立体几何与空间向量知识点归纳总结

文档编码:CW2U6X5O6Z10——HZ7N7L1T10T6——ZT2N6J7N1N5下载可编辑立体几何与空间向量学问点归纳总结一、立体几何学问点1、柱、锥、台、球的结构特点（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形,其余各面都是四边形,且相邻四边形的公共边都平行 ,由这些面围成的几何体叫棱柱 ；棱柱的性质：侧面都是平行四边形 ；侧棱都平行,侧棱长都相等；直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱 ；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 ；（2）棱锥的定义：有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体叫棱锥；比；棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相像 ,其相像比等于顶点到截面的距离与高的（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥 ,截面与底面的部分叫棱台 ；棱台的性质：①上下底面平行且是相像的多边形 ；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点；（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转.专业.整理.,其余三边旋转所围成的几何体第1页,共11页下载可编辑叫圆柱；圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面开放图是一个矩形 ；（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴圆锥；,旋转一周所围成的几何体叫圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面开放图是一个扇形；（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴叫圆台；,旋转一周所围成的几何体圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面开放图是一个扇环形；（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴体叫球；,半圆面旋转一周形围成的几何球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径 ；2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和；'h为斜高,l为母线）1ch2'（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长,h为高,S直棱柱侧面积chS圆柱侧2rhS正棱锥侧面积.专业.整理.第2页,共11页下载可编辑S圆锥侧面积rl〔c1c2〕h'S圆台侧面积〔rlR〕lS圆台表r2rlRlR2S正棱台侧面积12S圆柱表2rrlS圆锥表rr（3）柱体、锥体、台体的体积公式V柱ShV圆柱Shrh2V锥1

3ShV圆锥1r2hR2〕h3V台1〔3'S'

SSShV圆台1〔 '

S '

SSSh1

3〔r2rR3（4）球体的表面积和体积公式：V球=4 3R；S球面=4R233、平面及基本性质公理1Al,Bl,A,Bl,2两相交直线,3两平行直公理2如P,P,就a且P公理3不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点线）4、空间两直线的位置关系

共面直线：相交、平行（公理4）异面直线

5、异面直线

（1）对定义的懂得：不存在平面 ,使得a 且b

（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面 ）判定定理： P15 ★（3）求异面直线所成的角 ：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角 ,再解三角形.②向量法cos|cosa,b||a||b|（留意异面直线所成角的范畴〔,02]|ab|（4）证明异面直线垂直,①通常接受三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；.专业.整理.第3页,共11页下载可编辑②向量法abab0 （5）求异面直线间的距离题运算.：大纲仅要求把握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问6、直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系a,a//,aA2、直线与平面平行的判定

b（1）判定定理:b//ab//〔线线平行,就线面平行P〕a（2）面面平行的性质：a//a//〔面面平行,就线面平行〕3、直线与平面平行的性质a//,aba//b〔线面平行,就线线平行P〕★4、直线与平面垂直的判定（1）直线与平面垂直的定义的逆用l,laP）alm,ln（2）判定定理：m,nl（线线垂直,就线面垂直mnA（3）a//ba（P练习第6题）b.专业.整理.第4页,共11页下载可编辑（4）面面垂直的性质定理：la（面面垂直,就线面垂直a,alP）（5）面面平行是性质：l//l5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理线垂影线垂斜相交和平行7、两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系8、两个平面平行的判定（1）判定定理：a//,b//bP//（线线平行,就面面平行P19）a,b,a（2）l

