2020届高三数学备考冲刺140分问题09高考数学导数解答题大盘点(含解析)

1、问题09高考数学导数解答题大盘点一、考情分析导数解答题是高考必考问题，一般为压轴题，含有参数的函数单调性及极值的讨论.不等式的证明、根据零点或恒成立等问题求参数范围、构造函数证明不等式。其中极值点偏移问题、隐零点问题是近几年的热点。二、经验分享用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点. 已知单调性确定参数的值 (范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同， “在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点

2、. 导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的 必要不充分条件.极值与最值的区别“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的 最大值或最小值，具有绝对性从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值； 极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值.当 aw0, x (0,1)时，f (x

3、) 0, f(x)单调递增；x (1 ,+s)时，f(x) v 0, f(x)单调递减.0v av 2 时，、/彳 1,当 x (0 ,当 x (0 ,f (x) 0, f(x)单调递增；当(x) v 0, f(x)单调递减;0=2时,AF=1,在心,+内,心乩 躯单谓递増;勖2时，QJ訐 X言1)寸，/0,兀c)单调递减*当诜6 辺或疋+言1)寸，/ /丫 - ax - (a + l)x - 1(2)若关于 的不等式在 上恒成立，求实数、的取值范围.【解析】(1)依題意fx) = ae + 2axe-2ax-a= a(2x + 1)( 1),当a 004.令f 0,得x0或尤叱一岂令rW0得

4、可知fd)的增区间为(O.+w),减区间为(一?0当a 001.令n 得一汗X,令r(x)0或一圭可知几町的增区间为(-7 0)减区间为一爼一述(0-+).X斗综上，当2 0时，f的増区间为(-g-况+切，减区间为当X。时，M0的増区间为(-T 0),减区间为(一九一沢(0, +00).f(x) e?T- ax2 - (a + l)jr- 1 (ox - l)e2x + x + 1 0(2)，即，= (ar - l)cJ, + x + 1fj (x) = (2ax -2 + a)c?t + 1 TOC o 1-5 h z 令，则h(x) = (20.因为，故当一：； !小时，即-,从而 在+C

5、上单调递增，因为 i 故当-时，恒成立，符合题意；若 ，当y + 川时，.恒成立，从而在上单调递减,h(x) h(0) = a-lZjf = ( x = l_i xe(O-l) .fol-n若 | ,由，得 ，当 时，故在 上h(jf) A(0) = a - 1 0,尊(刃 0(0) = 0，不符合题意;单调递减，则，即尊(刃 o）令0得丸a 1 ay捲去）令厂（町 0得0 X t2 + 2tXA（t+ 1）24 TOC o 1-5 h z （2）因为 所以由得解得（舍去）或 I由（1）知的减区间为，增区间为：,3Fa）= f（i）=刖 E 丄 JP所以，若即 时，-1,fO = r（7）=

6、7+?若上 即1t3时， f 1 J，尸八 93 血 9 4rf （t） = - + /n + = -fn+ tI 3 I 3 3 TOC o 1-5 h z r t 33t2则，1t3 时，01工，在他十）上为减函数，且d=o.令，得i,所以的递增区间为，同理，可得 的递减区间为， a刃 9=o .所以即 ，伽（一一）0w x+ae2(-芋时，,伽（一一）0w x+ae2(-芋时，,ft( ) =- ae 111 1 1+ 巾(=)q = d|o fi /m( 1) + 1aa ay心Ja a1) + 1 0 OB,hr(x) 0所以hO）1込=h=ae + 1 0, hQt）无雾点，f C

7、O也无雲点一当Wc a 0时，令用CO = 0,得X = 1或龙=ln(-；)故，有一个零点，也有有一个零点综上可知，当时，无零点；- a x2 - 2ax + 1（n）求证：当叮！丨：.叮！丨：.: : . - 1；? 1【解析】t f (x) =ex - 2x+2a, x R,x/ f ( x) =e - 2, x R.令 f ( x) =0,得 x=ln2 .于是当x变化时，f( x), f (x)的变化情况如下表:耳(-k, ln2)In?f (x)-一0f (%)单调述减-2 (1-In2 七)单调谨増故f ( x)的单调递减区间是(-汽 In2 ),单调递增区间是(In2 , +R

