量子力学总结课件

1、量子力学总结一、量子力学的基本思想和基本原理（1）物质的运动伴随物质波，物质波波长可由下式求出：1、量子力学基本思想对于非相对论粒子：如自由粒子：量子力学总结一、量子力学的基本思想和基本原理（1）物质的运动对于相对论粒子：如光子：对于相对论粒子：如光子：（2）物体的运动具有不确定度，任何两个共轭物理量均有不确定度存在，即不可能同时精确测量两个共轭物理量。对于任一物理量：对于 ：（2）物体的运动具有不确定度，任何两个共轭物理量均有不确定度2、量子力学基本原理：（1）状态数学上用波函数描述，波函数是 的函数，是希尔伯特空间中的矢量。波函数满足标准化条件：单值、连续、有限（或平方可积）。波函数|(x

2、,t)|2才有物理意义，解释为概率密度。在t时刻，在x-x+dx区域发现粒子的概率：dp=|(x,t)|2 dx波函数满足的两个条件： / 连续归一化条件：|2 d=12、量子力学基本原理：（1）状态数学上用波函数描述，波函数（2）物理量用厄米算符表示，对体系物理量的测量，体现在厄米算符对波函数的作用，说明了量子力学理论包括了测量对体系的影响。一般经典力学量是坐标和动量的函数，这类力学量对应的算符可直接将函数中的坐标和动量换为相应的算符即可得到。对于不是的经典力学量，如自旋、宇称等，量子力学中重新给出定义。一般算符可以展开为动量和坐标的级数形式：（2）物理量用厄米算符表示，对体系物理量的测量，

3、体现在厄米算常见力学量算符：在直角坐标系中：在球坐标系中：常见力学量算符：在直角坐标系中：在球坐标系中：厄米算符及性质定义因为性质算符时指：含义：矩阵时指：厄米算符及性质定义因为性质算符时指：含义：矩阵时指：本征值为一些实数，也是体系中测量这些力学量得到的测量值计算的常用基本公式本征值为一些实数，也是体系中测量这些力学量得到的测量值如果一体系有一组算符完备组，则任何一个算符都可以该组算符展开。（3）力学量的测量测力学量A时，将状态函数以A本征函数展开状态函数本征函数出现塌缩出现力学量可能测量值每个值以一定的概率出现cn 的平方是出现第n个本征值的概率如果一体系有一组算符完备组，则任何一个算符都

4、可以该组算符展矩阵表示力学量平均值对于归一的波函数此项为一。矩阵表示力学量平均值对于归一的波函数此项为一。矩阵表示矩阵表示解存在的条件久期方程给出 ，一般是多值。对应不同本征值 代入本征方程中，在考虑归一化条件，就可得到本征函数属于不同本征值的本征函数彼此正交。可计算的类型题：解存在的条件久期方程给出 ，一般是多值。对应不同、计算平均值和不确定度、计算本征值和本征函数、计算本征值出现的概率，或塌缩到本征态的概率(4) 状态的演化Schrdinger方程 当哈密顿量不显含时间时，即势能不是时间函数时，体系的状态为定态、计算平均值和不确定度、计算本征值和本征函数、计算本征定态方程对所有表象都成立。

5、a、空间概率密度和概率流密度不随时间改变。b、测量系统能量总是有确定值。 在定态状态时 方程中常带有本征值问题，通过边界条件，可以确定出本征值 能计算的问题定态方程对所有表象都成立。a、空间概率密度和概率流密度不随时、无限深势阱问题。、已知初始时刻波函数，求任意时刻波函数问题。、中心力场问题。、谐振子问题。（5）全同粒子状态的描述全同粒子波函数为对称化函数.费米子：为反对称波函数，粒子交换一次位置，改变符号。玻色子：为对称波函数，粒子交换一次位置，不改变符号。、无限深势阱问题。、已知初始时刻波函数，求任意时刻波函数费米子：玻色子：2个费米子费米子：玻色子：2个费米子2个玻色子位形和自旋直积空间

