(新高考)高考数学一轮复习课件第1章§1.4《基本不等式》(含解析)

1、第一章考试要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.落实主干知识课时精练探究核心题型LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.a0，b0ab2.几个重要的不等式(1)a2b2 (a，bR).(2) (a，b同号).(3)ab (a，bR).(4) (a，bR).以上不等式等号成立的条件均为ab.2ab23.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积

2、xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值 .(2)已知x，y都是正数，如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值 . 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(3)若x0，y0且xyxy，则xy的最小值为4.()x2，2.(多选)若a，bR，则下列不等式成立的是当ab0时，D不成立.3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.25设矩形的一边为x m，面积为y m2，其中0 x10，当且仅当x10 x，即x5时，等号成立，ymax25，即矩形场地的最大面积是25 m2.TANJIUH

3、EXINTIXING探究核心题型命题点1配凑法例1(1)(2022长沙模拟)设0 x1，则x10，所以函数的最小值为9.命题点2常数代换法因为a0，b0，且ab2，命题点3消元法例3(2022烟台模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.6方法一(换元消元法)即(x3y)212(x3y)1080，令x3yt，则t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值为6.方法二(代入消元法)所以x3y的最小值为6.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值.t0，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，xy的最大值为3.xy的最大值为3.教师备选1.(2022哈尔滨模拟)已知x0，y0，且2

4、x8yxy0，则当xy取得最小值时，y等于A.16 B.6C.18 D.12因为x0，y0,2x8yxy，所以当xy取得最小值时，y6.2.已知函数f(x) (x1)，则A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值4因为x1，所以x10，故f(x)有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.跟踪训练1(1)已知函数f(x) x(2x1)，则f(x)的最小

5、值为_.4令x1m,2y1n，则m0，n0且mnx12y11，例4(1)(2022宁波模拟)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为题型二基本不等式的常见变形应用在RtOCF中，由勾股定理可得，CFOF，对于选项A，因为0a1，所以(ab)2a22abb24ab，故选项A错误；对于选项D,2a22b2a22abb2(ab)2，教师备选a2b22ab，所以A错误；

6、ab0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a0，bb0，命题q： ，则p是q成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件ab0，则a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，由p可推出q，当a0，b0时，命题q成立，由q推不出p，p是q成立的充分不必要条件.(2)(2022漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是a，b为互不相等的正实数，例5小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在

7、该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？题型三基本不等式的实际应用设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50 x220 x50(0 x10，xN*)，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出.(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)因为利润累计收入销售收入总支出，所以二手车出售后，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，

8、能使小王获得的年平均利润最大.教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是_ cm2.72 600设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，由题意可得3ab60 000，所以该海报的高为(a20)cm，宽为(3b10252)cm，即(3b30)cm，所以整个矩形海报面积S(a20)(3b30)3ab3

9、0a60b600所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3 .已知网店每月固定的各种费用支出为3万

10、元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是_万元.37.5即最大月利润为37.5万元.拓展视野柯西不等式柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,17891857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.1.(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adb

11、c时，等号成立.推广一般情形：设a1，a2，an，b1，b2，bnR，(当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立).2.(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.一、利用柯西不等式求最值例1已知x，y满足x3y4，则4x2y2的最小值为_.当且仅当y12x时，等号成立，例2已知正实数x，y，z满足x2y2z21，正实数a，b，c满足a2b2c29，则axbycz的最大值为_.3(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)9，axbycz3，当且仅当a3x，b3y，c3z时取“”

12、，axbycz的最大值为3.二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1a2b2) (a1a2)2.当且仅当b1b2时，等号成立.例5已知a1，a2，an都是实数，求证：KESHIJINGLIAN 课时精练1.下列函数中，最小值为2的是基础保分练1234567891011121314151612345678910111213141516即x21时取等号，x21，故B错误；12345678910111213141516当且仅当exex，即x0时取等号，故C正确；当x(0,1)时，ylog3x2，y1，(x2)(y1)4，则xy的最小值是A.1 B.4C.7

13、 D.3x2，y1，(x2)(y1)4，12345678910111213141516123456789101112131415165.已知不等式(xy) 9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为A.2 B.4C.6 D.8即正实数a的最小值为4.123456789101112131415166.(2022湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是A.第一种方案更划算 B.第二种方案

14、更划算C.两种方案一样 D.无法确定1234567891011121314151612345678910111213141516设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(xy)，则方案一：两次加油平均价格为方案二：两次加油平均价格为故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.123456789101112131415167.(多选)(2022重庆渝中区模拟)已知正实数a，b满足a0，b0，且ab1，则下列不等式成立的有12345678910111213141516当且仅当ab时取等号，A正确；a2b20，b0，ab1，0a0，b0，则下列不等式中一定成立的是1234567891011121

15、3141516因为a0，b0，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151620 x0，b0，且a2b2ab，则ab的最小值为_，2ab的最小值为_.2a2b2ab，当且仅当a2b，即b1，a2时等号成立，故ab的最小值为2.a2b2ab，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151611.(2022郴州模拟)习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.为鼓励返乡创业，某镇政府

16、决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列an(单位：万元，nN*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知 72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为_万元.12012345678910111213141516由题意得，五年累计总投入资金为a1a2a3a4a553a15a315a15(a33a1)10(a1a2)，当且仅当a1a2时等号成立，预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.1234567891011121314151612.已知p：存在实数x，使4x2xm10成立，若綈p是假命题，则实数m的取值范围是_.(，212345678910111213141516綈p为假命题，p为真命题，即关于x的方程4x2xm10有解.由4x2xm10，m的取值范围为(，2.技能提升练1234567891011121314151613.(2022合肥质检)若ABC的内角满足sin Bsin C2sin A，则A.A的最大值为B.A的最大值为C.A的最小值为D.A的最小值为sin Bsin C2sin A.bc2a.由余弦定理知当且仅当bc时取等号.又A(0，)，1234567891011121314151614.(2022南京模拟)若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的