矩阵函数及其应用

1、第十六讲矩阵函数一、矩阵函数的定义与性质以矩阵为自变量的”函数“如：e*,sinA,cosAb如何定义?1%1我们知道,*+z+右驾和才in(z)二刀n=0(-1?(2n+1)!cosin(z)二刀n=0(-1?(2n+1)!cos(z)=y(-Dn(2n)!Z均为整个复平面上收敛的级数（?,收敛半径），故对任何的方阵An=0(-1)n(2n+1)!An=0(-1)n(2n+1)!A2n+1n=0(-1)n(2n)!均收敛，那么我们将他们收敛到的矩阵分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、sinA=刀n=0(-1)n(2n+1)sinA=刀n=0(-1)n(2n+1)cos矩阵余弦函数，记作/A2

2、*1我们知道,11-z我们知道,11-z=1+z+z2+=znn=077加(l+z)二z-尹务-=(-1)n+ln=1在lzll时收敛(?,收敛半径)，于是其对应的矩阵级数，当p(A)l9有收敛,n=0n=1“那么将他们收敛到的矩阵记作(I-A)9ln(I+A)由上面的，给出矩阵函数的定义：设级数士务*的收敛半径为R,且收敛到f(z);如果对于矩阵AW严的谱半径k=0P(A)R9则称f(A)=akAk为A的矩阵函数。k=0一般来说e一般来说eAeB,eBeA,三者互不相等.例如2,性质e,A二cosA+isinAcosA(elA+e,A)2sinA=(eiA-e_iA)2icos(A)=cos

3、Asin(-A)二一sinA111-1,B=l0000,则A二11R?R?R400.Y-I空=I)A二11R?R?R400Jx(t)=6x(1J对该解求导，可以验证3-=Ae%=Ax(t)且t=o时，x(t)=ec=Ic=c=x(0)表明x(t)确为方程的解，积分常数亦正确咚二X2例：求解微分方程组七2,初始条件为X1=咚_二x2（0）Jr2古1解:A=|1|,须计算f（A）=eAt-f（入）二e-10X一1。求出A的特征多项式，臥入）二二（入2+1）二（入i）（入+i）,阶数1X为22。定义待定系数的最小多项式m（入）二c+Mf(入J二d七二cost+isint3。解方程二m(入)二Co+i

4、c3。解方程f(X2)=e汽二cost-isint二久一心4、zs4、zscostf(A)=m(A)=c0l+o1A=00sirrt+cost-sirrt0cost-sintcost-sintsintcostx(t)=etAx(O)二costsintGr(cost+rsirrtx/t)_sintcost4r2cost一r)sintix2（t）2,如果A与t相关，即变系数矩阵方程|=A（t）x（t）（解法不要求）二、一阶线性非齐次常系数常微分方程组宓|dtldx2dt二(t)+a12x2(t)+a宓|dtldx2dt=ax/t)+82(1)+-+a2nxn(t)+f2(t)冷=an1x,(t)+

5、an2x2(t)+a,(t)+弋(t)令X(t)=(t),X2(t)，,xjt)Tf(t)=【tot)芯cot(t)rQ11%2ain821a22a2n方程组化为非齐次矩阵方程=Ax+f或者x(t)=Ax+fdt釆用常数变易法求解之；齐次方程的解为etAc,可设非齐次方程的解为6UC(t),代入方程，得:=A(etA)c(t)+etA=Ax(etA=Axt)+f(t)dtdtdt/dt/=ef(t)dt所以，c(t)=fe_sAf(s)ds+c(t0)由积分性质可验证c(t)是解。加上初始条件X(to)=xo,有200-1A=111e2t，兀(0)=11-1300例:x(t)=eA(t-to)Xo+feA(t-s)f(s)dsJtoRemark:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分