第13讲 圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究-【专题突破】2022-2023学年九年级数学 （解析版）

1、第13讲 圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究类型一 定义法【知识点睛】定义法若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）此类问题常出现环境折叠求最值时常结合原理圆与圆外定点最值的求解方法如图：点A为圆外定点，点P为圆周上一点，OPOPHQ 圆上点到圆外定直线最值的求解方法 如图：直线l为圆外定直线，点P、点Q为圆周上一点，则PH即为圆O上的点到直线l的最小值;QH为最大值 l【类题讲练】1如图，ABC中，ABAC5，BC2，以AC为边在ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD 【分析】根据已知条件得到ABACAD，于是得到点B，C，D在以A为圆心

2、，AB为半径的圆上，根据圆周角定理得到CBDCAD30，BDCBAC，过A作AEBC于E，过C作CFBD于F，得到CAEBCD，根据全等三角形的性质得到DFAE，CFCE1，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：ABAC5，ACD是等边三角形，ACAD5，ABACAD，点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，CAD60，CBDCAD30，BDCBAC，过A作AEBC于E，过C作CFBD于F，CAE，AECCFD90，CAEBCD，在ACE与DCF中，AECDFC，DFAE，CFCE1，BF，DF2，BDBF+DF+2解法二：如图，以BC为边向下作等边三角形，利用全等三角形的性质证明AEBD，

3、求出AE即可解决问题故答案为：+22如图，在边长为3的菱形ABCD中，A60，M是AD边上的一点，且AMAD，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC则AC长度的最小值是 【分析】过点M作MHCD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A在线段MC上时，AC长度有最小值【解答】解：过点M作MHCD交CD延长线于点H，连接CM，AMAD，ADCD3AM1，MD2CDAB，HDMA60HDMD1，HMHDCH4MC将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，AMAM1，点A在以M为圆心，AM为半径的圆上，当点A在线段MC上时，AC长度有最

4、小值AC长度的最小值MCMA1故答案为：13如图，已知ABACAD，CBD2BDC，BAC44，则CAD的度数为（）A68B88C90D112【分析】由ABACAD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得CAD2CBD，BAC2BDC，继而可得CAD2BAC【解答】解：ABACAD，B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，CAD2CBD，BAC2BDC，CBD2BDC，BAC44，CAD2BAC88故选：B4如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 【分析】先判断出点C的运动

5、轨迹是在半径为2的B上，再取ODOA4，连接OD，则OM是ACD的中位线，OM，进而可得OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，计算即可求出结果【解答】解：C为坐标平面内一点，BC2，点C的运动轨迹是在半径为2的B上，如图，取ODOA4，连接OD，点M为线段AC的中点，OM是ACD的中位线，OM，OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，此时在RtOBD中，BD4，CD2+4，OM的最大值是1+2故答案为：1+25如图，ABC中，ACBC4，ACB90，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F（1）小智同学通过思考推得当点E在A

6、B上方时，AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：ACBCEC，A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上AEB ACB （2）若BE2，求CF的长（3）线段AE最大值为 ；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 【分析】（1）根据ACBCEC，得A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，根据圆周角定理可知AEB的度数；（2）由EFG是等腰三角形可求出FG1，利用勾股定理求出CG的长，从而得出答案；（3）根据直径是圆中最大的弦知当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC8，取AB的中点O，连接OF，可证AFB90，则点F在以AB为直径的圆O上，当OF经过点M时，M

7、F最短，此时OFBC，从而解决问题【解答】解：（1）ACBCEC，A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，AEB，故答案为：，45；（2）由折叠可知，CD垂直平分BE，BECD，设CD、BE交于点G，则GEBG，FGE90，AEB45，FGGE1，在RtCEG中，由勾股定理得，CG，CFCGFG1；（3）A，B，E，三点在以C为圆心，以AC为半径的圆上，当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC8，在RtABC中，ACBC4，ACB90，AB4，BMCM，ABCBAC45，连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图，CD垂直平分BE，AEB45，BFEF，EBFAEB45，EFB90，A

8、FB90，OF，点F在以点O为圆心，AB为直径的圆上，ACB90，点C在O上，当OF经过点M时，MF最短，此时OFBC，OMBMtanABC212，MFOFOM22，即线段MF的最小值为22，故答案为：8；22类型二 定边对直角【知识点睛】模型原理：直径所对的圆周角是直角故：有公共斜边的两个直角三角形必满足四点共圆思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）故：有公共斜边的两个直角三角形必满足四点共圆用此方法解题的一般步骤：确定动点所在角=直角用此方法解题的一般步骤：确定动点所在角=直角确定“定直角”所对的边为定边确定该动点的运动轨迹为以“定边

