高考中数列试题的应对策略

PAGEPAGE20高考中数列试题的应对策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道选择或填空题，一道解答题。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。数列试题形形态多变变，时常常有新颖颖的试题题入卷，学学生时常常感觉难难以把握握。为了了在高考考中取得得好成绩绩，必须须复习、掌掌握好数数列这一一板块及及其相关关的知识识技能，了了解近几几年来高高考中数数列试题题的能力力考察特特点，掌掌握相关关的应对对策略，以以培养提提高解决决数列问问题的能能力。第一讲：数数列基础础知识的的梳理数列是按一一定顺序序排列好好的一列列数。它它可以理理解为以以正整数数集（或或它的有有限子集集）为定定义域的的函数。运运用函数数的观念念分析和和解决有有关数列列问题，是是一条基基本思路路。递推推是数列列特有的的表示法法，它更更能反映映数列的的特征。等差数列和和等比数数列是两两个基本本的数列列，除了了要熟练练掌握这这两个数数列的通通项公式式和求和和公式外外，还要要掌握以以下基本本性质：：在等差数列列中{aan}中，aan=am+(nn-m))d或dd=(nn,m∈∈N+);若mm+n==p+qq,则aan+am=ap+aq(mm,n,,p,qq∈N+).在等比数列列中{aan}中，aan=amqn-mm,((n,mm∈N+);若mm+n==p+qq,则aanam=apaq(mm,n,,p,qq∈N+).对于非等差差等比的的数列，要要用转化化的思想想，转化化成和等等差、等等比有关关的数列列。一、典型题题的技巧巧解法1、求通项项公式（1）观察察法。（2）由递递推公式式求通项项。对于由递推推公式所所确定的的数列的的求解，通通常可通通过对递递推公式式的变换换转化成成等差数数列或等等比数列列问题。递推式为aan+11=an+d及an+11=qaan（d，q为常数数）【例1】

已知知{an}满足an+11=an+2，而而且a1=1。求求an。解

∵aan+11-an=2为常常数∴∴{an}是首项项为1，公差差为2的等差差数列∴an=11+2（n-11）即an=2nn-1递推式为aan+11=an+f（n）解：由已知知可知令n=1，2，…，（n--1），代代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）说明

只只要和ff（1）+f（2）+…+f（n-11）是可可求的，就就可以由由an+11=an+f（n）以n==1，2，…，（n--1）代代入，可可得n--1个等等式累加加而求aan。递推式为aan+11=paan+q（p，q为常数数）【例4】{{an}中，a1=1，对对于n＞1（n∈N）有an=3aan-1+22，求an。解法一：由已知知递推式式得an+11=3aan+2，an=3aan-11+2。两式相减：：an+11-an=3（an-an--1）因此数列{{an++1-aan}是公比比为3的等比比数列，其其首项为为a2-a1=（3×1+22）-1==4∴an+11-an=4·3n-11∵an+11=3aan+2

∴3an+2--an=4·3n-11即an=2·3n-11-1解法二：上法得得{an++1-aan}是公比比为3的等比比数列，于于是有：：a2-a11=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an--1=44·3n-22，把n-1个个等式累累加得：：∴an=22·3n-11-1解法三：设设递推式式an+1=33an+2，可可以化为为an+11-t==3（an-t），即是an++1=33an-2tt∴2=--2t

∴t=--1，于是得ann+1++1=33（an+1），数数列{aan+1}}是公比比为3的等比比数列，其其首项为为a1+1==2∴an+11=2··3n-11即an=2·3n-11-1④递推式为为an+11=paan+qn（p，q为常数数）由上题的解解法，得得：∴③的方法解解。⑤递推式为为an+22=paan+11+qaan思路：设aan+22=paan+11+qaan可以变变形为：：an+22-αan+11=β（an+11-αan），于是{ann+1--αan}是公比比为β的等比比数列，就就转化为为前面的的类型。求an。个等式累加加得⑥递推式为为Sn与an的关系系式关系；（22）试用用n表示an。∴∴∴（2）两边边同乘以以2n+11得2n+11an+11=2nan+2则{2nan}是公差差为2的等差差数列。∴2nann=22+（n-11）·2=22n2．数列求求和问题题的方法法（1）、应应用公式式法等差、等比比数列可可直接利利用等差差、等比比数列的的前n项和公公式求和和，另外外记住以以下公式式对求和和来说是是有益的的。1＋3＋55＋……＋(2nn-1))=n22【例8】求求数列11，（3++5），（77+9++10），（113+115+117+119），…前n项的和和。解

