(新高考)高考数学一轮复习课件第8章§8.2《两条直线的位置关系》(含解析)

1、第八章考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.落实主干知识课时精练探究核心题型LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识位置关系法向量满足的条件l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行v1v2_垂直v1v2_相交v1与v2不共线_1.两条直线的位置关系直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l3：A1xB1yC10，l4：A2xB2yC20(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1 ，l4的法向量v2 的位置关系如下表：(A1，

2、B1)(A2，B2)k1k2且b1b2k1k21k1k2A1B2A2B10且A1C2A2C10A1A2B1B20A1B2A2B102.三种距离公式(1)两点间的距离公式条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).结论：|P1P2|_.特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|_.(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d_.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d_.1.直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC).(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0

3、(nR).(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.常用结论常用结论2.五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(x，y).(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y).(3)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x).(4)点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x，2by).(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by).判断下列结论是否正确(请在括号中

4、打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .()(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.()2.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于A.2 B.3C.2或3 D.2或33.直线l1：2xy10和l2：x2y70的交点的坐标为_.(1,3)所以两条直线交点的坐标为(1,3).TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1(1)(2022杭州模拟)已知直线l1：ax(a2)y10，l2：xay20(aR)，则“ea ”

5、是“l1l2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题型一两条直线的平行与垂直解得a1或a2.(2)(2022长春模拟)已知直线l经过点(1，1)，且与直线2xy50垂直，则直线l的方程为A.2xy10 B.x2y30C.x2y10 D.2xy30直线l与直线2xy50垂直，设直线l的方程为x2yc0，直线l经过点(1，1)，12c0，即c1.直线l的方程为x2y10.1.“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件教师备选由l1l2，得2(

6、m1)(m3)2(m3)0，m3或m2，“m3”是“l1l2”的充分不必要条件.2.已知三条直线2x3y10,4x3y50，mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为由题意得直线mxy10与2x3y10或4x3y50平行，或者直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点.思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况.(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.跟踪训练1(1)(2022荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点A(2

7、,0)，B(1,2)，且ACBC，则ABC的欧拉线的方程为A.x2y40 B.2xy40C.4x2y10 D.2x4y10ACBC，则ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，ABC的欧拉线的方程为2x4y10.(2)已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10.若l1l2，则_.由A1B2A2B10，得12sin20，又A1C2A2C10，例2(1)两条平行直线2xy30和ax3y40间的距离为d，则a，d的值分别为题型二两直线的交点与距离问题由题知23a，解得a6，(2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，5)的距离相等，则此直线的方程为_.4xy20或

8、x1若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y2k(x1)，即kxyk20，即|k1|7k|，解得k4.此时直线方程为4xy20.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x1，满足题设条件.故所求直线的方程为4xy20或x1.1.经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_.教师备选即P(0,2).4x3y602.直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是_.(0,5当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两

9、条直线重合.所以0d5.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等.跟踪训练2(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为将直线3x4y120化为6x8y240，由yk(x1)可知直线过定点P(1,0)，命题点1点关于点中心对称例3过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.题型三对称问题x4y40设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A

10、关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例4若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，命题点3线关于线对称例5直线2x4y10关于xy0对称的直线方程为A.4x2y10 B.4x2y10C.4x2y10 D.4x2y10设直线2x4y10上一点P(x0，y0)关于直线xy0对称的

11、点的坐标为P(x，y)，2y4x10，即直线2x4y10关于xy0对称的直线方程为4x2y10.1.在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过ABC的重心，则AP的长度为教师备选以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为xy40.设P(t，0)(0t4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(t，0)，根据反射定律可知直线P1P2就是光线

12、RQ所在的直线，2.已知三角形的一个顶点A(4，1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：xy10和l2：x10，则BC边所在直线的方程为_.2xy30易得A不在l1和l2上，因此l1，l2为B，C的平分线，所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上，设点A关于l1的对称点为A1(x1，y1)，点A关于l2的对称点为A2(x2，y2).所以A1(0,3)，又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(2，1)，思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条

13、件列方程组解题.跟踪训练3已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；设A(x，y)，由已知条件得(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设直线m与直线l的交点为N，又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)直线l关于点A的对称直线l的方程.方法一在l：2x3y10上任取两点，如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(1，2)的对称点P，Q均在直线l上，易得P(3，5)，Q(6，7)，再由两点式可得l的方程为2x3y90

