(新高考)高考数学一轮复习课件第6章§6.6《数列中的综合问题》(含解析)

1、第六章考试要求1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.例1(1)(2020全国)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3 699块 B.3 474块C.3 402块 D.3 339块题型一数学文化与数列的实际应用设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成

2、公差为d9，首项为a19的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且(S3nS2n)(S2nSn)n2d，则9n2729，解得n9，(2)(2021新高考全国)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm12 dm,20 dm6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1240 dm2，对折2次共可以得到5 dm12 dm，10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次

3、，那么 _ dm2. 5依题意得，S11202240；S2603180；所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，所以S415575；1.周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为A.4.5尺 B.3.5尺C.2.5尺 D.1.5尺教师备选冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列an，设公差为d，所以ana1(n1)d11.5

4、n，所以a711.574.5，即春分时节的日影长为4.5尺.A.30.3 m B.30.1 mC.27 m D.29.2 m设|AB|x，a0.618，因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，所以有|BC|ax，|CF|a2x，|FG|a3x，|GJ|a4x，|JK|a5x，|KM|a6x.解得26.786x0，且b1b26b3，求q的值及数列an的通项公式；教师备选an1an4n1，可得bn2cn1bncn，两边同乘bn1，可得bn1bn2cn1bnbn1cn，b1b2c1b21d，数列bnbn1cn是一个常数列，且此常数为1d，即bnbn1cn1d，

5、又b11，d0，bn0，c1c2cn思维升华对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b11，d0证明不等式成立.另外本题在探求an与cn的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.跟踪训练2已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；设等差数列an的公差为d.因为a11，a2a410，所以2a14d10，解得d2.所以an2n1.(2)求b1b3b5b2n1.设等比数列bn的公比为q.因为b2b4a5，所以b

6、1qb1q39.又b11，所以q23.所以b2n1b1q2n23n1.(1)求数列an的通项公式；题型三数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇依题意可知命题点2数列与函数的交汇1 022得f(x)x212x32，所以a2，a3是函数f(x)x212x32的两个零点，因为q1，所以a24，a38，故q2，1.已知函数f(x)log2x，若数列an的各项使得2，f(a1)，f(a2)，f(an)，2n4成等差数列，则数列an的前n项和Sn_.教师备选设等差数列的公差为d，则由题意，得2n42(n1)d，解得d2，于是log2a14，log2a26，log2a38，从而a124，a226

7、，a328，思维升华数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.设等比数列an的公比为q，解得a14，q4，故an的通项公式为an4n，nN*.bnlog2anlog24n2n，(2)若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S24.求数列an的通项公式；设an的公差为d(d0)，则S1a1，S22a1d，S44a16d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以a1(4a16d)(2a1d)2.所以2a1dd2.因为d0，所以d2a1.又因为S2

8、4，所以a11，d2，所以an2n1.因为mN*，所以m的最小值为30.KESHIJINGLIAN 课时精练基础保分练12345已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，_，nN*.(1)求数列an的通项公式；1234选：所以Snn2n.当n2时，Sn1(n1)2n1，当n2时，anSnSn12n，又a12，满足上式，所以an2n.51234选：由S2a3，得a1a2a3，得a1d，又由a4a1a2，得a13da1(a1d)，因为d0，则a1d2，所以an2n.选：由a4是a2，a8的等比中项，得 a2a8，则(a13d)2(a1d)(a17d)，因为a12，d0，所以d2，则an2n.51

9、234(2)若bn ，数列bn的前n项和为Wn，求Wn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.Snn2n，bn(2n1)22n1(2n)22n322n2n，所以Wn322232422322n2n52.(2022沈阳模拟)已知正项数列an的前n项和为Sn，且 2Snn1，a22.(1)求数列an的通项公式an；123451234当n2时，an是正项数列，an1an1.a11，a2a11，数列an是以a11为首项，1为公差的等差数列，ann.5(2)若bnan2n，数列bn的前n项和为Tn，求使Tn2 022的最小的正整数n的值.123451234由(1)知bnan2nn2n，Tn121

10、222323n2n，2Tn122223(n1)2nn2n1，(1n)2n12，Tn(n1)2n12.TnTn1n2n0，Tn单调递增.51234当n7时，T762821 5382 022，使Tn2 022的最小的正整数n的值为8.512343.(2022大连模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，S525，且a31，a41，a73成等比数列.(1)求数列an的通项公式；51234由题意知，等差数列an的前n项和为Sn，由S525，可得S55a325，所以a35，设数列an的公差为d，由a31，a41，a73成等比数列，可得(6d)24(84d)，整理得d24d40，解得d2，所以ana3(n3

11、)d2n1.51234(2)若bn(1)nan1，Tn是数列bn的前n项和，求T2n.5由(1)知bn(1)nan1(1)n(2n1)1，所以T2n(11)(31)(51)(71)(4n3)1(4n11)4n.4.(2022株洲质检)由整数构成的等差数列an满足a35，a1a22a4.(1)求数列an的通项公式；12345技能提升练12345由题意，设数列an的公差为d，因为a35，a1a22a4，整理得(52d)(5d)2(5d)，因为an为整数数列，所以d1，又由a12d5，可得a13，所以数列an的通项公式为ann2.(2)若数列bn的通项公式为bn2n，将数列an，bn的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列cn，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，求数列cn的前(4n3)项和T4n3.1234512345由(1)知，数列an的通项公式为ann2，又由数列bn的通项公式为bn2n，根据题意，得新数列cn，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，则T4n3b1a1a2b2b3a3a4b4b2n1a2n1a2nb2nb2n1a2n1a2n2(b1b2b3b4b