分形几何论文

1、前 言自从1975提出分形几何这一概念以来，分形几何已经迅速发展成为一门风靡世界的新兴数学分支。并且逐渐成为处理和研究自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，它在模拟自然景象、图像数据压缩、分形生长、混沌动力系统研究等方面都得到了广泛而卓有成效的应用。应用分形几何学的原理，在计算机上描绘出来的分形图案美妙无比、绚丽多姿而又变幻莫测，不仅令数学家惊奇不已，也使美术家击节赞叹。因此应用分形几何的研究成果于图案设计之中，已成为数学工作者进行研究的一个新领域。传统的图案纹样，例如二方连接纹样与四方连续纹样具有均衡、对称等特点，这些可以在自相似分形与自仿射分形中得到体现。值得关注的是，分形几何还可以彻

2、底改变图案设计用单个纹样的拼接而实现整体设计的定式，创造出完全超出意想的全部由计算机绘制的新型图案，从而使图案设计进入一个用数学指令的新时代。在分形几何中，许多重要的分形是迭代方法产生的，因而它可以看做一类迭代函数系统的不变集对于复变函数的迭代函数系统，复平面C或扩充复平面C上复变函数的迭代可以生成许多结构复杂的集合，Julia分形就是其中的一个例子。可以证明，复数数列生成的点列，因为复数常量和初值的不同取法，可以有4种动向，即收敛、振动、无秩序和发散，其中振动的场合，还可以根据周期点的数目再细分。对于某个常量，使得数列不发散的初值的集合称为Julia集合，不发散即意味着必为收敛、振动、无秩序

3、之一。作出如下规定：固定某后，定下复数平面上某个区域，对于该区域内的所有点，看看将这些点作为初值的点列的动向，这样，用所赋予的颜色描画点时，有色部分即为Julia集合。本文中所介绍的试验，是在windows2000下，以vc6.0作为工具在复平面上生成Julia集图像并推广到四维空间上的广义Julia集的投影截面图像。 第一章 分形1.1 分形的含义“分形”一词是从拉丁文“fractus”转化而来的，它的原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体。顾名思义，可以想到“分形几何”是一门描述不规则事物（即所谓的“病态几何”与“怪物曲线”）的规律性的科学。与传统的几何学相比，分形几何有以下特点：（1

4、）从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。（2）在不同尺度上，图形的规则性又是相同的，即分形具有自相似性。分形作为一个数学集，它的内部应具有精细结构，也就是在所有比例尺度上其组成部分应包含整体，而且是相似的。对于一些数学模型，如上面提到的康托尔集合、科赫曲线等；这类自相似性是严格的，所以称它们为有规分形。在物理学或其他自然界中存在的分形，它们的自相似是近似的或者是统计意义的，则称之为无规分形。例如常见的树木，它的整体与任意折取的一条树支在形态上是很相似的，差别只在于它们的尺寸不同。作为一门新兴的学科它引进了一些什么新的观点呢？其中最重要

5、的一点是曼德布罗特认为世界上物体的空间维数（拓扑维数）不一定必须是整数，相反它可以是分数的或者是连续变化的，这个观点突破了长期统治着数学的欧几里德几何的限制。他继承了德国数学家豪斯道夫（Hausdorff）在1919年利用测度理论来定义各种几何体的空间维数的思想，从而给各种不是简单的一维，二维和三维的物体一个确定的“分数维数”；豪斯道夫认为对于一条长度为L的线，若用一根长为r 的“尺”作为单位去测量它，量度的结果是N，就说这条线有N尺长。显然N的数值与所用“尺”的大小有关，它们之间具有下列关系：同理若测量的是一块面积为A的平面，这时就应用r2的单位小方块去测定它才能给出确定的N值，其A值可表达

6、为：如果直接用普通的尺，而不是用小方块去测量面积的话，显然是量不出这块面积的大小的。就像问一个人，“你的住房面积有多长？”答案只能是无穷长。这表明对于一个确定维数的几何体，都必须用一种适合于它的“尺”去量度，才能给出正确的数值，否则就会给出牛头不对马嘴的答案。数学家把这个事实归纳为下述结论：对于任意一个确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺”去量度，则可得到一确定数值N，若用低于它维数的“尺”去量它，其结果为无穷大，若用高于它维数的“尺”去量它，其结果为零，这个结论可用数学表示为：豪斯道夫维数，它的数值可以是整数也可以是分数。对于一般的正常物体，“尺”缩小的倍数与量度结果增大的倍数是相同的，