本题题实际是是求各奇奇数的和和，在数数列的前前n项中，共有1+22+…+n=个奇数数，∴最后一个个奇数为为：1+[n((n+11)-11]×2=nn2+n--1因此所求数数列的前前n项的和和为（2）、分分解转化化法对通项进行行分解、组组合,转转化为等等差数列列或等比比数列求求和。【例9】求求和S==1·（n2-1）+22·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）解

S==n2（1+22+3++…+n）-（13+23+33+…+n3）（3）、倒倒序相加加法适用于给定定式子中中与首末末两项之之和具有有典型的的规律的的数列，采采取把正正着写与与倒着写写的两个个和式相相加，然然后求和和。∴Sn==3n··2n-11（4）、错错位相减减法如果一个数数列是由由一个等等差数列列与一个个等比数数列对应应项相乘乘构成的的，可把把和式的的两端同同乘以上上面的等等比数列列的公比比，然后后错位相相减求和和．【例11】求数列列1，3x，5x2,…,(2nn-1))xn--1前n项的和和．解

设SSn=1++3+55x2+…+(22n-11)xnn-1．．

①(2)x==0时，Sn=1．(3)当xx≠0且x≠1时，在在式①两边同同乘以xx得xSn=xx+3xx2+5xx3+…+(22n-11)xnn，

②①-②，得得(1-x))Sn=1++2x++2x22+2xx3+…+2xxn-11-(22n-11)xnn．(5)裂项项法：把通项公式式整理成成两项((式多项项)差的形形式，然然后前后后相消。常见裂项方方法：3)注：在消项项时一定定注意消消去了哪哪些项，还还剩下哪哪些项，一一般地剩剩下的正正项与负负项一样样多。在掌握握常见题题型的解解法的同同时，也也要注重重数学思思想在解解决数列列问题时时的应用用。二、常用数数学思想想方法1．函数思思想运用数列中中的通项项公式的的特点把把数列问问题转化化为函数数问题解解决。【例13】

等差差数列{{an}的首项项a1＞0，前n项的和和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值值时Sn最大？？此函数以nn为自变变量的二二次函数数。∵a1＞00

SSl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函函数的图图像开口口向下∵f（ll）=f（k）2．方程思思想【例14】

（19996·全国）设设等比数数列{aan}前n项和为为Sn，若S3+S6=2SS9，求数数列的公公比q。分析

本本题考查查等比数数列的基基础知识识及推理理能力。解

∵依依题意可可知q≠1。∵如果q==1，则则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此此应推出出a1=0与等等比数列列不符。∵q≠1整理得

q3（2q6-q3-1）=0

∵q≠0此题还可以以作如下下思考：：S6=S33+q3S3=（1+qq3）S3S9=S33+q3S6=S3（1+qq3+q6）∴由S3++S6=2SS9可得2+q3==2（1+qq3+q6），2qq6+q3=03．换元思思想【例15】

