高中数学：极限的四则运算1

1、业精于勤荒于嬉,行成于思毁于随！精品文档，欢迎你阅读并下载！高中数学：极限的四则运算1极限的四则运算(1)极限的四则运算邻水二中范天寿新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯教学目的：教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：教学难点：函数极限法则的运用授课类型：授课类型：新授课复习引入:一、复习引入:1数列和函数的极限以及求法:数列和函数的极限以及求法一般地，无限增大时，一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a，(即ana无限地即为极限，接近10),接近那么就说数列a以a为极限，或者说a是数列（1）

2、an是无穷数列；注意）是无穷数列；an的极限nliman=an（2）a是唯一常数（不能是）是唯一常数（a需与C是常数)(与数列前面的有限项无关；（3）数列的极限a与数列前面的有限项无关；）（4）数值变化趋势有：递减、递增、摆动；）数值变化趋势有：递减、递增、摆动；1）aa2指的是无限”（5）0n“无限”地趋近于)limCan(1)lim=(=n要有多近就能有多近nn要有多近就能有多近.C(3)当a1时,liman=0n2.函数的无穷极限：函数的无穷极限：函数的无穷极限一般地，当自变量取正值并且无限增大时，一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当趋向于

3、正无穷大时，就说当x趋向于正无穷大时，的极限是a函数f(x)的极限是，记作xlimf(x)=a+当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数，就说当x趋向于负无穷大时，无限趋近于一个常数a就说当趋向于负无穷大时，的极限是a函数f(x)的极限是，记作limf(x)=ax如果limf(x)=a,且且x+limf(x)=a,那么就说当x趋向于x无穷大时,f(x)的极限是记作limf(x)=a的极限是a,记作无穷大时的极限是lim特别地：为常数）特别地：C=C（C为常数）3.函数在一点处的极限与左、右极限：函数在一点处的极限与左、右极限：

4、不等于x1）当自变量无限趋近于常数10（但x不等于10）时，无限趋近于常数x不等于）当自变量x无限趋近于常数如果函数f(x)无限趋近于一个常数，就说当趋近于10无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于趋近于x如果函数无限趋近于一个常数lim时，函数f(x)的极限是，记作xxf(x)=a函数的极限是a，的极限是02）当x从点10左侧（即xx0）无限趋近于10时，函数）从点x无限趋近于x从点左侧（f(x)无限趋近于一个常数，就说是函数无限趋近于一个常数a，就说a是函数是函数f(x)在点10处的在点x无限趋近于一个常数在点左极限，记作limf(x)=a.左极限，xx03）如果当x从点10右侧（即xx0）

5、无限趋近于10时，）如果当从点右侧（从点x无限趋近于x函数f(x)无限趋近于常数，就说是函数无限趋近于常数a，就说a是函数是函数f(x)在点10处在点x函数无限趋近于常数在点右极限，的右极限，记作xlimf(x)=a.x+04）常数函数f(x)=c在点）常数函数在点x=x0处的极限有limf(x)=C.在点xx04求下列极限:求下列极限（1）limx=1）11=x1x12x2lim(2x2+1)=3（4）lim2x=2（3）x1）x122x+135如何求lim?=x12x2考察下表lim（2）x0.90.990.99911.49951.51.0011.500501.011.12x2+11.45

6、5561.495052x1.505051.55455观察该极限与上题极限之间存在关系吗?观察该极限与上题极限之间存在关系吗2x+11lim=limx+limx1x1x12x2x22x+1lim=x12x2lim(2x2+1)x1lim2xx1x+x2问题1：函数，(x)=f,当x1时，2x12你能否直接看出函数值的变化趋势？问题2：如果不能看出函数值的变化趋势，那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？讲授新课:二、讲授新课:函数极限运算法则：函数极限运算法则：“xx0时”lim如果limf(x)=a，xxg(x)=b那么xx00 xx0limf(x)g(x)=l

7、imf(x)limg(x)=abxx0 xx0 xx0limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=abxx0 xx0f(x)xx0alim=(b0).xx0g(x)limg(x)bxx0limf(x)也就是说：如果两个函数都有极限，也就是说如果两个函数都有极限，那如果两个函数都有极限么由这两个函数的各对应项的和、么由这两个函数的各对应项的和、差、商组成的函数的极限，积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为10）。项作为除数的函数的极限不能为）。注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在.是各部分极限必

8、须存在limlimlim不难得到：由xxf(x)g(x)=xxf(x)xxg(x)不难得到：000 xx0limCf(x)=Climf(x)（C为常数）为常数）为常数xx0 xx0limf(x)=limf(x)(nN)nn*xx0注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在.是各部分极限必须存在函数极限运算法则：同样有x时”函数极限运算法则：“如果limf(x)=ax，limg(x)=b那么xlimf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=abxxxlimf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=abxxxf(x)limf(x)alim=x=(b0).xg(x)limg(x)

