一元二次方程概念其解法

1、一元二次方程的看法及解法和讲义知识点一：一元二次方程的看法定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：ax2bxc0(a0)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程要判断一个方程可否为一元二次方程，先看它可否为整式方程，若是，再对它进行整理若是能整理为ax2bxc0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程（4）将方程化为一般形式：ax2bxc0时，应满足（a0）例1：以下方程x2+1=0；2y(3y-5)=6y2+4；ax2+bx+c=0；15x30，x其中是一元二次方程的有。变式:方程：2x2112x25xyy

2、207x210y20中一元3x2二次程的是。例2：一元二次方程(13x)(x3)2x21化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。变式1：一元二次方程3（x2）25x1的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为1，一次项的系数为3，常数项为6，请你写出它的一般形式_。例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_时，它是一元二次方程；当m=_时，它是一元一次方程。变式1：已知关于x的方程(m+1)x2mx+1=0，它是（）A一元二次方程B一元一次方程C一元一次方程或一元二次方程D以上答

3、案都不对变式2：当m时，关于x的方程(m3)xm27x5是一元二次方程知识点二：一元二次方程的解1）看法：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。2）应用：利用根的看法求代数式的值；【典型例题】1.已知x2是一元二次方程x2mx20的一个解，则m的值是（）A3B3C0D0或32.已知2y2y3的值为，则4y22y1的值为。23.若x=a是方程x2-x-2015=0的根，则代数式2a2-2a-2015值为。4.关于x的一元二次方程22240，则的值axxa的一个根为0a为。5.已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足abc0，则此方程必有一根为。【贯穿交融】1.已知关于x的方程x2

4、kx60的一个根为x3，则实数k的值为（）A1B1C2D22.若m2-5m+2=0，则2m2-10m+2016=。3.若关于x的方程（a+3）x2-2x+a2-9=0有一个根为0，则a=。4.一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是。若x=1是关于x的一元二次方程ax2bxc0a0一个根,求代数式2007(a+b+c)的值知识点三：解一元二次方程一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.一：直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(xm)2n的一元二次方程。依照平方根的定义可知，x

5、m是n的平方根，当n0时，xmn，xmn，当n0时，方程没有实数根。用直接开平方法解一元二次方程的理论依照是平方根的定义，达到降次转变之目的。（1）形如x2p。当p=0时，x1x20p(p0)的方程的解是x=（2）形如mxn20的方程的解为x=pn。ppm形如mxa2的方程可先化成x2n的形式，再用直接开n0am平方法解。【例题讲解】1、方程（x-2）2=9的解是（）Ax1=5，x2=-1Bx1=-5，x2=1Cx1=11，x2=-7Dx1=-11，x2=72、若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能够取以下四个数中的（）A1B4C1D14223、关于形如xp的一元二次方程，能直接开平方的条件

6、是_。4、方程x2160的根是_。5、用直接开平方法解以下方程：222（1）16x81（2）3m2422(3)9x250（4）42x1360【同步训练】1、用直接开平方法解方程（x-3）2=8，得方程的根为（）Ax=3+23B1222x=3+2，x=3-2Cx=3-22D1=3+2323x，x=3-22、方程1（x-3）2=0的根是（）2Ax=3Bx=0Cx1=x2=3Dx1=3，x2=-33、方程2x26900的根是_。4、方程t22169的根是_。5、用直接开平方法解以下方程：128x7012y122（3）4(3x1)290（）244x16x169二：配方法配方法：将形如ax2bxc0(a

7、0)的一类方程，化为(mxn)2p形式求解的方法叫做配方法。一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；（3）方程两边都加前一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为(xm)2n的形式；5）若是右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，若是右边是负数，则一元二次方程无解【例题讲解】1、用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程能够是（）A（x-1）2=4B（x+1）2=4C（x-1）2=16D（x+1）2=162、若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且ab，则2a-b之值为何？（）A-57B63C179D181

8、3、用合适的数填空：、x2+6x+=（x+）2、x25x+=（x）2；、x2+x+=（x+）2、x29x+=（x）24、将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_5、已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_6、将x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_，?因此方程的根为_22m的值是7、若x+6x+m是一个完好平方式，则8、用配方法解以下方程：（1）212150（）2（）2xx2x8x933x5x212（）2（）24404xx5x4x3062x47x9、用配方法求解以下问题（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。【贯穿交融】