已知知a，b，c是不为为1的正数数，x，y，z∈R+，且且求证：a，b，c顺次成成等比数数列。证明

依依题意令令ax=by=cz=k∴x=1oogak，y=llogbbk，z=llogcck∴b2=aac∴a，b，c成等比比数列（a，b，c均不为0）掌握了数列列的基本本知识，特特别是等等差、等等比数列列的定义义、通项项公式、求求和公式式及性质质，掌握握了典型型题型的的解法和和数学思思想法的的应用，就就有可能能在高考考中顺利利地解决决数列问问题。第二讲：高高考数列列试题的的考查特特点及应应对策略略《考试说明明》纵观近几年年全国各各地高考考试题，发发现高考考数列试试题具有有贴近基基础、模模式多变变、综合合性强等等特点，据据此，我我们应采采取夯实实基础、抓抓住特征征，掌握握联系等等策略，以以便于在在高考中中取得好好成绩。试题贴近基基础，注注重理解解能力和和推理运运算能力力的考查查。以数列为背背景或依依托的试试题，虽虽然有易易有难，但但通常是是紧贴着着数列基基础知识识（如有有序性、等等差、等等比、通通项、求求和等相相关的概概念和性性质），把把考察理理解能力力和推理理运算能能力作为为基本的的要求。对策：对数数列相关关概念、性性质和公公式的透透彻理解解及其恰恰当的运运用，是是解答好好数列试试题的首首要条件件和基础础，是正正确理解解题意的的前提。对对题设和和求解目目标有了了正确认认识，才才能进一一步列出出有效算算式，进进行推演演，获得得正确答答案。例1：（220022江苏卷卷）据20022年3月月5日九九届人大大五次会会议《政政府工作作报告》::“20001年国国内生产产总值达达到9559333亿元,,比上年年增长77.3%%.”如果“十五”期间((20001年～～20005年))每年的的国内生生产总值值都按此此年增长长率增长长,那么么到“十五”末我国国国内年年生产总总值约为为().Ａ.11550000亿元Ｂ..12000000亿元Ｃ..12770000亿元Ｄ..13550000亿元例2：（220022年上海海卷）若数列{ａａn}中,,ａ1=3,,且ａnn+1==ａn2(ｎ是是正整数数),则则数列的的通项ａａn=_____________..试题模式多多变，注注重观察察分析能能力和数数学思维维能力的的考查。数列试题的的模式与与形态多多式多样样，不拘拘一格。无无论题设设的给出出，还是是问题的的提法，抑抑或求解解的要求求，都常常常打破破定势，注注意灵活活多变，时时常有新新颖试题题出现。这这类试题题，往往往能比较较深刻考考察观察察和分析析问题的的能力，对对思维的的广阔性性、灵活活性和深深刻性有有一定要要求。对策：解答答数列题题，洞察察并抓住住所讨论论的数列列特征是是关键。审审题时，务务必弄清清试题是是如何描描述给定定的数列列，涉及及的是一一个数列列，还是是存在关关联的若若干数列列，力求求在整体体上把握握住数列列的变化化规律，明明确求解解的目标标，理顺顺好题设设的各种种数量关关系，进进行必要要的整合合、归纳纳和转化化，从中中找到解解答的突突破口和和求解的的途径。具具体的推推演要注注意合乎乎逻辑，说说理充分分，计算算准确。例设{{an}是首首项为11的正项项数列，且且(n++1)aan+112–naan2+an++1an=0(n==1,22,3……).则它的通项项公式是是an=____________。（220000年高考考数学试试题）解法一、取取特殊值值法：分分别取nn=1,,2,33，由aa1=1,,得到,,进而猜测：：an=,代入入检验合合适。解法二、[[(n++1)aan+11–nan](aan+11+an)=00,∵an+11+an>0,,∴(n++1)aan+11–nan=0,∴(n+11)ann+1==nann=(nn-1))an--1=…=1,,∴an=解法三、，∴∴，由此，得：：，…，将以上各式式连乘，得得：，∴an=例设{aan}是等等比数列列，Tnn=naa1+(nn-1))a2+…2an--1+aan.