2017年全国高考理科数学(全国一卷)试题及答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学满分150分。考试用时120分钟。选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的。1.已知集合Ax|x1,Bx|3x1则AAABx|x0B.A|BC.ABx|x1D.A什B2AAABx|x0B.A|BC.ABx|x1D.A什B2如图，正方形ABCD内的图形来自中国占代的太极图正方形内切圆中的黑色部分矢于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取i点则此点取自概率是B.-83.设有下面四个命题P-若复数z满足1R,zD.4色部分和白黑色部分的2P2诺复数Z满足ZR，则记Sn为等差数列a.的前记Sn为等差数

2、列a.的前n项和若ma524,S648,则aj的公差为A.1B.2C.D.8函数f仪)在()单调递减，且为奇函数.若f(1)1，则满足1f(xA.2,2c0,4D.1,3162(1)(1x)6展开式中的系数为XAB.20C30D.3571泉多面体的三视图如图所示其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形2)1的X的取值范围是组成,TE方这世梯形的P3诺复数乙忆2满足乙Z2乙P4：若复数zR，则ZR.其中的真命题为fPl,P3B.PI,P4CP2,P3D.P2,P4形的边长为2俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形,面积之和为A.10B.12C.14D.16&右面程序框图是为了

3、求出满足3n2M000的最小偶数n，那么在和_两个空白框中，可以分别填入AA1000和nn1B.A1000和nn2C.A1000和nniD.A1000和nn2开蛤一|力勺r9已知曲线Ci:ycosx,C2：ysin(2x)则卜面结论正确的是3A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移n丄个单位长度，得到曲线C26B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移卫个单位长度，得到曲线C212C把Ci上各点的横坐标缩短到原来的1丄倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移211倍：纵坐标不变：再把得到的曲线向左平移2丄个单位长度，得到曲线C

4、26D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线12C210已知F为抛物线C:y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线h2，直线h与C交于A、B两点，直线S与C交于DE两点，贝U|AB|+|DE的眾小值为D.10设xyz为正数，且才3v52则A.2x3y5zB.5z2x3yC3y5z2xD.3y2x5zA.16B.14C.1212几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列i,1,2,1,2.4.i,2,4.0Oi0i28.2.4.8.46，其中第一项是2，接下来

5、的两项是2,2，再接下来的三项是222、依此类推。求满足如卜条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幕。那么该款软件的激活码是&右面程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n那么在、!和一两个空白框中，可以分别填入A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分。15已知双曲线C：2-2X八y-1（a0,b0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条ab2渐近线交于MN两点。若MAN60:，贝UC的离心率为13已知向量a,b的夹角为60,13已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=l，则|

6、a+2b|=14设x,y满足约束条件2y2x则z3x2y的最小值为16如图，圆形纸片的圆心为Q半径为5cm该纸片上的等边三角形ABC的中心为QDEF为圆O上的点,DBCAECAFAB分别是以BC,CAAB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分別以BCCAAB为折痕折起DBCECAAFAB使得DE、F重合，得到三棱锥。当厶ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位:cmf）的最大值为三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。217.（12分）ABC的内角A,B,C的对边

7、分别为a,b,c,已知厶ABC的面积为一3sinA（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC1,a3，求厶ABC勺周长.（42分）如图在四棱锥P-ABCD中，AB/CD,且BAPCDP90：(1)证明：平面PABL平面PAD若PA=PDAB=DCAPD90，求二面角APBC的余弦值.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常，记x表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数求P(X1)及

8、X的数学期望；(2)天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的代个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95116116经计算得XX.997,S16门(XX)216(16X2)22忖其中x为抽取的第i个1bi1零件的尺寸H1,2,16.用样本平均数X作为的估计值？，用样本标准差s作为的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的生产过

9、程讲行检查？剔除(？3?,?3?)之外的数据，用剩卜的数据估计和(精确到001).附：若随机变量z服从正态分布N(,2)，则P(3Z3)0.9974,0.9974160.9592,.0.0080.09.20.(12分)2已知椭圆C：每二4(abo),四点R(1,1b)H(0,1),R(仁R(1，“)中恰有二点在瞒求C的方程；设直线I不经过F2点且与C相交于A,B两点。若直线F2A与直线RB的斜率的和为/，证明：I过定点.24(12分)已知函数f(x)ae2X(a2)exX讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选-题作

10、答。如果多做，则按所做的第题计分。22.选修4一4：坐标系与参数方程门0分）气e气e为参数），直线I的参数方程为ysin,xa4t（t为参数）y11,在直角坐标系xOy中：曲线C的参数方程为（1）若a，求C与I的交点坐标；x3cos（2）若C上的点到I的距离的最大值为7，求a.23.选修45:不等式选讲0分）2已知函数f（x）Xax4,g（x）|x1|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含-1,1，求a的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

