证明数列收敛

1、优选文档本文谈论了一类递推数列xn1f(xn)的单调性与收敛性问题,同时也实行与包含了近期一些文件中的结果.运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况：易知单调递加或递减，需证有上界或下界。易知有上界或下界，需证单调递加或递减。易知既有上界又有下界，需证单调。易知单调，需证既有上界又有下界。用导数来求证xn1f(xn)单调有界性若是f(x)0，即函数f(x)单调递加时，数列xn拥有单调性是可以必定的，而研究递加递减那要看x1跟x2的比较了(若是x1=x2的话，那么x1=xn)详尽的说若x1x2时，由f(x1)f(x2),那么可以判断xn为减数列。若x1x2时，由f(x1)

2、f(x2),那么可以判断xn为增数列。.优选文档例题1.x=0,当n1时，x=2-cosx,证明数列x收敛而且极限值位于2n+1n，1n23证：记f(x)=2-cosx,则f(x)=sinx0由于x0，x2=1，则x10 x2=13，由于f(x)在0，3上递加1因此f(x)f(x)f(x)，即x2x33123那么xn拥有单调有界性，上界为3尔后对数列两边取极限，记极限为A则A=2-cosA.设函数g(x)=x-2+cosx，其中A为方程g(x)的根，由于g(x)在0，3上连续，在0，3内可导，则g(x)=1-sinx0g()=-424-10因此函数递加，又由于20,g()0236因此g(x)的

3、根在2内。，23.优选文档若是f(x)0，即函数f(x)单调递减时，数列x必定不具n有单调性的但是，它的奇数项子数列x2n1和偶数项子数列x2n都可以看作是经过单调增加函数g(x).其中g(xn)ff(xn)f(xn1)xn2因此必定拥有单调性，而且其增减性恰好相反例题1.当x=1，n1时，xn1=1，证明数列x收敛，并求11+xnn其极限值。证：设函数f(x)1,则函数在0,上连续，在0,内可导，1+x易知f(x)=-120。(1x)1在0,因此f(x)上递减。1+x12xxx，又f(x)1由于x1=1,x2=,x3=,可知在0,231321+x上递减。因此有fx1fx3fx2,即x2x4x

4、3,因此x2x4x3x1可推得x1x3x5.x2n-1x2n.x6x4x2由此可知奇数项子数列x2n1单调递减有下界x2=1，2偶数项子数列x2n单调递加有上界x1=1，则两子数列都收敛。设奇数项子数列x2n1收敛于P，偶数项子数列x2n收敛于Q。.优选文档11P=1+Q对xn1=1+xn两边去极限得：Q=15-1解方程得P=Q=21+P那么数列xn收敛于5-1。2利用不动点与导数的结合来证单调有界性。定义：对于函数f(x),若存在实数C,使得f(C)=C，则称C为(x)的不动点。命题1.设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，且f(x)0,f(a)a,f(b)b.设x1=a，则递推数列

5、xn1f(xn)收敛。命题2.设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，且f(x)0,f(a)=a,f(b)b.设x1=b，则递推数列xn1f(xn)收敛。命题3.若是函数f(x)在a,b有唯一的不动点，那么数列必收敛于.优选文档该不动点。推论：对于递推数列xn1axnbxc,若是n(acb,a、b、c、x1都为正数,n1、2、3.)，那么数列收(ac)(ac)24b敛，且收敛于L，其中L=2。例题1.设0 x3，xn13(xn1)（n1,2,3,L），求xn31证:数列xn收敛,并求其极限。解：数列xn3(x1)，f(x)60的迭代方程f(x)33)2x(xf(3)3。又f(x)x(3x

6、1)(3x1)x。0，即f(x)113x111故数列xn在区间x1,3上满足命题1的条件,于是数列xn收敛。又f(x)在x,3上有唯一的不动点3,于是limxn3。1n.优选文档例题2.已知函数f(x)x3x2x1，且存在x0(0,1)，使242f(x0)x0 x0,xf(x),y11，yn1f(yn),其.设1n1n2中n1,2,证明:xnxn1x0yn1yn。证：由数列xn的迭代函数f(x)x3x2x1得24f(x)3x22x13(x1)210,236从而在区间(0,x0)上，由命题1的结论得0 xnxn1x0，1在区间(x0,)上，由命题2的结论得2x0yn1yn1，2于是有xnxn1x

7、0yn1yn证毕利用单调性的定义或数学归纳法。例题1.设a1c,an1anc,证明数列an极限存在。思路：先试求an1anc的极限，对两边取极限，解得.优选文档1+1+4climan2,猜想它是数列的一个上界，那么问题就变换x为证明这个猜想。证：易从an1anc看出数列an递加。an有上界1+1+4c接下来用数学归纳法求证2。显然a1c1+1+4c,假设an-11+1+4c，便有了22anan1c1+1+4cc1+1+4ca为单调。则22n递加有上界的数列，故数列an收敛。例题3.a1b10,a2a1b1,b2a1b1,anbn2一般地an+1,bn1anbn,证明数列an与bn收敛。2证：利用数学归纳法对n进行归纳证明，nZ,a1b10。当n=1时已知成立。假设an-1bn10,由重要不等式得：anan-1bn-1an-1bn-1=bn0,因此数列an2有下界0，且当n2时