7、因此其豪斯道夫维数是一个整数，其数值与普通的欧几里德维数相等。当被测量物体是复杂的“病态几何”或“怪物曲线”时，豪斯道夫维数是一个分数，通常把豪斯道夫维数是分数的物体称为“分形”，有时也称D为“分数维数”或“分形维数”，在英文中它是用同一名词（Fractal Dimension）来表达的。因此维数不是整数就成了分形的主要特征。1.2 分形的特点对于某一集合A，可以将具有下面性质的集合，称为分形集：（1）曼德布罗特曾把满足下式条件：的集合A，称为分形集，其中Dim(A)为集合A的分维数，dim(A)为其拓扑维数。一般来说，Dim(A)不是整数而是分数；（2）集合A具有近似的，或统计的自相似性，亦

8、即满足标度不变性；（3）集合A具有不规则性，从整体到局部均难以用传统的几何学描述；（4）集合A具有精细结构，也就是说，它具有任意小的比例细节；（5）在许多情况下，集合A可以用非常简单的方法定义，它具有递归性，可在计算机上用递归的方法生成。总之，分形几何与传统的几何完全不同，传统的欧几里德几何的对象具有一定的特征长度和标度，其所描述的是人类生产的工业产品的规则形状，分形几何则是无特征长度与标度的，它擅长描述自然界普遍存在的景物，分形几何的图形具有自相似性和递归性，它比较适用于计算机迭代生成。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。二十世纪80年代初国外开始的“分形热”经久不息。美国

9、著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学的文化人。正因为分形饱含哲理，概念新颖，且应用前景宽广，才能引起人们的浓厚兴趣。 Julia集合在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常数C，它是一个复数。现在在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算：，便可生成具有自相似性的图形，称之为Julia集合。 Mandelbrot 集合将Mandelbrot集合和Julia集合联系在一起，Julia集合有若干类型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一个常量，而Mandelbro

10、t集合的C是由进入迭代前的Z值而定。迭代结果，Z值同样有3种可能性，即：1)Z值没有界限增加（趋向无穷）2)Z值衰减（趋向于零）3)Z值是变化的，即非1或非2 Mandelbrot集合是所有的Julia集合的合并，Mandelbrot集合的某个区域放大后就是这个点的Julia集合。Mandelbrot集合有着一些很异国情调并且古怪的形状。Mandelbrot集合能不停地永远放大，但是受到计算机精度的限制。 Newton/Nova 分形Newton奠定了经典力学，光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明直到今天

11、还是非常有价值的。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。如方程有六个根，用牛顿的方法猜测复平面上各点最后趋向方程的那一个根，就可以得到一个怪异的分形图形。和平常的Julia分形一样，能永远放大下去，并有自相似性。牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间，Paul Derbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为Nova的分形图形。 分形的相关领域 计算机图形学计算机图形学（Computer Graph

12、ics）是二十世纪60年代初发展起来的学科分支，它研究如何用计算机生成、处理并显示图形。从1963年计算机图形学诞生至今只有三十多年的时间，但计算机图形的应用却出乎意料的广阔，已遍及所有领域。科学可视化科学可视化（Scientific Visualization简称VISC）是二十世纪八十年代后期，随着计算机图形学的研究及应用的拓广发展起来的一个新的研究分支。VISC以“可视”的方式，计算和显示各种物理模型，抽象概念和数学模型。计算机输出的大量数据，由于数据量极大且不直观，人们往往难以把握它们之中所蕴含的科学内涵，科学可视化能有效地帮助研究人员形象地、有联系地“看到”这些数据，从而更有效地进行

