福建省龙岩市上杭二中2018-2019学年高二年级上册学期期中考试数学（理）试题【含答案】

1、福建省龙岩市上杭二中上学期高二期中理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知中，那么角等于（ ）A. B. C. D. C试题分析：三角形中由正弦定理得.,所以.即选C.本题的关键就是正弦定理的应用.考点：正弦定理.2.已知数列，3，9，15，那么81是它的第几项A. 12B. 13C. 14D. 15D【分析】先根据已知项,判断其为等差数列，求出通项公式，即可求解.【详解】由数列，3，9，15，可知，该数列是首项为-3，公差为6的等差数列，所以 ，令可得，故选D本题主要考查了等差数列的定义与通项公式的简单应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础试题3.已知命题,；命

2、题若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D. B解：命题p：x0，ln（x+1）0，则命题p为真命题，则p为假命题；取a=1，b=2，ab，但a2b2，则命题q是假命题，则q是真命题pq是假命题，pq是真命题，pq是假命题，pq是假命题故选B4.记为等差数列的前项和，若，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8C设的公差为，由，得，解得，故选C.5.在中，则一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形D【分析】利用正弦定理，结合已知可得，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状【详解】在中，又由正弦定理得：，或，或故是等腰三角形或直角三

3、角形，故选D本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6.若x，y满足 则x + 2y的最大值为A. 1B. 3C. 5D. 9D试题分析：如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目

4、标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.7.设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件A【分析】，为非零向量，存在负数，使得=，则向量，共线且方向相反，可得0反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足0，而=不成立即可判断出结论【详解】，为非零向量，存在负数，使得=，则向量，共线且方向相反，可

5、得0反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足0，而=不成立，为非零向量，则“存在负数，使得=”是0”的充分不必要条件故选：A本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏B【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故选：B9.洗衣服时

6、，小懒说：“入水三分净”，即换水洗一次能去污.问：要使污渍不高于原来的，至少要换水洗多少次？A. 1B. 3C. 4D. 5C【分析】设至少要换水洗次，则，从而求出要使污渍不高于原来的，至少要换水的次数【详解】设原来衣服上的污渍为，至少要换水洗次，因为洗衣服时，换水洗一次能去污所以要使污渍不高于原来的， 则，；，要使污渍不高于原来的，至少要换水洗4次，故选C本题主要考查等比数列的应用，考查阅读能力与建模能力能力，意在考查利用所学知识解答实际问题的能力，是中档题10.在中，角的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. A 所以，选A.【名师点睛】本题较为

7、容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.11.已知不等式的解集为，则不等式的解集为A. B. 或C. D. 或B【分析】根据已知不等式的解集，利用韦达定理得到与的关系，代入所求不等式，利用一元二次不等式的解法求出解集即可【详解】由不等式的解集为，得到，且方程的两个根分别为，2由韦达定理：，化为，化简得：，即，解得：或即不等式的解集为或，故选B本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 若，则的解集是；的解集是.12.已知椭圆的左

8、、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A. B. C. D. A【分析】以线段为直径的圆与直线相切，可得原点到直线的距离，化简即可得出【详解】因为以线段为直径的圆与直线相切，原点到直线的距离，化为：椭圆的离心率，故选A本题考查了椭圆的标准方程及离心率，点到直线的距离公式，属于中档题离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等比数列的前项和为，若，则_70【分析】由等比数列的性质得，成等比数列，由此能求出【详解

9、】等比数列的前项和为，成等比数列，20，成等比数列，解得,故答案为70本题主要考查等比数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题若等比数列的前项和为，则，成等比数列.14.在中，角所对的边为，若：，角的大小为_.【分析】利用正弦定理化简已知等式得到三边之比，设出三边长，再利用余弦定理表示出，将设出的三边长代入，求出的值，即可确定出B的度数【详解】利用正弦定理化简已知等式得：，设，利用余弦定理得：，由于，故答案为本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，

10、还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15.若等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a4=b4=8，则=_.1试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，那么.【考点】等差数列和等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.16.等差数列的前项和为，则_注：【分析】根据，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，

11、求得前项和，进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】等差数列的前项和为，设等差数列的公差为，则，解得，所以，则，则，故答案为本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题型裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.；是的什么条件？并说明理由必要不充分条件【分析】利用不等式的性质说明由；举例说明由p不能推出q，再由充分条件、必要条件的定义可得结论【详解】p是的必要不充分条件，理由如下：必要性：

12、，则，又，则；必要性成立；不充分性：举例说明如，满足，但不满足充分性不成立综上，p是的必要不充分条件.本题考查充分条件与必要条件的判定，考查不等式的基本性质，是中档题判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.18.求函数的值域【分析】讨论，两种情况，分别利用基本不等式的性质求解即可.【详解】当时，即时，；当时，即时，；函数的值域为.本题考查了函数值域的求法以及基

13、本不等式的应用，属于中档题高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法要根据题意选择.19.在中，求的值；若，求的面积（1）；（2）.【分析】由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可【详解】（1），由正弦定理可得.（2）若，则，又由可得，本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，

14、其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.求和化简:.【分析】当时，；当时，；当且时，利用等比数列前项和公式求解即可【详解】当时，；当时，；当，时，综上，本题考查等比数列前项和的求法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题在利用等比数列求和公式时，如果公比是参数，一定要讨论公比是否为1.21.已知为等比数列，为等差数列的前项和，求和的通项公式；设，求（1）（2）(I)由可求出公比q,然后可以直接写出通项公式.由可建立关于b1和d的方程，

15、写出其通项公式.（2）由于是由一个等差数列和一个等比数列积的形式，所以应采用错位相减的方法求和.（）， （3分） （6分）（）-得：（9分）整理得：（12分）22.已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.(1) .(2)证明见解析.试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.