9、1把方程x+3=4x配方，得（）A（x-2）2=7B（x+2）2=21C（x-2）2=1D（x+2）2=22用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A210B-214C-2+10D2-10用配方法解以下一元二次方程（1）2496（）2xx2x4x50（3）2x23x10（）243x2x70三：公式法1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。b2c2b2cb2由配方法得b，化简：xa2axa4a22a2ab24acb2224acbb24acxxbbx2a4a24a22a4a22a4a2xbb24acbb24ac2a2ax2a一元二次方程ax2bxc0(a0)的

10、求根公式：xbb24ac(b24ac0)2axbb24ac，xbb24ac12a22a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b为二次项系数，c为常数项。【典型例题】例1：一般地，关于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b2-4ac0时，它的根是_，当b-4ac0时，方程_例2：用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_，x1=_，x2=_例3：一元二次方程x2-2x-m=0能够用公式法解，则m=（）A0B1C-1D1例4：不解方程，判断所给方程：x2+3x+7=0；x2+4=0；x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A0个B1个C2个D3个例

11、5：方程（x+1）（x-3）=5的解是（）Ax1=1，x2=-3Bx1=4，x2=-2Cx1=-1，x2=3Dx1=-4，x2=2例6：一元二次方程x222x60的根是（）A.x1x22B.x10,x222C.x12,x232D.x12,x232例7：一元二次方程x2-3x-1=0的解是。例8：用公式法解以下方（1）3x25x20；（2）2x23x30；（）x22x10；3例9：若x2-xy-3y2=0（y0），求x的值y【贯穿交融】1.用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_，x1=_，x2=_2.用公式法解方程4y2=12y+3，获取（）Ay=36By=36Cy=323Dy=

12、3232222不解方程，判断所给方程：x2+3x+7=0；x2+4=0；x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A0个B1个C2个D3个用公式法解方程(1)x2+15x=-3x;(2)x2+x-6=0;(3)3x2-6x-2=0;(4)4x2-6x=0四：因式分解法因式分解法的步骤是：1）将方程右边化为0；2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：3）令每个因式等于0，获取两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.例题讲解：(1)x2x；(2)4x2；（）(x2)22x40；120103练习牢固：(2)x2x；(3)(x1)(x3)；x2x；421012(3)321

13、0(4)10 x2x；(5)(x1)24(x1)30210练习牢固用合适方法解以下方程(1)x2x；(2)(x2)2；（）x2x；4302563310(4)x22x30；（5）(2t3)23(2t3)；(6)(3y)2y29；(7)72x2=15（8）2x22x300(9)2x28x7(10)5x2(521)x10；(11)(x5)22(x5)080知识点四：判断根的情况（韦达定理）根的鉴识式及应用（=b24ac）0判断一元二次方程根的情况：0，方程有两个不相等的实数根；0，方程有两个相等的实数根；0，方程没有实数根.确定字母的值或取值范围：应用根的鉴识式，其前提为二次项系数不为0.韦达定理：

14、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）存在实数解x1，x2，那么x1+x2=-b，x1x2=c.这是在初中时韦达定理的定义，但在高中时应用就更为aa广阔.由代数基本定理可推得：任何一元n次方程在复数集中必有根，因此，该方程的左端能够在复数范围内分解成一次因式的乘积形式，两端比较系数即得韦达定理，因此韦达定理在复数范围内同样适用.一元二次方程ax2（）在有解的情况下，两个解为1bb24ac，+bx+c=0a0 x=2a2bb24ac，经过计算获取结论x12=-b，x12c.2aaa例1、已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0（1）方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）在（1

15、）中当k取最大整数时，求所得方程的实数根.2、已知关于x的方程kx2+1kx-2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.例2已知x1，2是方程216=0的两实数根，求x2x1的值.x2x+14xx1x2练习：1.已知x1,x2是方程3x2+2x-1=0的两个实数根，求x12x22的值.2.设，是一元二次方程22x+3x-7=0的两个实数根，求的值+4+.综合练习1、若是关于x的方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q请依照以上结论，解决以下问题：1）已知关于x的方程x2+mx+n=0（n0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求ab的值；ba（3）已知a，b，c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值2、若x1，x2是一元二