9、”为直径的圆弧求最值时常结合原理同类型一（略）【类题讲练】1如图，在RtABC中，ACB90，BC3，AB5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使DACDCE，连接BE，则BE的最小值为（）A23BC2D【分析】取AC的中点O，连接OE，OB，由DACDCE，得出AEC90，可得CEAD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，即可求出BE【解答】解：RtABC中，ACB90，BC3，AB5，AC4，如图，取AC的中点O，连接OE，OB，DACDCE，DCE+ACE90，DAC+ACE90，AEC90，CEAD，可得E点在以O

10、为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，可得此时OEOCOA2，在RtOCB中，OB，故BE的最小值为：OBOE2，故选：C2如图，ABC为O的内接三角形，BC2，A60，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为 【分析】如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME作OHBC于H首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动，求出点D与C重合时EMB的度数，利用弧长公式计算即可【解答】解：如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME作OHBC于HODBE，OEB90，点E在以OB为直径的圆上运动，当点D与C重合时，B

11、OC2A120，BOE60，EMB2BOE120，BC2，OHBC，BHCH，BOHCOH60，OB2，点E的运动轨迹的长故答案为3如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BGCE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为 【分析】作DC关于AB的对称点DC，以BC中的O为圆心作半圆O，连DO分别交AB及半圆O于P、G将PD+PG转化为DG找到最小值【解答】解：如图：取点D关于直线AB的对称点D以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆连接OD交AB于点P，交半圆O于点G，连BG连CG并延长交AB于点E由以上作图可知，BGEC于GPD+PGPD+PGD

12、G由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小DC4，OC6DODG2PD+PG的最小值为2故答案为：24如图，直线l1l2l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若ABC90，BD4，且，则m+n的最大值为 【分析】延长AB交l3于E，根据已知条件得到，求得CE10，CBE90，设m2x，n3x，构造以CE为直径的半圆，则点B在其弧上运动，易知BGBG5，得到3x5，由m+n5x，于是得到结论【解答】解：延长AB交l3于E，易知，BD4，CE10，ABC90，CBE90，设m

13、2x，n3x，构造以CE为直径的半圆，则点B在其弧上运动，易知BGBG5，即3x5，x，m+n5x，m+n的最大值为故答案为：5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BFFG，则CG的最小值为 【分析】如图1，连接AG，证明AFFGEF，则AGEAGD90，根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O，G，C三点共线时，CG的值最小，由此可解答【解答】解：如图1，连接AG，四边形ABCD是矩形，ABCBCDADC90，DCAB3，F是AE的中点，BFAEAFEF，BFFG，AFFGEF，AGEAGD90，点G在以AD

14、为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，当O，G，C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，ODOG2，OC，CG的最小值为2故答案为：26如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DECP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（）A3B4CD【分析】先判断出点E的运动轨迹：以CD中点F为圆心，半径FDFCFE5的圆弧上，连接AF，交M于点E，此时AE最小，再过点F作FMx轴于点M，过点E作ENx轴于点N，通过相似即可求出点E的纵坐标【解答】解：DECP，DEC90，取CD中点F（3，4），则点E

15、的运动轨迹在以点F为圆心，半径FDFCFE5的圆弧上，连接AF，交M于点E，此时AE最小，过点F作FMx轴于点M，过点E作ENx轴于点N，则AM11，FM4，FMAENA90，在RtAFM中，AF，FMAENA90，FMEN，即，EN4故选：B7如图，ABC中，C90，BAC30，AB2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）ABCD【分析】由AQBQ，得点Q在以AB为直径的O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可【解答】解：AQBQ，点Q在以AB为直径的O上运动，运动路径为，连接OC，ACB90，OAOB，COOA1，COB2C

16、AB60，的长为，故选：D8（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D是ABC外一点，且ADAC，求BDC的度数若以点A为圆心，AB为半径作辅助A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC （2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC25，求BAC的数（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，

17、则线段DH长度的最小值是 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解（2）由A、B、C、D共圆，得出BDCBAC，（3）根据正方形的性质可得ABADCD，BADCDA，ADGCDG，然后利用“边角边”证明ABE和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得12，利用“SAS”证明ADG和CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得23，从而得到13，然后求出AHB90，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OHAB1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小【解答】解：（1）如图1，ABAC，ADA

18、C，以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，BDCBAC45，当点D在BC的下方时，BDC135，故答案是：45或135；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、COBADBCD90，点A、B、C、D共圆，BDCBAC，BDC25，BAC25，（3）如图3，在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），12，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），23，13，BAH+3BAD90，1+BAH90，AHB1809090，取AB的中点O，连接OH、OD，则OHAOAB1，在RtAOD

