人教版A版高中数学选修4-2复合变换与二阶矩阵的乘法课件

1、复合变换与二阶矩阵的乘法复合变换与二阶矩阵的乘法 1. 什么是复合变换? 其变换公式是怎样的? 2. 矩阵的乘法是怎样计算的? 它有什么性质?学习要点 1. 什么是复合变换? 其变换公式是怎 问题1. 如图, 已知向量 a= , 依次作两次旋转变换 Rq 1, Rq 2 , 两次变换是否可以用一次变换得到? 若第一次作旋转变换 Rq 1, 第二次作关于 x 轴的反射变换呢? 如果两次变换可以用一次变换得到? 那么变换公式和对应的矩阵是什么?xyxOyaq1q2AB可用一次旋转变换变换公式: 问题1. 如图, 已知向量 a= 问题1. 如图, 已知向量 a= , 依次作两次旋转变换 Rq 1,

2、Rq 2 , 两次变换是否可以用一次变换得到? 若第一次作旋转变换 Rq 1, 第二次作关于 x 轴的反射变换呢? 如果两次变换可以用一次变换得到? 那么变换公式和对应的矩阵是什么?xyxOyaq1A猜想可以用一次变换.变换公式:b可考虑一次旋转 b 角, b =?C-q1可考虑用 旋转-q1角, x-y 问题1. 如图, 已知向量 a= 问题1. 如图, 已知向量 a= , 依次作两次旋转变换 Rq 1, Rq 2 , 两次变换是否可以用一次变换得到? 若第一次作旋转变换 Rq 1, 第二次作关于 x 轴的反射变换呢? 如果两次变换可以用一次变换得到? 那么变换公式和对应的矩阵是什么?xyx

3、Oyaq1AC第一次旋转, 变换公式:第二次作反射变换:1 00 -1=xy=.一次变换矩阵 问题1. 如图, 已知向量 a= 问题2. 一个向量进行任意的两次线性变换, 是否可把两次变换用一次变换表示呢? 如果可以, 变换公式和对应的矩阵是什么?设已知向量 a= ,xy第一次变换为 ,a1 b1c1 d1第二次变换为 .a2 b2c2 d2第一次变换:a1 b1c1 d1xya1x+b1yc1x+d1y=,第二次变换:a2 b2c2 d2a1x+b1yc1x+d1ya2(a1x+b1y)+b2(c1x+d1y)c2(a1x+b1y)+d2(c1x+d1y)= 问题2. 一个向量进行任意的两次

4、线性变换,=(a2a1+b2c1)x+(a2b1+b2d1)y(c2a1+d2c1)x +(c2b1+d2d1)yxy.=a2a1+b2c1 a2b1+b2d1c2a1+d2c1 c2b1+d2d1(变换公式)(变换矩阵)=(a2a1+b2c1)x+(a2b1+b2d1)yx.=a这也是一个线性变换, 我们称它为变换 g 与变换 f 的复合变换, 记为 fg, 从而, 对任意平面向量 a 有 (f g)a=f(ga).a1 b1c1 d1a2 b2c2 d2一般地, 设 A= , B= , 在直角坐标系 xOy 内, A, B 对应的变换分别为 f, g. 对平面内的任意向量 a= 依次作 g

5、, f 两次变换, 即xya1 b1c1 d1=a2 b2c2 d2xy= f ( g )xyxy=(a1a2+b1c2)x+(a1b2+b1d2)y(c1a2+d1c2)x +(c1b2+d1d2)yxy.=a1a2+b1c2 a1b2+b1d2c1a2+d1c2 c1b2+d1d2(与问题 2 比较,注意变换顺序,fg 先变换 g.)这也是一个线性变换, 我们称它为变换 g 与变换 f 的得复合变换(f g)a=f(ga)a1 b1c1 d1=a2 b2c2 d2xy的变换公式为.a1a2+b1c2 a1b2+b1d2c1a2+d1c2 c1b2+d1d2对应的矩阵为我们定义 AB=a1

6、b1c1 d1a2 b2c2 d2=a1a2+b1c2 a1b2+b1d2c1a2+d1c2 c1b2+d1d2为二阶矩阵 A 与 B 的乘积, 则有A(Ba) = (AB)a.得复合变换(f g)a=f(ga)a1 b1=a2 xOyaq1q2AB 例1. 问题 1 中, 向量 a= , 依次作两次旋转变换 Rq 1, Rq 2 , 可视为一次旋转变换 其变换公式为 请用矩阵乘法证明此结论.xy证明:两次旋转, 复合变换为xyxy=xy=xOyaq1q2AB 例1. 问题 1 中, xy=.变换公式为x=.变换公式为例2. 计算(1)1 10 1 1 -1-2 3;(2)1 23 40 11

7、 0.解:(1)(2)1 10 1 1 -1-2 3=1 23 40 11 0=11+1(-2) 1(-1)+1301+1(-2) 0(-1)+13-1 2-2 3=.10+21 11+2030+41 31+402 14 3.=例2. 计算(1)1 1 1 -1;(2)1 例 3. 在直角坐标系 xOy 中, 切变变换 s 对应的矩阵为 A= , 切变变换 r 对应的矩阵为 B= ,变换 s r 将向量 a= 变成向量 b, 求 AB 及 b. 1 0-1 11 20 113解:AB= 1 0-1 11 20 1 11+00 12+01-11+10 -12+11= 1 2-1 -1= .b =

