2020年山东省泰安市中考数学试卷（解析版）

第29页（共29页）2020年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）的倒数是A． B． C．2 D．【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．【解答】解：的倒数是．故选：．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（4分）下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：，故本选项不合题意；．，故本选项不合题意；．，故本选项不合题意；．，故本选项符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3．（4分）2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为A．元 B．元 C．元 D．元【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．【解答】解：4000亿，故选：．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．4．（4分）将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于A． B． C． D．【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：如图所示，，又是的外角，，故选：．【点评】此题考查了平行线的性质和外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．5．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数册12345人数人25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为（册，故选：．【点评】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（4分）如图，是的切线，点为切点，交于点，，点在上，．则等于A． B． C． D．【分析】连接，根据切线的性质得到，求出，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接，是的切线，，，，，，，，由圆周角定理得，，故选：．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．7．（4分）将一元二次方程化成，为常数）的形式，则，的值分别是A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：，，则，即，，，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8．（4分）如图，是的内接三角形，，，是直径，，则的长为A．4 B． C． D．【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接，，，，，，，是直径，，，，，故选：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．9．（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，，，一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故正确；、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．10．（4分）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为A． B． C． D．【分析】根据直角三角形的三角函数得出，，进而利用梯形的性质解答即可．【解答】解：过作于，高，，，，，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，，，，，，四边形是矩形，，，，故选：．【点评】此题考查梯形，关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答．11．（4分）如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】证，得出，，故①正确；证，得出，，故③正确；证四边形是平行四边形，得出，故②正确；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；故④正确；即可得出结论．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，故①正确；在和中，，，，，故③正确；，即，，四边形是平行四边形，，故②正确；，，，，四边形是平行四边形，，，是等边三角形，，，，，，，四边形是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．12．（4分）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为A． B． C． D．【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为1的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，点为坐标平面内一点，，在的圆上，且半径为1，取，连接，，，是的中位线，，当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，，，，，，即的最大值为；故选：．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值是点的位置是关键，也是难点．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）方程组的解是．【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．【解答】解：②①，得，．把代入①，得，．原方程组的解为．故答案为：．【点评】本题考查的是二元一次方程的解法．掌握二元一次方程组的代入法、加减法是解决本题的关键．14．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点，，的坐标分别为，，．△是关于轴的对称图形，将△绕点逆时针旋转，点的对应点为，则点的坐标为．【分析】延长后得出点，进而利用图中坐标解答即可．【解答】解：将△绕点逆时针旋转，如图所示：所以点的坐标为，故答案为：．【点评】此题考查中心对称，关键是根据中心对称的性质画出图形解答．15．（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，，斜坡长，斜坡的坡比为．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡．（取【分析】在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在上取点，使，过点作于，，，，四边形为矩形，，，斜坡的坡比为，，设，则，由勾股定理得，，即，解得，，，，，在中，，，，坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（4分）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是．【分析】连接，易求得圆的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据即可得到结论．【解答】解：连接，，，是等边三角形，，的半径为8，，，，，，，于点，，，，故答案为．【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．17．（4分）已知二次函数，，是常数，的与的部分对应值如下表：02606下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是①③④．（把所有正确结论的序号都填上）【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．【解答】解：将，，，代入得，，解得，，抛物线的关系式为，，因此①正确；对称轴为，即当时，函数的值最小，因此②不正确；把，，代入关系式得，，，因此③正确；方程，也就是，即方，由可得有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．18．（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第个数记为，则20110．【分析】观察“杨辉三角”可知第个数记为，依此求出，，再相加即可求解．【解答】解：观察“杨辉三角”可知第个数记为，则．故答案为：20110．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（10分）（1）化简：；（2）解不等式：．【分析】（1）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得；（2）根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．【解答】解：（1）原式；（2）去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：．【点评】本题主要考查分式的混合运算与解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式的基本步骤．20．（9分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与轴交于点，点为点关于原点的对称点，求的面积．【分析】（1）点，点在反比例函数上，则，即可求解；（2），故点、的坐标分别为、，求出一次函数的表达式为：，则点，故，进而求解．【解答】解：（1）点，点在反比例函数上，，解得：，则，故反比例函数的表达式为：；（2），故点、的坐标分别为、，设直线的表达式为：，则，解得，故一次函数的表达式为：；当时，，故点，故，而点为点关于原点的对称点，则，的面积．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．21．（11分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了：机器人；：航模；：科幻绘画；：信息学；：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是80名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；（4）在组最优秀的3名同学名男生2名女生）和组最优秀的3名同学名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．【分析】（1）由组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；（2）求出组人数，从而补全条形统计图；（3）由乘以组所占的百分比即可；（4）画出树状图，由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为（名；故答案为：80；（2）组人数为：（名，把条形统计图补充完整如图：（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数为；（4）画树状图如图：共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．【点评】本题考查了列表法或画树状图法、条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．22．（11分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的1.4倍．（1），两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进，两种茶叶共100盒（进价不变），种茶叶的售价是每盒300元，种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进，两种茶叶各多少盒？【分析】（1）设种茶叶每盒进价为元，则种茶叶每盒进价为元，根据用8400元购买的种茶叶比用4000元购买的种茶叶多10盒，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；（2）设第二次购进种茶叶盒，则购进种茶叶盒，根据总利润每盒的利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设种茶叶每盒进价为元，则种茶叶每盒进价为元，依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，．答：种茶叶每盒进价为200元，种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进种茶叶盒，则购进种茶叶盒，依题意，得：，解得：，．答：第二次购进种茶叶40盒，种茶叶60盒．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．（12分）若和均为等腰三角形，且．（1）如图（1），点是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点是的中点，连接并延长至点，使．求证：①，②．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，，，可证，，可得四边形是平行四边形；（2）①由“”可证，可得；②延长至点，使，由“”可证，可得，，可得，由等腰三角形的性质可得结论．【解答】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：为等腰三角形，，是的中点，，，是等腰三角形，，，，，，四边形是平行四边形；（2）①和均为等腰三角形，，，，，，；②延长至点，使，是的中点，，又，，，，，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．24．（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点是线段上一点．探究发现：（1）当点为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？是．（填“是”或“否”拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：，则点为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若，，求的长．【分析】（1）证明可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明，推出，再证明即可解决问题．（3）如图3中，取的中点，连接．则．利用（1）中即可以及相似三角