第零章矢量场论

1、 电磁场是矢量场，矢量场论是学习电磁场性质的基本数学工具之一。本章中，我们主要介绍矢量场理论基本知识：矢量运算，标量场的梯度，矢量场的散度和旋度,以及对于矢量场运算有重要作用的称为戴尔（或那布拉）算符的运算规则。稍后，将介绍狄拉克函数及一些重要的矢量场定理，它对我们今后学习电磁场理论有重要作用。 第零章 矢量分析 特别是对戴尔算符的运算法则要给予特别的重视。10-1 矢量运算0-2 坐标系0-3 标量场和矢量场0-4 方向导数和梯度0-5 矢量场散度0-6 矢量场旋度 0-7 拉普拉斯算符0-8 戴尔算符运算法则0-9 狄拉克函数0-10 若干定理第零章 目录 2 我们在电磁场中遇到的大多数量

2、可分为两类：标量和矢量。 仅有大小的量称为标量。具有大小和方向的量称为矢量。一矢量A可写成 其中A是矢量A的大小，eA是与A同方向上的单位矢量。矢量的大小称为矢量的模，单位矢量的模为1。矢量A方向上的单位矢量可以这样表示：0-1 矢量运算 常矢量是大小和方向都不变的矢量。注意单位矢量不一定是常矢量。3s图0-1-2 面积矢量ssA图0-1-1 矢量A 作图时，我们用一有长度和方向的箭头表示矢量，如图0-1-1所示。如果两矢量A和B具有同样的大小和方向，它们是相等的。如果两矢量A和B具有同样的物理的或几何的意义，则它们具有同样的量纲，我们可以对矢量进行比较。 如果一个矢量的大小为零，我们称为零矢

3、量或空矢量。这是唯一一个不能用箭头表示的矢量。 我们也可以定义面积矢量。如果有一面积为s的平面，则面积矢量s的大小为s，它的方向按右手螺旋规则确定，如图0-1-2所示。 4 两矢量A和B可彼此相加，其结果给出另一矢量C，C = A + B。矢量三角形或矢量四边形给出了两矢量A和B相加的规则，如图0-1-3所示。 由此我们可得出：矢量加法服从加法交换律和加法结合律。交换律： A + B = B + A 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) 0-1-1 矢量加和减 AABB图0-1-3 矢量加法: C = A + BACBC5 由C = A + B，其也意味着一个矢量C可以由

4、两个矢量A和B来表示，即矢量C可分解为两个分矢量A和B（分量）。也可说，一个矢量可以分解为几个分矢量。 如果B是一矢量，则-B也是一个矢量。它是与矢量B大小相等，方向相反的一个矢量。因此，我们可以定义两矢量A和B的减法A-B为：D = A + (B) D也是一个矢量。图0-1- 4表示了方法。 ABD图0-1-4 矢量减法： D = A BAB6 一标量k乘一矢量A，我们得到另一矢量B：B = kA0-1-2 矢量与标量乘 矢量B的大小是矢量A的k倍。如果k 0，矢量B的方向与矢量A的方向一样；如果k 0，反之 0。因此，环量可以描述旋度源的旋度特性。 然而，环量仅表征了整个被封闭曲线环绕的旋

5、度源特性，它不能详细地描述旋度源的分布特性。由此，我们考虑空间某点P，及围绕点P的封闭曲线l ，由曲线l 包围的区域面积是s。令en为s的法向单位矢量以及其与有向闭合曲线l的方向遵循右手规则，如图0-6-1所示。 lsen P图0-6-1 矢量场环量48 我们可预计到环量正比于面积s及对于固定面积s决定的有向闭合曲线l的方位。因此，我们定义对于en方向的矢量场F的环量强度为 由于也与有向闭合曲线l的方位有关，对于P点，有一特殊的方位将给出最大的值max。对矢量F，我们引进旋度矢量，记为curl F (或 rot F) 。矢量旋度称为矢量场旋度。其方向是矢量F的环流为最大的方向，而旋度矢量的大小

6、等于此方向上最大的环流强度，即P点单位面积上最大的环流。 49由此，矢量场F的旋度可定义为 其中en是s的法向单位矢量，其方向是F的旋度最大的方向。 50 为了得到旋度的具体表达式，在直角坐标系中，我们首先考虑在x = 常数的面上一小四边形，其面积为s，绕行方向如图0-6-2所示。 dzzydyo图0-6-2 微四边形51 为方便，四边形的上边和右边的线积分用带上标的撇“”来表示。由于四边形非常小，矢量F在各条边上的分量在各条边上各点处处可看成常数。 由图0-6-2，我们得到： 在s 0情况下给出：dzzydyo图0-6-2 微四边形52由此，我们得到了矢量F的旋度在ex方向上的分量为：同样，