8、 (AB)a13 1 2-1 -1= . 7-4 例 3. 在直角坐标系 xOy 中, 1. 计算下列矩阵的乘积:(1) ;-1 0 0 0-1 0 0 0(2) ;-1 0 0 1-1 0 0 0(3) ;1 02 3-1 0 0 0(4) .1 23 45 67 8解:(1)-1 0 0 0-1 0 0 0=-1(-1)+00 -10+00 0(-1)+00 00+001 00 0= .(2)-1 0 0 1-1 0 0 0=-1(-1)+00 -10+00 0(-1)+10 00+101 00 1= .练习巩固1. 计算下列矩阵的乘积:(1) 1. 计算下列矩阵的乘积:(1) ;-1 0

9、 0 0-1 0 0 0(2) ;-1 0 0 1-1 0 0 0(3) ;1 02 3-1 0 0 0(4) .1 23 45 67 8解:(3)1 02 3-1 0 0 0=1(-1)+00 10+002(-1)+30 20+30(4)1 23 45 67 8=15+27 16+2835+47 36+48= .14 2243 50= .-1 0-2 0练习巩固1. 计算下列矩阵的乘积:(1) 2. 设 A= , B= , 求 AB 与 BA. 在直角坐标系 xOy 内, 分别写出矩阵 AB, BA 所对应的线性变换的坐标变换公式.1 20 11 01 1解:AB =1 20 11 01 1

10、11+21 10+2101+11 00+11=3 21 1= .BA =1 01 11 20 111+00 12+0111+10 12+11=1 21 3= .AB 对应的线性变换公式是AB 对应的线性变换公式是练习巩固 2. 设 A= , 复习a1 b1c1 d1a2 b2c2 d21. 设 A= , B= , 写出矩阵 A 与 B的乘积AB. 2. 线性变换 g, f 的复合变换 fg 与线性变换 f, g 的复合变换 gf 是否相同, 举例说明.AB=a1 b1c1 d1a2 b2c2 d2=a1a2+b1c2 a1b2+b1d2c1a2+d1c2 c1b2+d1d2复习a1 b1a2

11、b21. 设 A= 复习 2. 线性变换 g, f 的复合变换 fg 与线性变换 f, g 的复合变换 gf 是否相同, 举例说明.fg 与 gf 一般不相同.a1 b1c1 d1a2 b2c2 d2如对应 A= 的变换为 f, 对应 B= 的变换为 g .对 a= 作复合变换 fg 为xy(AB)a=a1 b1c1 d1a2 b2c2 d2xy=(a1a2+b1c2)x+(a1b2+b1d2)y(c1a2+d1c2)x+(c1b2+d1d2)y.而作复合变换 gf 为(BA)a=a2 b2c2 d2a1 b1c1 d1xy=(a2a1+b2c1)x+(a2b1+b2d1)y(c2a1+d2c

12、1)x+(c2b1+d2d1)y.(两式不同)复习 2. 线性变换 g, f 的复合变换复习 2. 线性变换 g, f 的复合变换 fg 与线性变换 f, g 的复合变换 gf 是否相同, 举例说明.fg 与 gf 一般不相同.从图形上看如:向量 a 逆时针旋转 q 角为变换 f, 关于 x 轴反射变换为变换 g.xOyaqA(反射)B(旋转)复合变换 f g 如图:xOyaqB(反射)A(旋转)复合变换 g f 如图:不等.两 OB复习 2. 线性变换 g, f 的复合变换进行复合, 得到复合变换 R90 s.例4. 在直角坐标系 xOy 中, 把矩阵 B= 确定的压缩变换s : =xyxy

13、与矩阵 A= 确定的旋转变换0 -11 00 -11 0R90: =xyxy(1) 求向量 在复合变换 R90s 作用下的像;21(2) 求复合变换 R90s 的坐标变换公式; (3) 复合变换 R90s 把单位正方形区域变成了什么图形?进行复合, 得到复合变换 R90 s.例4. 在（2）R90s : =xy0 -11 0 xyxy=.则复合变换公式为解（1）R90s : =xy0 -11 02121=-1 1=.即 求向量 在复合变换 R90s 作用下的像是 .21-1 1（2）R90s : =x0 -1xx=.010 -11 001= .-1 0复合变换 R90s 把单位正方形区域变成了

14、以向量和 (-1, 0)为邻边的平行四边形 (矩形).xOy11xOy11-1（3）100 -11 010= .00 -10= .-1复合变换 R90s 3. 已知旋转变换 R30: 与切变变换 r: (1) 求单位坐标向量 i, j 在复合变换 r R30 作用下的像. (2) 复合变换 r R30 把直角坐标系 xOy 内单位正方形区域变成了什么图形?xyxy=1 20 1xyxy=练习巩固 3. 已知旋转变换 R30: 解:(1)1 20 110(r R30)i:xy=1 20 101(r R30)j:xy=练习巩固解(2)(r R30)i:xy=(r R30)j:xy=由(1)知所以复

15、合变换 r R30 把单位正方形区域变成了以向量 为邻边的平行四边形.解:(1)1 21(r R30)i:x=1 2xOy11xOy练习巩固xOy11xOy练习巩固 4. 设 A= (其中 a, b, c, d 均为常数), 当 B分别为下列矩阵时, 试求 AB, BA.a bc d(1) ;0 11 0(3) (其中 k 为非零常数);1 00 k(4) (其中 k 为非零常数).1 k0 1(2) (其中 k 为非零常数);k 00 1解:(1)0 11 0a bc dAB=b ad c=;0 11 0a bc dBA=c da b=.练习巩固 4. 设 A= (其中(2)k 00 1a bc dAB=ak bck d=;k 00 1a bc dBA=ak bk c d=.练习巩固(3)1 00 ka bc dAB=a bkc dk=;1 00 ka bc dBA= a bck dk=.(4)1 k0 1a bc d