6、波函数=位形空间波函数自旋空间波函数它们各自单独归一2个玻色子位形和自旋直积空间波函数=位形空间波函数自旋空间波典型例题一、计算平均值和不确定度3.14 证明在 的本征态下，证明证明：假设 是 的本征态，相应的本征值是 ，因为则：典型例题一、计算平均值和不确定度3.14 证明在 的类似可以利用 可得 是 及 的本征函数，即3.15设粒子处于 状态下，求 和按3.14题 ，则有： 其次证明 ，利用解类似可以利用 可得 所以再利用 ，可得所以所以再利用 ，可得所以8.3 在 本征态 下，求解 因为而所以类似有所以8.3 在 本征态 下、计算本征值和本征函数a、函数形式的本征方程-连续表象中的表示b

7、、矩阵形式的本征方程-分离表象中的表示如 x, p表象如 其它算符表象c、常见表象的本征方程如 能量、动量、角动量、坐标表象、计算本征值和本征函数a、函数形式的本征方程-连（1）（张p82 3-18） 质量为m的粒子处于谐振子势 的基态。（1）如弹性系数增大一倍，及势场突然变为 ， 随即测量粒子的能量，求粒子处于势场基态的概率（2）势场由 突变为 后不进行测量，经过一段时间 后，让势场重新恢复成 ，问 取什么值时，粒子正好恢复到原来势场 的基态（概率100%）？解（1）初始时，谐振子的基态波函数势场改变后粒子的基态波函数为、计算本征值和本征函数-（1）（张p82 3-18）（1）如弹性系数增大

8、一倍这里势场改变后，谐振子的波函数不变，仍为 ，所以在此波函数中找到 的概率幅为-这里势场改变后，谐振子的波函数不变，仍为 ，所以在此所以概率为（2）设t=0的时刻，Hamilton量为H，势突变后的Hamilton量为 分别是 的本征态，相应的本征值为将 用 的本征函数族 展开，随时间演化经过时间 后，粒子又变成 ，则要求-所以概率为（2）设t=0的时刻，Hamilton量为H，势突t=0时，谐振子的基态为偶宇称态，势场始终保持宇称态，所以，n只能取偶数，取n=2k，于是有为了使此式每一个k都满足， 必须是 的整数倍， 即 所以-t=0时，谐振子的基态为偶宇称态，势场始终保持宇称态，所以，（

9、2）（张p108 4-13）设 ，求粒子的能量本征值取守恒量完全集为 其共同本征函数为 满足径向方程令-（2）（张p108 4-13）设 方程化为相当于氢原子的径向方程 换成 ， 换成 ，上式只有在 为正整数，且 取正根时有解，有氢原 子的能级得到本题的解-方程化为相当于氢原子的径向方程 换成 ， （3）（张p44 2-5）证明对于一组波包，有由题设 考虑到 有-（3）（张p44 2-5）证明对于一组波包，有由题设 （4）（曾p95 4-2）设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态 中的任何一个态。试求体系可能态的数目，分三种情况讨论（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi子；（

10、c）两个不同粒子Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi体系则是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，没有对称性的限制当两个粒子处于相同的单粒子态时体系的状态当然必是交换对称的，这种状态只能出现在Bose子体系和经典粒子体系，体系的波函数的方式为当两个粒子处于不同的粒子态（ 和 ）是，如果是经典粒子，有两种体系态-（4）（曾p95 4-2）设体系有两个粒子，每个粒子由单粒子态 和 可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称适合Bose子体系，反对称适合Fermi体系。对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态之和，显然，正好等于经典粒子体系的

11、可能态总数，如可能的单粒子态为k个，这三种两粒子体系的可能态函数目如下经典粒子Fermi子Bose子-由单粒子态 和 可以构成对称和反对称的体系本题k=3 ，Fermi子、Bose子、经典粒子的可能态数目分别为3、6、9Bose子体系态有Fermi子体系有三种当全同粒子的体系粒子数目超过两个时，一般说来，对于粒子的交换完全对称的状态与完全反对称的状态数目之和总是小于没有对称性限制的体系状态总数，亦即后者除了完全对称与反对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态。-本题k=3 ，Fermi子、Bose子、经典粒子的可能态数目（5）（曾p193 10-1）10.1 设非简谐振子的Hamilt