13、处理、分析与推理。从生理学观点来看，采用可视化技术能产生明显的效果，因为视觉是人的五大感官中最大的数据通道，其所携带的信息最多。另外，从思维科学的角度考虑，科学可视化能充分开发人的右半脑，可使形象思维和逻辑思维有机结合，从而达到启迪思维，促进科学创造的目的。实验数学 科学定律为确定性系统的描述提供了算法，而算法则是通过计算机程序在计算机上实现的，执行一个计算机程序和进行一次实验很相似，但计算机实验基于算法（传统实验基于仪器）。在某种情况下，还可以在一个完全由假设构成的环境中进行实验，因此计算机扩展了实验科学的领域，过去遗留下来的许多复杂系统的研究，采用传统的数学方法无法进行分析，而通过计算机实

14、验就可以有效地进行，并获得大量精确的结果。 第二章 复平面Julia集2.1 Julia集的概念 1918年，法国数学家Julia（朱丽亚）和Faton（法图）曾分别独立地研究过现在以Julia命名的数集并使当时的复分析达到很高的水平，只是由于当时还没有出现计算机，因而使他们的研究中断。分形的创始人Mandelbrot曾详细研究过Julia的研究手稿，并用计算机为工具，才使复动力系统的研究开花结果。在分形的计算机图像中，M集和Julia集占有十分重要的地位。数学原理：Julia集是在复平面上的无穷点集，它们又称为复动力系统的分形集合。原来的定义动力系统演化的规律，能够从该系统给定时刻的已知状态

15、决定后续时刻的状态。用数学的语言来说，一个集合到其自身映射的迭代，就构成了一个这样的动力学系统：由某一“初始状态”出发，作f（），然后是f（），f()等等，这样的序列能表达一个系统在后续的一些正规离散时刻的状态。因此，数学家们研究大量重复这一迭代之后发生什么，探索系统在长时间的演化。由最简单的非线性映射一个二次多项式所定义的动力系统，当然是最容易上手的研究对象。然而它们揭示了一些非常值得注意的现象，而把它们搞清楚是理解更复杂的动力系统的前提。考虑复变函数迭代式，固定复参数，在选定的复平面区域内逐点选取代入上述迭代公式求得，再将代入迭代公式求得，依此类推，使得迭代序列有界的初值在复平面上所生成的

16、分布图形称为Julia集，亦即：迭代序列有界。2.2 逃逸时间算法对于不同的C 值，又根据Julia集的定义，在选定充分大迭代次数nMax的情况下，可以选取一个正整数 L(一般取L=4)，有|L，对应于此C值的序列就是发散的。n从0开始，每迭代一次，n就增加1，只要nnMax(最大迭代次数)，且Z的绝对值|Z|L(逃逸半径)，则继续迭代，如果上述两个条件之一不满足，就退出循环，并根据n按一定的规律着色。这种根据敛散速度着色的方法称为逃逸时间算法。J集逃逸时间算法算法的核心过程如下：取一C值，n0，Z0； 当nnMax，且|Z|L为止；（5）根据第4步得到的n值，对屏幕上对应于此C值的点着上指定

17、的颜色；（6）对于第3步得到的每一个C值，执行第4、5步。运行程序时，x和y的取值范围如下：x取值：-2 x +2y取值：-2 y +22.3 复平面Julia集绘制 Julia集的周期性而对于复常数C和的不同取法，可以有4种动向，即收敛、振动、无秩序和发散。要注意的是，Julia集合只用一种颜色着色，这意味着，对于某个C，如描画Julia集合的话，那么该集合上所有的点以及以这些点为初值的数列的趋势是同一类型的，若收敛则都收敛，若2周期振动，则都是2周期振动。在一个集合上不存在收敛和2周期振动混合的情形，若按点列的走向对Julia集合进行分类的话，则其类型是可以唯一决定的。现作如下规定：固定某

18、C后，定下复数平面上某个区域，对于该区域内的所有点，看看将这些点作为初值的点列的动向，对于各个初值，根据动向的不同分别用下列颜色表示：（1）收敛1号蓝色 （2）n周期振动(2=n=13)n号颜色，但8周期时用14号淡黄色 （3）14以上周期振动15号白色 （4）无秩序15号白色 （5）发散不画 这样，用所赋予的颜色描画点时，有色部分即为Julia集合。这时，可以看到，由于要对每点进行处理和描画，这是相当费时间的。所以设定用于处理较长描画时间的规定于符号常量STEP，在主函数main中，对STEP设定某个值，则上下左右均按此间隔在格子上描画这些点，当然，当STEP为1以外时，只能描画不完全的图，