11、只有一项是符合题目要求的。1A,2B,3B,4C,5D,6C,7B,8D,9Df10At11D,12A.二填空题：本题共4小题每小题5分，共20分。432314.-52.3346.15cm317-21题为必考题，每个试题考生都必须解答题：共7017-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知ABC的面积为3sinA求厶求厶ABC的周长.(1)求sinBsinC：(2)若6cosBcosC=1.a=3,解：由题设得1acsinB2丄即1csinB3sinA23sinAn八，

12、故sinBsinC3sinA（2）由题设及（1）得cosBcosCsinBsinCcos(BC)2所以BC，故qiocsinA由题设得2a3sinA即be由余弦定理得b2c2be9即(bc)23bc9,得b故ABC的周长为18.（12分）解：（1）由已知BAP由于AB/CD，故ABPD，从而AB平面PAD乂AB平面PAB所以平面PAB平面PAD（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F由门）可知ABCDPD平面PAD,C733CDP90:，得ABAP,故ABPF,|为单位长，建立如图所示的空间可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fx

13、yz.1515由（4）及已知可得”2。丛p(。),B(以C(所以詛（子，于宗2,。）严（子“，子規(0,1,0)(x,y,z)是平面PCB的法向量，则ZC0,即孑Xy寻-cboxznyU可取n(0J,2)（x,y,z）是平面PAB的法向量，则可取m(4,0,1)nm乜所以一面角则cosn,m3APBC的余弦值为H|m|（伐分）解：门）抽取的一个零件的尺寸在（3,3）之内的概率为0.9974*从而零件的尺寸在（3）之外的概率为0.0026,故XB（16,0.0026），因此16P（X1）1P（X0）10.99740.0408X的数学期望为EX160.00260.0416（2）（i）如果生产状态正

14、常，一个零件尺寸在（3,3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（3,3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。（ii）由X9.97,s0.212，得的估计值为？9.97,的估计值为？0.212，由样本数据可以看出有个零件的尺寸在（？3?,?3?）之外，因此需对当天的生产过程逬行检查。剔除（？3?3?）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1（169.979.22）10.02,0此的估计值为10.02.1516

15、X2160.2122169.9721591.134it剔除（？3?3?）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为122由（4）及已知可得0.008”2。丛p(。),B(以C(2由（4）及已知可得0.008(1591.1349.221510.02)因此的估计值为因此的估计值为0.0080.09.22（12分）解：）由于P3,巳两点矢于y轴对称，故由题设知C经过巳，巳两点.b2a4b；?C不经过点P，所以点戸2在。上112TOC o 1-5 h z田阡b12解得I_；因此故C的方程为一y21.1_3_4a4b2J4tV4t)，(t,22（2）J4tV4t)，(t,22如果I与x轴垂直，设I:xt，

16、由题设知t0,且11|2可得代B的坐标分別为（t,则kik2.41224F2t22t1，得t2,不符合题设从而可设I:ykxm（m1）将y(4k21)x28kmx2kxm代入y21得44m240.由题设可知16（4k2m21)0设AX,yjB%,y2），则刈8km4m244k2d池4k21kik2yi1y2Xi.qm1kX2m12kxiX2(m1)(XX2)xX2X)X2由题设kik2故(2k1)xiX2(m1)(x-iX2)0,即（2k8km（m1）示厂解得k当且仅当m1时,0，于是I:y所以I过定点（2,1）(12分)解:(1)f(x)的定义域为(,).f(x)2ae2x(a2)ex1(a

17、ex1)(2ex1)0所以f(x)在C)单调递减(ii)若aO，则由f(x)0的xIna.当x(,Ina)时，f(x)0；当x(Ina,)时，f(x)0所以f(X)在(,Ina)单调递减，在(Ina,)单调递增(2)(i)若a0，由知，f(x)至多有一个零点(ii)若a0，由(1)知，当xlna时，f(x)取得最小值，最小值为f(Ina)1Ina当a1时，由于f(Ina)0，故f(x)只有一个零点；当a(时,由于1aInao,即f(lna)O,故f(x)没有零点；当a(0时，1丄Iana0.即f(Ina)0乂又f(2)ae(a2)e2222解：门)曲线C的普通方程为一y21,22e220，故f(x)tE(Jna)有一个零点。设正整数no满足noIn(-a1).则f(n)en0(aen0a2)nen0n2n0n.0.由于ln(991)Ina，因此f(xIn-)在4)有一个零点综上，a的取值范围为(0,1).当a1时，直线I的普通方程为x4y30 x4y30,由X2解得y2iy921x2524y25从而C与I的交点坐标为(3,0),(2124)25(2)直