已已知T11=1,,T2=4..（1）求求数列{{an}的首首项和公公比；（22）求数数列{TTn}的通项项公式。((20000年高高考数学学试题))解：（1）由由T1=1,,T2=4，可得a1=12a1+aa1q=44a1=1,,q==2.(2)解解法1：：错位相相消法：：∵Tn-qqTn=naa1-a2-a3-…-an-an++1=又a1=11,qq=2，∴∴Tn=--(n++2-22n+11)=22n+11-(nn+2)).解法2：记记Sn为{aan}的前前n项和和，化TTn为Tn=S11+S2+…+Sn,∵Sk===2k-1,,k=00,1,,2,…∴Tn=22+222+…+2n-n==2n++1-((2+nn).数列为引线线，编制制综合性性强，内内涵丰富富的试题题，比较较深入的的考查综综合素质质和学习习力。数列是按一一定顺序序排列好好的一列列数。它它可以理理解为以以正整数数集（或或它的有有限子集集）为定定义域的的函数，能能够产生生和引发发数列问问题的背背景材料料及其丰丰富，既既可以是是实际应应用，又又可以是是各种数数学研究究对象（如如函数、集集合、几几何图形形等等）。同同时，围围绕给定定的数列列，能够够提出许许多的数数学问题题，这些些问题除除数列自自身各种种性质外外，还有有大量的的外延性性的问题题，如函函数、不不等式、方方程、三三角、几几何性质质之类问问题。这这些现象象反映出出数列与与其它的的知识存存在着大大量的内内在联系系，有着着广泛的的应用。对策：关注注各知识识板块之之间的横横向联系系，注重重综合能能力的培培养。例1、（220033北京春春季试卷卷）例：某城市市20001年末末汽车保保有量为为30万万辆,预预计此后后每年报报废上一一年末汽汽车保有有量的66%,并并且每年年新增汽汽车数量量相同..为保护护城市环环境,要要求该城城市汽车车保有量量不超过过60万万辆,那那么每年年新增汽汽车数量量不应超超过多少少辆?（220022年高考考数学全全国卷）解法1：设设20001年末末汽车保保有量为为ｂ1万辆,,以后各年末末汽车保保有量依依次为ｂｂ2万辆,,ｂ3万辆,,…,每年新增汽汽车ｘ万万辆,则ｂ1=330,ｂｂ2=ｂ1×0.994+ｘｘ.对于ｎ>11,有ｂｂn+11=ｂn×0.994+ｘｘ=ｂnn-1××0.9942+(11+094))ｘ,……∴ｂn+11=ｂ1×0.994n+ｘ((1+00.944+…+0..94nn-1))=ｂ11×0.994n+=当,即ｘ≤≤1.88时,ｂnn+1≤≤ｂn≤…≤≤ｂ1=300.当,即ｘ>>1.88时,并并且数列列{ｂnn}逐项项增加,,可以任任意靠近近因此,如果果要求汽汽车保有有量不超超过600万辆,,即ｂnn≤60((ｎ=11,2,,3,……).则≤60,,即ｘ≤≤3.66(万辆辆).综上,每年年新增汽汽车不应应超过336万万辆.解法2:由由解法11知ｂ1=300,ｂn+1==0.994ｂnn+ｘ,,由此可得，这这说明数数列{}是等等比数列列,因而即,…解法3:由由ｂn++1=00.944ｂn+ｘ,,得ｂnn=0..94ｂｂn-11+ｘ,,两两式相减减得ｂnn+1--ｂn=0..94((ｂn-ｂn--1)..若ｂ2-ｂｂ1=0,,则ｂnn+1--ｂn=ｂn-ｂn--1=…=0,,即ｂn==ｂn--1=…=ｂ1=300,此时时ｘ==30-330×0.994=11.8;;若ｂ2-ｂｂ1≠0,则则数列{{ｂn++1-ｂｂn}是以以ｂ2-ｂ1=ｘ--1.88为首项项,以0.944为公比比的等比比数列,,从而ｂｂn+11-ｂn=0..94nn·(ｘ--1.88).即有ｂn==ｂ1+(ｂｂ2-ｂ1)+…+(ｂｂn-ｂn--1)=300+0..94··(ｘ--1.88)+00.9442·(ｘ--1.88)+……+0..94nn-1(