19、但可缩短描画时间，一般用于测试。首先设定STEP为410左右看看大致情形，然后直至为1描画出完全图形。指定数列项数的符号常量nMax也是影响描画时间的因素，该值越大时间越长，但能描出精密图形。下面规定nMax=200。先看复数常量C为实数的情形，描画的Julia集合。图2.1 xc=0.587，yc=0.0，Julia集分形图 图2.2 xc=-1.15，yc=0.0，Julia集分形图 图2.3 xc=-1.75，yc=0.0，Julia集分形图从上图可以看出，当C为实数时，Julia集合是关于X轴和Y轴对称的图形，但是当C为复数时，这种对称性就不存在了，而只有绕原点旋转180度的对称性，即

20、所谓点对称图形。图2.4 xc=，yc=，Julia集分形图图2.5 xc=，yc=0.20，Julia集分形图图2.6 xc=，yc=-0.01，Julia集分形图通过观察以上三幅图可以得出围绕中心旋转的叶子或火焰的数目与Julia集合的成因密切相关，以Julia集合上的点为初值的数列的周期点数目在几乎所有的场合均和叶子的数目一致，如图，金色的Julia集合，以它的点为初值的数列导致8周期振动，这时集合的叶子数也是8。特殊情况是叶子像节足动物的腿脚那样的情形，如图2.5，集合为6周期振动，然而却没有6枚叶子的中心。可是仔细观察可以发现2枚叶子和3枚叶子的两个中心，实际上此时是变成了两重结构，

21、从根基上是(0.7，-0.1)附近的2枚叶中心，(0.15，-0.2)附近的3枚叶的中心是勒掉一枚叶子重新生成的。 Julia集的自相似性分形图形有别于其他图形的显著特点是其具有局部和整体相似的性质。在自然界中，具有自相似的客观对象比比皆是，除了山形的起伏，河川的弯曲，树木的分枝结构外，生物体的器官，如血管的分岔，神经网络，肺气管道的分枝结构等，均具有相似性。布朗粒子的运动轨迹，虽然不具有严格的自相似性，但其轨道的某一局部放大后与某一较大部分具有相同的概率分布，因此，自相似应包括统计意义上的自相似性。不同的分形集，自相似的程度也有很大的差别。通过对以上图形的观察，可以明显的看出Julia集具有

22、显著的自相似性，以图为例，该图形具有2个主要中心，若干叶子从该中心向周围伸长，其中朝着原点的最大叶子与从另一中心伸长出的叶子相连，呈现出共有一张叶子2株玫瑰花结的形状，各叶的顶端又形成次中心，其周围也伸长着叶子，从该中心伸长出的叶子的配置与围绕主要中心的叶子的配置是同一结构，如此反复形成分形结构，照直伸长的叶子的Julia集合就如水面上的浮草或培养容器上的繁殖的酵母一样。2.4 复平面广义Julia集以上所讨论的是二次方映射，发现迭代无穷多次而不跑到无穷远的初始点所形成的集合，其在复平面上的图形的边界多为分形称之为Julia集，但这个Julia集的定义不只适用于二次方映射，可以用它来讨论多项式

23、以及多次方的映射。复数列=+C，将Z的平方推广到Z的次幂，当取次幂的时候用多项式相乘显得繁琐，将Z转化为极坐标进行运算比较简单，其转化步骤为：任意复数可以写成三种形式： 1) 代数形式：Z= 2) 三角形式：Z=3) 指数形式：Z= 其中是虚数单位，x=Re(z)是复数的实部，y=Im(Z)是复数的虚部， r=Z=叫做复数的模，叫做复数的辐角。在复平面上，实部一般用横坐标表示， 虚部一般用纵坐标表示。图2.7 xc=，yc=-0.41，Julia集分形图图2.7所示Julia集与分形图现实世界的雪花十分相似，由此可以看出分形图形除了具有自相似性的特点外，在现实的应用中也具有一定意义。图2.8