19、中，OD，根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值ODOH1（解法二：可以理解为点H是在RtAHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：1类型三 定边对定角【知识点睛】模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）解决办法：当P是那个定角时，此类问题要求点P 的运动路径长，则P一定为特殊角。下以30，45，60，120为例，说明动点轨迹圆的确定方法：若P=30，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若

20、P=45，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心若P=60，以AB为底，同侧构造顶角为120的等腰三角形AOB，O即为圆心若P=120，以AB为底，异侧构造顶角为120的等腰三角形AOB，O即为圆心另：若P=135，以AB为斜边，异侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心若P=150，以AB为边，异侧构造等边三角形AOB，O即为圆心求最值时常结合原理同类型一（略）【类题训练】1如图，已知等边ABC的边长为2，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AECD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值是 【分析】易证ABDBCE，可得BADCBE，根据APEABE+BAD，APEBPD，

21、ABE+CBE60，即可求得APEABC，推出APB120，推出点P的运动轨迹是，AOB120，连接CO，求出OC，OA，再利用三角形的三边关系即可解决问题【解答】解：CDAE，BDCE，在ABD和BCE中，ABDBCE（SAS），故BADCBE，APEABE+BAD，APEBPD，ABE+CBE60，BPDAPEABC60，APB120，点P的运动轨迹是，AOB120，连接CO，OAOB，CACB，OCOC，AOCBOC（SSS），OACOBC，ACOBCO30，AOB+ACB180，OAC+OBC180，OACOBC90，4OP2，PC的最小值为OCr42故答案为：22如图，在矩形ABCD

22、中，AD5，AB3，点E在AB上，在矩形内找一点P，使得BPE60，则线段PD的最小值为（）A22BC4D2【分析】如图，在BE的上方，作OEB，使得OEOB，EOB120，连接OD，过点O作OQBE于Q，OJAD于J证明点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的O，推出当点P落在线段OD上时，DP的值最小，想办法求出OD，OP，可得结论【解答】解：如图，在BE的上方，作OEB，使得OEOB，EOB120，连接OD，过点O作OQBE于Q，OJAD于JBPEEOB，点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的O，当点P落在线段OD上时，DP的值最小，四边形ABCD是矩形，A90，AB3，AE：EB1：

23、2，BE2，OEOB，EOB120，OQEB，EQBQ，EOQBOQ60，OQ1，OE2，OJAD，OQAB，AAJOAQO90，四边形AQOJ是矩形，AJOQ1，JOAQ2，AD5，DJADAJ4，OD2，PD的最小值ODOP22，故选：A3如图，ABC，AC3，BC4，ACB60，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，O为APC的外接圆，直线BP交O于E点，则AE的最小值为（）AB74CD1【分析】如图，连接CE首先证明BEC120，由此推出点E在以O为圆心，OB为半径的上运动，连接OA交于E，此时AE的值最小【解答】解：如图，连接CEAPBC，PACACB60，CEPCAP60，B

24、EC120，点E在以O为圆心，OB为半径的上运动，连接OA交于E，此时AE的值最小此时O与O交点为EBEC120所对圆周角为60，BOC260120，BOC是等腰三角形，BC4，OBOC4，ACB60，BCO30，ACO90OA5，AEOAOE541故选：D4如图，O的直径AB5，弦AC3，点D是劣弧BC上的动点，CEDC交AD于点E，则OE的最小值是（）ABC2D1【分析】如图，作AEC的外接圆O，延长BC交O于点R，连接AR，则AR是直径，连接OO，EO证明AEC是定值，推出点E的运动轨迹是，证明BAR90，求出OE，OO可得答案【解答】解：如图，作AEC的外接圆O，延长BC交O于点R，连

25、接AR，则AR是直径，连接OO，EOECCD，ECD90，AB是直径，ACB90，BC4，D+DEC90，B+BAC90，BD，DECBAC定值，AEC是定值，点E的运动轨迹是，R+AEC180，AEC+DEC180，RDECBAC，R+B90，BAR90，BB，ACBBAR90，BCABAR，BR，CRBRBC，AR，EOAR，AOOB，AOOR，OOBR，OEOOEO，OE的最小值为故选：A5问题提出（1）如图，AC为O的直径，点P在弧ACB上（不与A、B重合），连接AP、BP，则APB ACB（填“”“”或“”）问题探究（2）如图，在等边ABC中，M、N为边AB和AC上的两动点，且BMA