14、.方法二ll，设l的方程为2x3yC0(C1).点A(1，2)到两直线l，l的距离相等，由点到直线的距离公式，解得C9，l的方程为2x3y90.KESHIJINGLIAN 课时精练1.过点A(2,3)且垂直于直线2xy50的直线方程为A.x2y40 B.2xy70C.x2y30 D.x2y50基础保分练12345678910111213141516由题意可设所求直线方程为x2ym0，将A(2,3)代入上式得223m0，即m4，所以所求直线方程为x2y40.2.过直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点，且过原点的直线的方程为A.19x9y0 B.9x19y0C.19x3y0 D.3x19y

15、01234567891011121314151612345678910111213141516方法二根据题意可设所求的直线方程为x3y4(2xy5)0，3.(2022漳州质检)已知a23a20，则直线l1：ax(3a)ya0和直线l2：(62a)x(3a5)y4a0的位置关系为A.垂直或平行 B.垂直或相交C.平行或相交 D.垂直或重合1234567891011121314151612345678910111213141516因为a23a20，所以a1或a2.当a1时，l1：x2y10，l2：4x2y30，所以k1k21 ，则两直线垂直；当a2时，l1：2xy20，l2：2xy20，则两直线重

16、合.4.点P(2,5)关于xy10对称的点的坐标为A.(6,3) B.(3，6)C.(6，3) D.(6,3)设点P(2,5)关于xy10的对称点为Q(a，b)，12345678910111213141516即P(2,5)关于xy10对称的点的坐标为(6，3).5.已知直线l1：ax2y10与直线l2：(3a)xya0，若l1l2，则a的值为A.1 B.2 C.6 D.1或212345678910111213141516直线l1：ax2y10与直线l2：(3a)xya0的斜率都存在，且l1l2，6.已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)，若直线l上存在点P使得|PA|PB|最小

17、，则点P的坐标为A.(2，3) B.(2,3)C.(2,3) D.(2,2)1234567891011121314151612345678910111213141516根据题意画出大致图象，如图.设点A关于直线x2y80的对称点为A1(m，n).故A1(2,8).此时直线A1B的方程为x2.所以当点P是直线A1B与直线x2y80的交点时，|PA|PB|最小，将x2代入x2y80，得y3，故点P的坐标为(2,3).7.(多选)已知直线l1：xmy10，l2：(m2)x3y30，则下列说法正确的是A.若l1l2，则m1或m3B.若l1l2，则m312345678910111213141516123

18、456789101112131415168.(多选)(2022苏州模拟)已知直线l1：axy10，l2：xay10，aR，以下结论正确的是A.不论a为何值时，l1与l2都互相垂直B.当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(1,0)C.不论a为何值，l1与l2都关于直线xy0对称1234567891011121314151612345678910111213141516对于A，a1(1)a0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线l1：axy10，当a变化时，x0，y1恒成立，所以l1恒过定点A(0,1)；l2：xay10，当a变化时，x1，y0恒成立，所以l2恒过定

19、点B(1,0)，故B正确；对于C，在l1上任取点(x，ax1)，其关于直线xy0对称的点的坐标为(ax1，x)，代入l2：xay10，则左边不恒等于0，故C不正确；12345678910111213141516123456789101112131415169.(2022邯郸模拟)直线l1：xay20(aR)与直线l2：y x1平行，则a_，l1与l2的距离为_.1234567891011121314151610.直线3x4y50关于直线x1对称的直线的方程为_.3x4y11012345678910111213141516直线3x4y50与x1的交点坐标为(1,2)，11.已知直线l1：axy3

20、a40，则原点O到l1的距离的最大值是_.512345678910111213141516直线l1：axy3a40等价于a(x3)y40，则直线过定点A(3,4)，当原点到l1的距离最大时，满足OAl1，1234567891011121314151612.已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1与l2之间的距离最大时，直线l1的方程是_.x2y30当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2之间的距离最大.因为A(1,1)，B(0，1)，技能提升练1234567891011121314151613.若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为12345678910111213141516l1l2，AB的中点M的轨迹是平行于l1，l2的直线，且到l1，l2的距离相等，易求得M所在直线的方程为xy60.1234567891011121314151612345678910111213141516设点P(x0，y0)，解得x02，1234567891011121314151615.(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：axbyc0(a2b20)的有向距离为d . 已知点P1，P2到直线l的有向距离