24、xc=，yc=0.0867，=3 Julia集分形图映射通过以上图形发现似乎函数越复杂，集的结构就越丰富，对三次的Julia集添加一次项其Julia分形图如所示，其复数迭代式为：。第三章 四元空间Julia集3.1 四元数介绍 以往构造Julia集都是在二维平面(复数平面)内进行的，并观察到许多分形结构的特征，如:边界极不光滑，在不同尺度上有自相似结构等，这已为许多研究人员所熟悉。事实上，分维一般可以表示成一个通常的矩阵加一行(列)小数维，考虑到物理学的理论几乎都是在四维时空中描述的，构造更高维空间中的Julia集是有意义的。在计算机图形学中，对于围绕与坐标轴不重合的轴旋转时，可以用平移与坐标

25、轴旋转进行复合而得到。为了得到所需要的复合矩阵，传统的方法是首先必须得到由选定旋转轴移到另一个坐标轴，然后根据指定旋转角求出该轴的旋转矩阵， 最后得到将转轴变回到原来位置的逆矩阵序列。运算比较繁杂。获得对给定轴旋转的更有效方法是运用旋转变换的四元数表示，它只需少于44矩阵的存储空间，且更容易写出变换序列的四元数过程，这对于需要复杂运动序列和给定物体两个位置的运动插值动画尤其重要。B. P 哈密尔顿早在1843年就在数学中引入了四元数，但是由于数学工具的优越性尚未显示出来，所以直到本世纪60 年代末这种方法才开始获得实际应用。随着空间技术、计算技术，特别是捷联惯导技术的发展， 四元数的优越性才日

26、渐引起人们的重视。为了能够在四维空间中构造新的Julia 集，新定义一个四元数体：Z=其中，a、b、c 和d 均为实数，而且 =-1，。可以很容易地证明，这种构数在数学上是合理的，而且它与物理学中的四维时空也很接近: a 类似于时间维，b，c 和d 则构成三维空间。3.2 构造四元数Julia集定义了四元数体后，再定义一个迭代=f(，C)就可以构造四维空间中的Julia集了。为有可比性，以虫口动力学模型:=+C为例进行构造.选定C后，通过迭代确定所有不趋于无穷的Z。这里， Z可以表示为: Z=所以=根据以上四元数的构造与数学运算定义便可以绘制四元空间Julia集。以下Julia集均取Z的平方所

27、绘制。由于目前技术上的困难，用图形只能给出Z在二维截面上的情况，即: (x，y)截面，(x，z)截面等.但是，从这些截面，已经能得到很多信息。选择C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)，同时取Z中的t=0.3，在(x，y)截面内生成一个图形，。图3.1 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)t=0.3，z=0时Julia集合在(x，y)图3.2 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)t=0.3，z=0时Julia集合在(x，y)图3.3 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)t=0.3，z=0时Julia集合在(x，y)图3.4 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3) t=

28、0.3，z=0时Julia集合在(x，y)为了便于观察细部，对应图3.1中的A 、B 和C 区域，.随便看一下这三个图，就可以很清楚地观察到边界的不光滑性，以及层层嵌套的自相似结构.同时，即使在不同的区域，细部的结构也几乎是一致的，这是由所模型决定的。下面两幅图是C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)时Julia集合在(x，y)截面，(t，x)截面，(y，z)截面上的形状。比较(图3.5)和(图3.6)可以发现两者之间既有很多相似，又有明显的差异.(注意:文中各图均经放大，但比例不尽相同)。图3.5是（t，x）截面生成图形，差异比较明显。图3.5 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)

29、t=0.3，z=0时Julia集合在(t，x)图3.6 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3) t=0.3，z=0时Julia集合在(y，z)在前面构造四元数体时已提到，(t，x，y，z)中的t很像物理学四维时空中的时间维，为此，保持C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)不变，令t分别取0.15 ，0.35，0.60和0.80，从(x，y)截面可以观察到分形图像的“变化”过程图3.7图3.10。图3.7 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)时，t=5，z=0时在(x，y)图3.8 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)时，t=0.35，z=0时在(x，y)图3.9 C=(0.