8、),f (x )在x=ln2处取得极小值，极小值为 f (In2 ) =eln2 - 2ln2+2a=2 (1 - In2+a ),无极大值.(2)证明；设 g (x) =e:- x2-2ax- b xR?于是 g (x) =- 2x-2a, xR由(1)知当aln2-1时，gr 0.于罡对任意诒氐都有g (x 0,所以呂(P在R内单调递増.于罡当Qln2-1时，对任意妖(0? 都有gg g(O).而 g (0) =0,从而对任S(0, -x)j g (x 0.即嘗 R x;-2ax l0故产%： - 2aXl *【点评】用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；由作差或者作商来构造函数是最基本

9、的方法.fx) = ex - fn(r + m) + m【小试牛刀】【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】已知函数(1 )设是；的极值点，求的值；(2)在(1)的条件下，：一壬二在定义域内恒成立，求：的取值范围；(2 )当 时，证明：.f (x) = ex - -_/(O) = 1 - i = 0【解析】(1 )tx + m , x=0是f (x)的极值点，m ，解得mr1.经检验叶1符合题意.令h(t) = t3 + 2(l-m)tl? h(P) = l, h的图象开向上，对称轴方程为2血一1, 方程护+ 2(l-m)t + l = 0的判别式也=4m(m - 2)当m h(0) =

10、1,所恤進) 我切59。单调递检 所以酌) g(l) = 0在(0恒成立当 1 m 0,单调递増所g(t) 2时，h(tJj(OhlW调递减，因为h(0) = 1, h(l) = 4-2m07 g)0； Ste(t0,l, h(t)0, gf(t) g(i)= o,所g(t) 唯0丄歼恒成立综上所述，R的取值范围是(-m2,所以m的最犬值为乂/(x) = x* + a/nAt五、迁移运用 1.【山东省济南外国语学校 /(x) = x* + a/nAt若 ，判断上的单调性； 求函数rm, 丁上的最小值;”- TVC 9.f(x)0 在： 单调递增.00二+ f二吟当仇 o时， 0-/W在1厨上单

11、调递増J: /mitiW 二 A当c0fCd单调递増,： ZminW = /(l) = lj若 1s 即一 2 卢 d -2 时V亠a- c L elf1 03)单调递湎,zele(fCx)iOJ(x)单调递増fminW = /W叫故 “X 6 ll)Z(x) D/(x)若即 时单调递减n帀= f2)K + |如(w时，心如(w时，心的最小值为巩 刀/-2ca 0(2 )当心-1时，求口的取值范围.f(x) = / +a = (/- a)(x + 1)【解析】解法一：(1)当 时,xQ00，- !)-1a 1 + )|-0+极小值/所以FT在【门上单调递减，在I .亠）单调递增.当 时，.的根

12、为 或疔一 1 .1若，即卩 ，（-叫-1-1p 1劝a【叫+ 8：F3+0-0+/极大值极小值/所臥f（刃在（-呦-字（血.+咧上单调递詹 在（-l.lna）l单调違 若Irrn = -1,即a = rw 0在-九+血上恒成乂，所以（戈在-爼+ S）上单调递増 若 Irm -1,即 0 V aX减.J无减区任用4伽戸-1(-1 + gF3+0-0+/极大值极小值/所以 在 *上单调递增，在：宀上单调递减.综上：当-时，； 在一7一】；上单调递减，在I上单调递增；当时，； 在-,：+ ）上单调递增，在：上单调递减;自 时， 在一-当 时， 在厂叫一） 上单调递增，在 I上单调递减.(2)因为笼

13、卢ojt a + 1 0T 所以a + 1) xex + 10 0在x E一 1,+s)上恒成立，BPh(x) = ex(rx2 + x +1) - 1 在戈 e (1 +oo)上单调递増.又因为M0) = 0,所次g)二 辛在(70上单调递减，在(6+切上单调递増,则HXUn = 5(0) = 1,所以口 1综上，口的取值范围-1解法二：(1)冋解法一;#(工-f(x) + 工 一(I + 1 = jrer - nx - a + 1 (2 )令g (x) = ex + xex - a =曹*(耳 + 1)- a 所以，5.【广东省惠州市 2019届高三第三次调研】已知函数f(x) =- tr