12、on量表示为 为实数用微扰论求其能量本征值（准确到二级近似）和本征函数（准确到二级近似）能量的本征值和归一化的本征态（无简并）为-（5）（曾p193 10-1）10.1 设非简谐振子利用Hermite多项式 的递推关系得-利用Hermite多项式 的递推关系对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为能量的二级修正为-对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为能量的二级修正由式（6）可知，只当m取（n-3），（n-1），（n+1），（n+3）才有贡献，即由此可得在准确到二级近似下体系能量值为在准确到一级近似下，能量本征函数为-由式（6）可知，只当m取（n-3），（n-1），（n+1），-

13、（6）（曾p162 8-8）8.8 由两个非全同粒子（自旋均为 ）组成的体系，设粒子间的相互作用为 （不考虑轨道运动）。设初始时刻（t=0）粒子1自旋”向上“粒子2自旋”向下“ 求时刻t(0)时，（a）粒子1自旋向上的概率；（b）粒子1和2自旋均向上的概率；（c）总自旋S=0和1的概率；（d）求 和 的平均值。从求体系的自旋波函数入手，由于得到总自旋 是守恒量，所以定态波函数可以选择为 的共同本征函数，按照总自旋量子数S的不同取值，本征函数和能级为t=0时，体系的自旋为-（6）（曾p162 8-8）8.8 由两个非全同因此，t0时，体系的波函数为即（a）由（5）式知道，在时刻t，粒子1自旋向上

14、，同时粒子自旋向下的概率为（b）粒子1和2自旋均向上的的概率为0，因为 为守恒量，而体系的初态 ，所以任何时刻 必为0，不可能均向上-因此，t0时，体系的波函数为即（a）由（5）式知道，在时刻（c）由式（4）式可知，总自旋量子数取1和0的概率相等，各为1/2,概率不随时间改变（d）利用（5）式，容易算出 和 的平均值-（c）由式（4）式可知，总自旋量子数取1和0的概率相等，各为（7）（曾p162 8-10）8.10 两个全同粒子处于一维谐振子 中，分别下列几种情况，求此二粒子体系的最低三条能级及本征函数（a）单粒子自旋为0；（b）单粒子自旋为1/2；（c）如果两个粒子之间还有相互作用 ，讨论上

15、述（a）和（b）两种情况下能级发生的变动，画出能级图。解（a）单粒子自旋为0情况。波函数只含二粒子的空间坐标 和 ，但要求对 变换对称。设两粒子分别处于谐振子的 和 能级 ，二粒子能量为 。由此可知二粒子体系的最低3条能级的能级填布情况和对称波函数分别如下：-（7）（曾p162 8-10）8.10 两个全同粒210n第一激发态210n第二激发态210n201n基态-210n第一激发态210n第二激发态210n201n基态-(4)(5)(6)(7)任意t 时的态矢为其中-(4)任意t 时的态矢为其中-将ci (i=1,2,3,4)的值代入(6)式，任意t时刻，粒子1的自旋处于z轴正方向的几率是两

16、个粒子的自旋同时沿z轴正方向的几率为零，因为 中不存在(1)(2)-将ci (i=1,2,3,4)的值代入(6)式，任意t时刻，陈P256 6.25两个自旋s=1/2的粒子在(S1z,S2z)表象的态为 ，其中|i|2代表粒子i自旋向上的几率，|i|2代表粒子i自旋向下的几率。(1)求 的本征值与本征态矢，V0是常数；(2)设t=0时，体系的态为 ，求任意t时刻发现体系处于 态的几率。解(1) (S1z,S2z)表象的基矢依次记为(1)-陈P256 6.25两个自旋s=1/2的粒子在(S1z,S2利用公式(2)算出可见，|3与|4是 的本征态，本征值均为0， 的另外两个本征态因同|3与|4正交，只能由|1与|2的线性组合构成：(3)(4)(5)-利用公式(2)算出可见，|3与|4是 的本征态，本