9、bx用上面的运算法则可求：用上面的运算法则可求：(1)limx;xx0n1(2)limn.xxxx0(1)limxn=(limx)n=x0n,即limxn=x0n;xx0 xx011nnuf8eb1uf8f6(2)limn=limuf8ecuf8f7=(lim)=0=0(nN*)xxxxxxuf8eduf8f81即limn=0 xx利用函数极限的运算法则，利用函数极限的运算法则，我们可以根据已知的几个简单函数的极限，函数的极限，求出较复杂的函数的极限.数的极限n例1、求lim(x+3x).、2x22解:lim(x+3x)=limx+lim3x2x2=(limx)+3limx2x2x2x2x2=

10、2+32=102xx0limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)xx0 xx0 xx0limx=x0nnxx0limCf(x)=Climf(x)xx02x2+x+1例2、求lim3.2x1x+2x1limf(x)f(x)axx0lim=(b0).xx0g(x)limg(x)bxx0lim(2x+x+1)2x+x+1x1解：lim=3232xx+2x11lim(x+2x1)2221+1+1=3=2=232limx+lim2xlim11+211x1x1x12lim2x+limx+lim12x1x1x1x1总结：总结：lim(x+3x)2x22x+x+1(2)lim3.2x1x+2x12通

11、过例1、例2同学们会发现：函数（x）同学们会发现：函数f（）通过例、同学们会发现处有定义;在x=x0处有定义求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，只要把处的极限值时，只要把x=x0代入函数解析式中，就得到极限值.-代入法式中，就得到极限值代入法x16.例3、求limx4x42分析：分母的极限是10，分析：当x4分母的极限是，不能直接运用上面的极限运算法则。接运用上面的极限运算法则。因为当x4时函数的极限只与x无限趋近于无限趋近于4的函数值有时函数的极限只与无限趋近于的函数值有时的函数值无关，关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将时的函数值无关分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的分子、分

12、母约去公因式以后再求函数的极限.极限x16.例3、求limx4x42x16解：limx4x4(x+4)(x4)=limx4(x4)2limf(x)xx0f(x)alim=(b0).xx0g(x)limg(x)bxx0=lim(x+4)x4=8x1.例4、求lim2、x12xx12解：lim(x+1)(x1)=limx(x12x+11)()x+1=limx2x+111+12=lim(2x+1)2+13x1x1x1.2x2xx112lmf(x)if(x)axx0lmi=(b0).xx0g(x)lmg(x)ibxx0lim(x+1)总结：总结：2x16x1.、.例4、求lim2例3、求limx12x

13、x1x4x42通过例3、4会发现会发现：函数f（x）通过例3、例4会发现：函数f（x）在x=x0处无定义；求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，若处的极限值时，定义；求这类函数在某一点用代入法，分子分母都为用代入法，分子分母都为.解决办法：可对分子分母因式分解，约去为的公因解决办法：可对分子分母因式分解，约去为10的公因式来求极限式来求极限-因式分解法因式分解法1x1变式：求lim=？x0 x解决办法：可先有理化分子，再约去为的公因式来解决办法：可先有理化分子，再约去为10的公因式来求极限求极限-根式有理化法根式有理化法练习：求下列函数的极限：练习：求下列函数的极限：x4x+1(1)limx

14、22x+12(x+1)(x2)(2)limx2(x+3)(x2+2)x+5x+6(3)lim2x2x+x22x+x6(4)limx2x22x+1例5、求lim2=?xx+x+111+22x+1xlim2=lim解：xx+x+1x111+2xx1+0=11+0+02注意:当x分子、分母中同除以的最高次幂，利用分子、分母中同除以x的最高次幂的最高次幂，1就可以求极限了limn=0就可以求极限了xx3x2+5x+1练习：求lim2=？x4x5x+7ax+x1=2,求实数a的值.例6、已知lim、2x1x+22解：ax+x1lim=221xx+22a1+11=221+22a=6x+ax+b=2，求a,

15、b的值变式：x2的值.变式：若lim2的值xx22x2x20，同时分母x解：2时，分式的分母又由于分式的极限值是常数2，中有因式x2.又由于分式的极限值是常数，所以又由于分式的极限值是常数分子中也应该有因式x2，需约去公因式x2后，其极限值才有可能是常数.其极限值才有可能是常数令x+ax+b=(x2)(x+c)，则：2(x2)(x+c)(x+c)2+c原式=lim=lim=x2(x2)(x+1)x2(x+1)32+c=2c=4.a=2,b=83x2+ax+b=x2+(c2)x2ca=c2,b=2c小结：小结：（1）概述极限的运算法则：）概述极限的运算法则：（2）本节课学习了三种计算函数极）0限的方法：代入法；限的方法：代入法；对10型极限的求法可通过因式分解，限的求法可通过因式分解，根式有理化约去“