26、N，连接BN、CM，BN与CM相交于P，求BPC度数问题解决（3）如图，在矩形ABCD中，AB8，BC6，M、N分别为边AD和CD上的两个动点，且AM：DN4：3，连接BM、AN，BM与AN相交于点P，连接CP，求四边形ABCP面积的最大值【分析】（1）由圆周角定理即可得出结论；（2）证ABNBCM（SAS），得出ABNBCM，求出NPCCBM60，即可得出答案；（3）证ABMDAN，得出AMBDNA，证APB90，连接AC，由勾股定理求出AC10，由S四边形ABCPSABC+SPAC，SABC24，得四边形ABCP面积的最大，则点P到AC的距离最大，由圆周角定理得出点P在以AB为直径的圆弧上

27、，设AB的中点为O，则OPAC时，点P到AC的距离最大，证OAHCAB，得出，则HO，得出PH，即可得出答案【解答】解：（1）AC为O的直径，点P在弧ACB上（不与A、B重合），A、B、C、P四点都在O上，APBACB，故答案为：；（2）ABC是等边三角形，ABBC，ACBM60，在ABN和BCM中，ABNBCM（SAS），ABNBCM，NPCPBC+PCBPBC+ABNCBM60，BPC180NPC18060120；（3）四边形ABCD是矩形，BCAD6，DBAMABC90，AM：DN4：3，DBAM，ABMDAN，AMBDNA，DMP+AMB180，DMP+DNA180，MPN360（DM

28、P+DNA）D3601809090，APB90，连接AC，如图所示：在RtABC中，由勾股定理得：AC10，S四边形ABCPSABC+SPAC，SABCABBC8624，四边形ABCP面积的最大，则点P到AC的距离最大，APB90，点P在以AB为直径的圆弧上，设AB的中点为O，OAAB4，则OPAC时，点P到AC的距离最大，设OP交AC于H，OHACBA90，OAHCAB，OAHCAB，HO，PHOPHOOAHO4，S四边形ABCPSABC+SPAC24+ACPH24+1024+832，四边形ABCP面积的最大值为326如图，AB是O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，ACB的

29、角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是 【分析】连接EB，设OAr，作等腰直角三角形ADB，ADDB，ADB90，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意MON2GDF，设GDF，则MON2，利用弧长公式计算即可解决问题【解答】解：如图，连接EB，设OAr，AB是O的直径，ACB90，ACB的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点EE是ACB的内心，AEB135，作等腰直角三角形ADB，ADDB，ADB90，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意MON

30、2GDF，设GDF，则MON2，弧MN的长度：弧GF的长度故答案为：7如图，AB为O的直径，且AO4，点C在半圆上，OCAB，垂足为点O，P为半圆上任意一点过P点作PEOC于点E，设OPE的内心为M，连接OM（1）求OMP的度数；（2）随着点P在半圆上位置的改变，CMO的大小是否改变，说明理由；（3）当点P在半圆上从点B运动到点A时，直接写出内心M所经过的路径长【分析】（1）由内心的定义可知MOPMOCEOP，MPOMPEEPO，求出MOP与MPO的和为45，利用三角形的内角和定理即可求出OMP的度数；（2）连接CM，证COMPOM，即得出CMOOMP135，可知CMO的大小不改变，为135；

31、（3）连接AC，BC，证明ACB，ACO与BCO为分别为等腰直角三角形，求出CQ2，CQO90，CNO90，由题意分析得出当点P在半径OC的左侧和右侧的半圆上时，点M的轨迹分别在以AC，BC为直径的圆弧上，根据弧长公式即可求出M所经过的路径长【解答】解：（1）OCAB，OEP90，EOP+EPO90，M为OPE的内心，MOPMOCEOP，MPOMPEEPO，MOP+MPO（EOP+EPO）45，OMP180（MOP+MPO）135；（2）CMO的大小不改变，理由如下：如图2，连接CM，在COM和POM中，COMPOM（SAS），CMOOMP135，CMO的大小不改变，为135；（3）如图3，连

32、接AC，BC，AB为直径，COAB，ACBC，ACB为等腰直角三角形，ACO与BCO为等腰直角三角形，ACAO4，CQAC2，分别取AC，BC的中点Q，N，连接OQ，ON，则CQO90，CNO90，当点P在半径OC的左侧和右侧的半圆上时，点M的轨迹分别在以AC，BC为直径的圆弧上，所对圆心角为90，2，内心M所经过的路径长为8（1）发现：如图1，在平面内，已知A的半径为r，B为A外一点，且ABa，P为A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为 ，最小值为 ；（用含a，r的代数式表示）（2）应用：如图2，在矩形ABCD中，AB6，BC4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将AEF翻折得到PEF，连接PB，则PB的最小值为 ；如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰RtAPC和等腰RtBPD，连接BC、AD若AP3，AB7，求AD的最大值；（