果p-值比顯著水準大，則不拒絕H0。10-24假設檢定的p-值法如果p-值比顯著水準小，則拒絕H0P-值計算單尾檢定：p-值=P{z≥檢定統計量}雙尾檢定：p-值=P{z≥檢定統計量的絕對值}例子：假若z=1.44，顯著水準為0.05，且為雙尾檢定，所以p-值=2P{z≥1.44}=2(0.5-0.4251)=0.1498。因為0.1498>0.05，所以不拒絕H0。10-25P-值計算單尾檢定：p-值=P{z≥檢定統計量}p值假設檢定-Example10-26上個問題，利用p值檢定：

H0:≤200 H1:>200

拒絕

H0

若fZ>Z

其中Z=1.55andZ=2.33

拒絕H0

若p-value<

0.0606不小於0.01

結論:不能拒絕H0p值假設檢定-Example10-26上個問題，利用pp值小於之意義?=0.10，具有一些證據證明

H0

不真。=0.05，具有較強證據證明H0

不真。=0.01，具有強烈證據證明H0

不真。=0.001，具有極端強烈證據證明H0

不真。10-27p值小於之意義?=0.10，具有一些證據證明H0不母體平均數檢定：大樣本與母體標準差已知因為母體標準差σ已知，且樣本個數n大於30，計算公式如下所示：10-28母體平均數檢定：大樣本與母體標準差已知因為母體標準差σ已知，母體平均數檢定：大樣本與母體標準差未知因為母體標準差未知，因此使用樣本標準差來估計σ。同樣的，若樣本個數n大於30，可以使用s來代替σ，計算公式如下所示：

10-29母體平均數檢定：大樣本與母體標準差未知因為母體標準差未知，因母體平均數檢定：小樣本與母體平均數未知必須使用t分配取代標準常態分配。其檢定統計量為：

10-30母體平均數檢定：小樣本與母體平均數未知必須使用t分配取代範例

McFarland保險公司處理一件理賠案件需要花費$60。與其他保險公司比較，McFarland保險公司處理理賠案件的成本比其他公司高，因此該公司進行了降低成本的計畫。為了評估降低成本計畫的成效，McFarland保險公司隨機抽選最近的26件理賠案件，其樣本資料如下所示：在0.01

的顯著水準下，可以說處理理賠案件的平均成本低於$60

嗎？10-31範例McFarland保險公司處理一件理賠案件需要範例continued10-32步驟1：建立虛無假設與對立假設。

H0:µ≥60；H1:µ<60步驟2：選擇顯著水準。其為0.01範例continued10-32步驟1：建立虛無假設與範例continued步驟3：計算檢定統計量。檢定統計量是t分配。因為樣本數小於30。我們可以合理地假設每件理賠案件的平均成本服從常態分配。10-33範例continued步驟3：計算檢定統計量。10-範例continued步驟4：陳述決策法則。

附錄B.2表格最左邊的那一行標示為df（自由度），即樣本內觀測資料數量減去樣本的組數，寫成n－1。此範例的樣本數量是26，組數是1組，所以自由度是26－1=25，在表格中找到自由度是25的那一列。此範例為單尾檢定，因此在表格中找到標示單尾部分，找出顯著水準0.01的那一行，再從左邊找到自由度為25的那一列，交叉點是2.485，也就是所計算之檢定統計量值。此外，又因本例為單尾檢定且拒絕域在左邊，所以臨界值為負數（－2.485）。而決策法則是如果t值小於－2.485，就必須拒絕H0。10-34範例continued步驟4：陳述決策法則。10-34範例continued步驟5：做決策。26個樣本的平均成本是$56.42，樣本標準差是$10.04。把這些值代入公式[10-2]中，計算出t

值：因為－1.818落在臨界值－2.485的右邊，所以在0.01顯著水準下，不能拒絕虛無假設。這表示降低成本計畫，並沒有將平均處理成本降至$60以下。也就是樣本平均數$56.42與母體平均數$60之間的差距$3.58，可能源自抽樣誤差。

10-35範例continued步驟5：做決策。10-35t-DistributionTable(portion)10-36t-DistributionTable(portion)範例continuedt

分配的拒絕域，顯著水準為0.01

10-37範例continuedt分配的拒絕域，顯著水準為0.範例一個小型平衡錘的平均長度是43公釐。生產主管認為調整後的機器所生產之平衡錘的長度已經改變，他要求工程部門進行調查。工程部門選取了12

個平衡錘的樣本進行測量。其測量結果如下表所示：可以說平衡錘的平均長度已經改變了嗎？請使用0.02

顯著水準。

10-38範例一個小型平衡錘的平均長度是43公釐。生產主管範例continued先建立虛無假設與對立假設。

H0：μ=43

H1：μ≠43本例為雙尾檢定，且其自由度是n－1=12－1=11。根據以上資料，從附錄B.2中的雙尾檢定，使用0.02顯著水準找出t

值是2.718。決策法則是：如果檢定統計量t落在－2.718的左邊或是2.718的右邊，則拒絕虛無假設。我們將上述資訊整理成圖10-7。10-39範例continued先建立虛無假設與對立假設。10-範例continuedt

分配雙尾檢定的拒絕域，其中α=0.0210-40範例continuedt分配雙尾檢定的拒絕域，其中α=範例continued使用公式[10-2]計算t

值：因為計算出來的t

值是－2.913，落在－2.718的左邊區域，所以拒絕母體平均數是43公釐的虛無假設，接受對立假設。因此結論是母體平均數不是43公釐，機器需要再做調整。10-41範例continued使用公式[10-2]計算tPopulationStandardDeviation-Example2continued10-42PopulationStandardDeviation-母體比例的檢定比例的定義是成功次數與觀測資料總數量的比例。

10-43母體比例的檢定比例的定義是成功次數與觀測資料總數量的比例。母體比例的檢定計算樣本比例p的公式為10-44母體比例的檢定計算樣本比例p的公式為10-44假設檢定，單一比例10-45π：

為母體比例p

：為樣本比例假設檢定，單一比例10-45π：為母體比例範例在前一次的印地安那州長選舉顯示，如果候選人要當選，那麼至少要在北區贏得80%的選票。現任州長想要了解繼續連任的機會有多大，他計畫在本州北區隨機抽選2,000位合格選民進行調查。使用假設檢定的步驟，了解現任州長連任機會。

10-46範例在前一次的印地安那州長選舉顯示，如果候選人要當選範例continued州長選舉的情形符合二項分配的條件，但這個範例可以使用常態分配去近似二項分配，因為nπ與n(1－π)

皆超過5。

n=2,000，π=0.8（π是在本州北區的得票率，也就是80%），所以nπ=2,0000.8=1,600與n(1－π)=2,000(1－0.8)=400

都大於5，可以進行母體比例的檢定。

10-47範例continued州長選舉的情形符合二項分配範例continued10-48步驟1：建立虛無假設與對立假設。

H0:π≥0.8；H1:π<0.8步驟2：選擇顯著水準。

其為0.05範例continued10-48步驟1：建立虛無假設與範例continued步驟3：選擇檢定統計量。

使用z統計量，

10-49範例continued步驟3：選擇檢定統計量。10-4範例continued步驟4：建立決策法則。顯著水準是0.05，這機率是左尾拒絕域的面積。因此，z值介於0與臨界值之間的機率是