14、ue + ax(a e R)(1 )当 I时，求函数 在-处的切线方程；当I时，求证：；.【解析】(1)当口 = 1时，Ax) = -lnx+x/(l) = e + trw= 0) (2 )当 时，f(jc) = I = hx) h(x) = ex + i0丈x2?，所以在迅上单调递增,h(-) =- 30(1) = 0又丄所以所以所以函数；在I 上单调递减，在上单调递增，jrn1心)=& - tnxa -=+ l-tnxQ-xQfg fg 1+1 -怙1 - 1 = 1 0y = - + 1 - Fnx x又函数 x是单调减函数，所以孑-旳文-Jt A 0 即恒成立。又ex x Inx，所以

15、 / -闻疋 0cx - Inx arex - Inx - jr 0 又 - itx o,所以gy 所以t :龙)i? jf i6【河南省实验中学 2019届高三质量预测模拟】已知函数(e是自然对数的底数) 求证：+ f (x) ax -1| w 1 21 若不等式在上恒成立，求正数 a的取值范围.【解析】(1)由题意知要证护互覚+匚只需证/(x) = -x-l0,求导得ff(x) = ex -1,当 1-6(0, +3)时，=当Xe(一切0)0寸，rw = -1 /(0) = 0,即畑)= -x-l0f/.ex 兰 x 十 1.x e 2(2)不等式在上恒成立，即ax-l *2在x e 2(

16、2)不等式在上恒成立，即ax-l *2在* b _!上恒成立,1在x , 2上恒成立，令g (x)耳(刃=以下求在八叭aM =亦即卫日上的最小值,Mil忆时,Sx) 0?7?当XElt2时，日王D,当xe il时，单调递减，当- h.丁时，单调递增,当xe il时，单调递减，当- h.丁时，单调递增,- 在I处取得最小值为-正数a的取值范围是 J .f（x） = asinxa e 町9 【山东省潍坊市2019届高三上学期期末】已知，- (1)(2)若 |,判断函数在的单调性;illsin - + sin - + yfn 4-223242证明：+ sin QCO（1 - x） 1|又：，因此 ，

17、而，所以，故 在单调递增由（1）可知盘=1时，G（x） G=0,即sm(l -1) Inp设I 一尤=話聘则兀=1 -晟F =因此血筒5辟“寺-山生 即血尹血芸i+叫士 1吩-吩+町-】n汁十 畔 V= ln2 - In- e 1 + Xq + 2(z0 + 1)故绻(y-lk + + 2严= ”5 + 2 严= ”5 + 2 %)=逍1，又设x E (0,(2)JC- 1k=現故在T匚上单调递增，因此 即*， 在；单调递增,了；?K2M2 = /n4!1-当 ，即 时，因为6n-2!1-当 ，即 时，因为6n-f +递减，在上单调递增，所以； 在门上单调递增；在(2 )由(1)知当 时，；在

18、(2 )由(1)知当 时，；在/()=-?-3 0要使/()有两个零点，只要2；匸1)上单调递增，在/n-, + co上单调递减,，所以 (因为当t + 宀时，； ，当. 时,下面我们讨论当时的情形：当 ，即 时， 在:-.川上单调递增，不可能有两个零点;0 V 耳 0 V 耳 U 1二当，即 时，因为oo Jn-1/n-,01所以 在，上单调递增，在厂上单调递减，在 - 上单调递增；q诵f 393/（0） =3 0 血一 0 fl In- | =- 3 + 3ln 1时，即0a3ffJ,因为r(x)=a(eJC-j)(ex-l)?所以fG）在（-讹上单调递増，在01吒）上单调递减在（】吟+耐上单调递増,w）=产（吨）=_好7+引n弘o, K%y&有两个零点一综上所述：当X-6时，找羽有两个零点一1