(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第12讲《函数与方程》（解析版）

1、第12讲 函数与方程思维导图知识梳理1函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根我们把这一结论称为函数零点存在性定理3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0) 的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2

2、，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个题型归纳题型1 函数零点所在区间的判断【例1-1】（2020春浙江期中）函数 SKIPIF 1 0 的零点所在区间是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由函数的解析式可得 SKIPIF 1 0 （1）， SKIPIF 1 0 （2）的符号，再根据函数零点的判定定理可得函数 SKIPIF 1 0 的零点所在的区间【解答】解：由于函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

3、0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，函数是连续增函数， SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 的零点所在的区间是 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-1】（2020广东学业考试）函数 SKIPIF 1 0 的零点所在区间为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】判断 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 递增，求得 SKIPIF 1 0 ，

4、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）的值由零点存在定理即可判断【解答】解：因为函数 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 时函数是连续增函数，且有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 存在零点故选： SKIPIF 1 0 【名师指导】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，

5、则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断题型2 求函数零点的个数【例2-1】（2020春渝中区校级期末）函数 SKIPIF 1 0 的零点个数为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A0B1C2D3【分析】条件等价于函数 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 图象交点个数，数形结合即可【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，则条件等价于函数 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 图象交点个数，分别作出两函数图象如下：如图，两函数无交点，故选： SKIP

6、IF 1 0 【例2-2】（2020武昌区模拟）函数 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的零点个数为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2个B4个C6个D8个【分析】判断函数的奇偶性，利用零点判断定理转化推出零点个数【解答】解：函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是偶函数， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1

7、0 ， SKIPIF 1 0 时函数有2个零点， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函数有1个零点，所以函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的零点个数为6故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-1】（2020春海淀区校级期末）函数 SKIPIF 1 0 的零点个数是 【分析】条件等价于 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 图象交点个数，数形结合即可【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，则函数零点个数等价于 S

8、KIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 图象交点个数，作出两函数图象如图：由图可得只有1个交点，故答案为：1【跟踪训练2-2】（2020春杭州期末）已知 SKIPIF 1 0 ，则函数 SKIPIF 1 0 的零点个数为 【分析】作出函数 SKIPIF 1 0 的图象，数形结合即可【解答】解：作出函数 SKIPIF 1 0 的图象如下：由图可得，函数 SKIPIF 1 0 只有一个零点，故答案为：1【名师指导】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的

9、图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数题型3 函数零点的应用【例3-1】（2020迎泽区校级模拟）已知以4为周期的函数 SKIPIF 1 0 满足，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ，若方程 SKIPIF 1 0 恰有5个根，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根据条件函数是周期为4的函数，作出两个函数的图象，利用数形结合结合直

10、线和曲线的相切问题，即可得到结论【解答】解：依题意，函数 SKIPIF 1 0 的周期为4，方程 SKIPIF 1 0 恰有5个根，等价为函数 SKIPIF 1 0 的图象与直线 SKIPIF 1 0 有5个交点，作函数图象如下：当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 ，相切时，即方程 SKIPIF 1 0 有唯一解，化简得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ；当直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 相切时

11、，即方程 SKIPIF 1 0 有唯一解，化简得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ；由图可知，实数 SKIPIF 1 0 的取值范围 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020宜昌模拟）若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 内有且仅有一个零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKI

12、PIF 1 0 【分析】依题意， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有且仅有一个解，设 SKIPIF 1 0 ，求导可知函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 0 （1）， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，由此求得 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：依题意， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有且仅有一个解，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 （当且仅当 SKI

13、PIF 1 0 时取等号）可知，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 单调递增， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例3-3】（20203月份模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 是定义域为 SKIPIF 1 0 的偶函数，且满足 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则函数 SKIPIF

14、 1 0 所有零点的和为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A3B4C5D6【分析】由 SKIPIF 1 0 为偶函数，且满足 SKIPIF 1 0 ，可得函数 SKIPIF 1 0 为最小正周期为2，对称轴 SKIPIF 1 0 ，画出函数 SKIPIF 1 0 的图象，又有题意可得 SKIPIF 1 0 关于 SKIPIF 1 0 对称，且有 SKIPIF 1 0 的范围可得 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 （5）， SKIPIF 1 0 （3）的取值范围，进而可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的交点情况，进而可得 SKIPIF 1 0 的零

15、点情况【解答】解：函数 SKIPIF 1 0 是定义域为 SKIPIF 1 0 的偶函数，且满足 SKIPIF 1 0 ，可得对称轴 SKIPIF 1 0 ，所以可得周期 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 也是关于 SKIPIF 1 0 对称，令 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，在同一坐标系中在作 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的图象如图所示：因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （5） SKIPIF 1 0

16、 ，与 SKIPIF 1 0 无交点， SKIPIF 1 0 （3） SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 有两个交点，所以 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 有3个交点，所以 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 有3对关于 SKIPIF 1 0 对称的点，所以所以交点之和为 SKIPIF 1 0 ，即函数 SKIPIF 1 0 所有零点的和为6，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-1】（2020江苏模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 是最小正周期为2的偶函数，且

17、当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 若函数 SKIPIF 1 0 恰有3个零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】做出 SKIPIF 1 0 的函数图象，令 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的函数图象有3个交点，列不等式组求出 SKIPIF 1 0 的范围【解答】解： SKIPIF 1 0 有3个零点， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的函数图象有3个交点，作出 SKIPIF 1 0 得函数图象如图所示：若 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF

18、 1 0 的函数图象只有1个交点，不符合题意；若 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的函数图象有无数多个交点，不符合题意；若 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的函数图象有3个交点，则 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-2】（2020赣州模拟）关于 SKIPIF 1 0 的方程 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上有三个不相等的实根，则实数 S

19、KIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】由题意画出图形，可知当 SKIPIF 1 0 时，显然不满足题意；当 SKIPIF 1 0 时，利用导数求出直线与曲线相切时的直线的斜率，结合 SKIPIF 1 0 时直线在曲线上方求解【解答】解：关于 SKIPIF 1 0 的方程 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上有三个不相等的实根，即 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上有三个不相等的实根，也就是函数 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上有三个不同的交点，当 SKIPIF 1 0 时，显然不满足题意；当 SKIPIF 1 0 时，设直线 SKIPIF 1 0