7、矢量F的旋度在ey和ez方向上的分量分别为：因此，53 矢量场旋度的物理意义是：其大小是P点单位面积上最大的环流，方向垂直于产生最大环流的闭合线所围密接面的平面。反映了该点旋度源的分布情况。 以上讨论可知，旋度源是一个矢量。 如果一矢量场在闭合线元的线积分不为零，我们说该矢量场是有旋的。如果矢量场的旋度为零，该矢量场是无旋的或保守的。 54 对于面积为s由封闭线l包围的开放曲面，我们将其分为n个基面积元， 根据旋度定义，我们可得：上式中s是有封闭曲线l所包围的面积，ds和dl的方向关系按照右手螺旋法则。上式称为斯托克斯定理。其表明：一矢量场的旋度在一面积上的法向分量的积分等于此矢量场沿着包围此

8、面积的曲线线积分。 55 矢量场的旋度有一个重要特性：它的散度恒等于零，即： 旋度还有另一个恒等式。标量场的梯度的旋度恒等于零，即： 以上表明： 一个无散场可以用另一个矢量的旋度来表示。或者说，旋度场必是无散场； 一个无旋场可用另一个标量场的梯度来表示。或者说，梯度场必是无旋场。 56散度和旋度的区别 57例0-6-1:如果F = F (g)，g = g (r)，在直角坐标系中证明： 见例0-6-1 580-7 拉普拉斯算符 标量场f的梯度的散度可以写为： 这里，2称为拉普拉斯算符。它是一个二阶微分算符。在直角坐标系中，标量场f的拉普拉斯算符可以写成： 如果标量场f的拉普拉斯为零，则说标量场f

9、是谐和场。即谐和场f满足： 此方程通常称为拉普拉斯方程。 59 拉普拉斯算符也适用于矢量场。然而，矢量场的拉普拉斯已失去了原来梯度的散度的意义，而仅表达是一个运算而已。矢量场的拉普拉斯可以分为三个标量场的拉普拉斯运算。 在直角坐标系中，矢量F的拉普拉斯为： 600-8 戴尔算符运算法则 由戴尔算符的定义知，戴尔算符是一个矢量微分算符，具有矢量和求导的特性。因此，戴尔算符的运算规则必须同时满足矢量运算和求导运算的规则。 下面，我们给出一些例子，来说明如何掌握戴尔算符在运算中的微分性和矢量性二重性质。 61 例：见0-8例62 我们经常处理相对位置矢量R的函数，R = r r。一般r用来表示空间场

10、点的位置矢量，r用来表示空间源点的位置矢量。下面，我们将得出一些有用的等式。 我们定义算符： 我们得到下列等式： 630-9 狄拉克函数一维(x)函数定义为 或64 在电磁场理论中，我们要用到三维的(r)函数，它是三个一维函数的积。其定义为： 或65 对于位于空间r0点的点电q，空间的电荷密度可写为函数具有下列性质66例0-9-1：证明： 式中r是位置矢量，其大小为r。 例0-9-2：求静电场的散度和旋度。 见0-9例 670-10 若干定理0-10-1 格林定理 格林定理是由矢量场理论得出一个恒等式。 上式称为格林第一恒等式。格林第二恒等式 ：如果 = ，第一恒等式成为：680-10-2 唯

11、一性定理 矢量场唯一性定理表述为：在由边界面s包围的区域V内，如果1）给定了区域内矢量场的散度和旋度；2）在边界上各点给定了矢量场的法向分量或切向分量，则区域V内的矢量场唯一确定。690-10-3 亥姆霍兹定理 根据矢量场唯一性定理，当空间的源分布以及边界条件(矢量场在边界各点的法向分量或切向分量)给定，则空间的矢量场唯一确定。由此得出一个重要的结论：一矢量场可由一无散场和一无旋场的矢量和来表示。此称为亥姆霍兹定理。 式中： Fs为无散场 ； Fi为无旋场， 式中：为矢量场散度源 ； J为矢量场旋度源， 70本章重点小结：1）散度定理，即： 2）斯托克斯定理，即： 4）矢量场的旋度的散度恒等于零，即： 3）矢量场的旋度的散度恒等于零，即： 5）戴尔算符的运算规则必须同时满足矢量运算和求导运算的规则。 71补充：求解