l//垂直于同一平面的两个平面平行（3）//,////平行于同一平面的两个平面平行（P21练习第2题）9、两个平面平行的性质平行（1）性质1：//,a：la//a,ba//b（面面平行,就线线（2）面面平行的性质定理//P20）（3）性质2：//l,10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：a,a（线面垂直,就面面垂直P）.专业.整理.第5页,共11页下载可编辑（2）性质定理：面面垂直的性质定理：la（面面垂直,就线面垂直P51）a,al〔,02〕12、空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足.（2）向量法：设平面|的法向量为n,就直线AB与平面所成的角为,就sin|cosAB,n|AB|n|〔0,2〕|ABn||（3）两个重要结论最小角定理P48：coscos1cos2,P26,例4P28第6题13、空间距离：求距离的一般方法和步骤（1）找出或作出有关的距离 ；（2）证明它符合定义 ；（3）在平面图形内运算 （通常是解三角形 ）求点到面的距离常用的两种方法（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；|ABn|（2）向量法——求平面的斜线段,在平面的法向量上的射影的长度：d|n|直线到平面的距离,两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分 （公垂线段）② 求法：法1找出两异面直线的公垂线段并运算 ,法2转化为点面距离.专业.整理.第6页,共11页下载可编辑向量法d|AB|n|（A,B分别为两异面直线上任意一点,n为垂直于两异面直线的向量）|n留意懂得应用：l2m2n2d22mncos二、空间向量学问点1、空间向量的加法和减法：1求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法就．即：在空间任取一点 ,作 a, b,就a b．2求两个向量和的 运算称为向量的加法：在空间以同一点 为起点的两个已知向量 a、b为邻边作平行四边形 C ,就以 起点的对角线 C就是a与b的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法就．2、实数 与空间向量 a的乘积 a是一个向量,称为向量的数乘运算．当 0时, a与a方向相同；当 0时, a与a方向相反；当0时, a为零向量,记为0． a的长度是a的长度的 倍．3、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合 ,就这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线 ．4、向量共线充要条件 ：对于空间任意两个向量 a,bb 0 ,a//b的充要条件是存在实数 ,使a b．.专业.整理.第7页,共11页下载可编辑5、平行于同一个平面的向量称为 共面对量．6、向量共面定理：空间一点 位于平面 C内的充要条件是存在有序实数对x,y,使 x y C；或对空间任确定点 ,有x y C；或如四点 , , ,C共面,就x y zCx y z 1 ．7、已知两个非零向量 a和b,在空间任取一点 ,作 a,b,就 称为向量a,b的夹角,记作 ab．两个向量夹角的取值范畴是： ab 0, ．8、对于两个非零向量 a和b,如 ab ,就向量a,b相互垂直,2记作a b．9、已知两个非零向量 a和b,就 ab cos ab称为a,b的数量积,记作ab．即ab ab cos ab．零向量与任何向量的数量积为 0．10、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影 b cos ab的乘积．11、如a,b为非零向量,e为单位向量,就有1eaaeacosae；2abab0；,aaa；3ababa与b同向,aaa2aba与b反向4cosabab

ab；5abab．12、空间向量基本定理:如三个向量a,b,c不共面,就对空间任一向量p,存在实数组 xyz,使得p xa yb zc．13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 ．14、设1e,e,3e为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量 （称.专业.整理.第8页,共11页下载可编辑它们为单位正交基底 ）,以1e,e,3e的公共起点 为原点,分别以1e,2e,3e的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz．就对于空间任意一个向量 p,确定可以把它平移,使它的起点与原点 重合,得到向量 p．存在有序实数组 xyz,使得 p xe1 ye2 ze．把x,y,z称作向量p在单位正交基底 1e,2e,3e下的坐标,记作 p xyz．此时,向量p的坐标是点 在空间直角坐标系 xyz中的坐标 xyz．15、设a xyz,b x2,yz2 2 ,就1 a b x1 x2,y1 y2,z1 z2 ． 2 a b x1 x2,y1 y2,z1 z2 ． 3a x1, y1, z．4 ab xx2 yy2 zz2 ． 5 如 a、 b 为非零向量,就a b ab 0 xx2 yy2 zz2 0．6 如 b 0 , 就a//b a b x1 x2,y1 yz2 1 z．72 a aa x1 2y1 2 z．8 cos ab abab x1 2

xxy1

2

2z1

yy2

2x

22

zzy

22

2z2

2 ．9 x1,yz1 , x2,y2,z2 , 就2 2 2d x2 x1 y2 y1 z2 z1 ．16、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定 ．设这两条相交直线相交于点 ,它们的方向向量分别为 a,b． 为平面上任意一点,存在有序实数对 ,xy使得 xa yb,这样点 与向量a,b就确定了平面 的位置．.专业.整理.第9页,共11页下载可编辑17、直线l垂直,取直线l的方向向量a,就向量a称为平面的法向量．18、如空间不重合两条直线 a,b的方向向量分别为 a,b,就a//b a//ba b R,a b a b ab 0．19． a n an 0,a a a//n a n．20、如空间不重合的两个平面 , 的法向量分别为 a,b,就// a//ba b, a b ab 0．21、设异面直线 a,b的夹角为 ,方向向量为 a,b,其夹角为ab,就有cos cos ．ab22、设直线l的方向向量为l,平面 的法向量为n,l与 所成的角l n为 ,l与n的夹角为 ,就有sin cos ．l n23、设n, n是二面角 l 的两个面 , 的法向量,