30、3，-0.3，0.3，-0.3)时，t=0.6，z=0时在(x ，y)图3.10 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3)时，t=0.8 ，z=0时在(x，y)另外，也可以从(t，x)截面投影观察动力学过程:仍然选择C=(0.3，-0.3，0. 3，-0.3)不变，作y=0.3，z=0.3时的(t，x)截面图.从()中可以看到，(t，x)截面的图形与(x，y)或(x，z)截面中的图形差别很大，但细部却仍然有很好的相似.图 C=(0.3，-0.3，0.3，-0.3) (t，x)当然，改变参数C 可以再重复上面的工作. 例如选择:C=(-0.4， 0.3i，-0.2，0.4)作(x，y)截面图(

31、) ，将其与() 比较，容易看到有许多改变. 所以，Julia集总是与参数C 的选择相联系的。图3.12 C=(0.3，-0.4，0.2，-0.1)时从(x，y)截面上看到的Julia 图3.13 C=(0.37，-0.61，0.0，0.0) ，z=0时从(x，y)截面上看到的Julia在四维的Julia集的分行图绘制的过程中，对Yj部和Zk部取0投影到（t，x）平面得到的图形与复平面的Julia集的分形图十分相似，对比图3.13与图2.5。 图3.14 C=(0.2733，-0.01，0.0，0.0) =2，t=0.01，z=0时从(t，x)截面上看到的Julia在四维的Julia集的分行图

32、绘制的过程中，对Yj部和Zk部取0，投影到（t，x）平面得到的图形与复平面的Julia集的分形图十分相似，对比图3.14与图2.6。3.3 构造四元数广义Julia集通过极坐标表示的四元数：为了用四元数来表示刚体的定点转动， 需采用四元数的三角表示法。设四元数为: ，四元数Q 的模可定义为:，四元数的模又可称为四元数的范数。设三角函数，则有=，对于四元数Q有向量部分q，设其单位向量为i，则有： 于是四元数Q可以转换为极坐标表示方式:= 本文构造四元数Julia集将隶莫弗定理应用于四元数图3.15 C=(，)时=5，t=0.84，z=0从(x，y)图3.16 C=(，)时=6，t=0.24，z=

33、0从(x，y)截面上看到的Julia集的图形 图3.17 C=(0.7065，-0.41，)时=5.5，t=0.24，z=0从(t，x)截面上看到的Julia集的图形在构造的四维广义Julia集的过程中，可以的到相似的规律，当和都取0时。对W和Xi取值，所得到的投影到（t，x）平面上的图形和复平面上的julia集分形图十分相似。如图3.17与图2.7的对比。 图3.18 C=()时，=-4,t=1.1,z=0从(x，y)截面上看到的Julia集的图形图3.19 C=( ，)时，=-2,t=0.3,z=0从(t，x)截面上看到的Julia集的图形图3.20 C=(，)时，=-3,t=0.4,z=

34、0从(t，x)截面上看到的Julia集的图形图3.21 C=( ，)时，=-6,t=0.2,z=0从(t，x)截面上看到的Julia集的图形图3.22 C=( ，0.5477,，)时，=-7,t=0.4,z=0从(t，x)截面上看到的Julia集的图形图3.23 C=(-0.545,-0.561,-0.586,-0.543)时，=-4,t=0.01,z=0从(t，x)图3.24 C=(-0.545,-0.561,-0.586,-0.543)时，=-4,t=0.1,z=0从(t，x)图3.25 C=(-0.545,-0.561,-0.586,-0.543)时，=-4,t=0.3,z=0从(t，x)图3.26 C=(-0.545,-0.561,-0.586,-0.543)时，=-4,t=0.5,z=0从(t，x)图3.27 C=(-0.545,-0.561,-0.586,-0.543)时，=-4,t=0.7,z=0从(t，x)图3.28 C=(-0.545,-0.561,-0.586,-0.543)时，=-4,t=1.1,z=0从(t，x)图3.29 C=( ，-，)时，=-5.2,t=0.01,z=0从(t，x)截面上看到的Julia集的图形在构造广义Julia集的过程中，当=-4, ( ，-，)