等比数列的前n项和 课件 高中数学新湘教版选择性必修第一册（2022-2023学年）

1、第一章 数列1.3.3 等比数列的前n项和教学目标 掌握等比数列前n项和的推导（重点、难点）01 理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系（重点）02等比数列的前n项和学科素养 等比数列前n项和的推导逻辑推理 等比数列前n项和的简单应用数学运算 等比数列前n项和公式数学建模等比数列的前n项和等比数列： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(q 0)等比数列的通项公式： 一般地，如果等比数列an的首项为a1，公比为q ，那么该等比数列的通项公式为：an=a1qn1 等比数列an的单调性：

2、 当 q1 时， 若a10，an是递增数列；若a10，an是递减数列 当0q0，an是递减数列；若a10，an是递增数列 当 q =1 时，an是非零的常数列 当 q 0 时，an是摆动数列知识回顾相传，古印度的舍罕王准备奖赏国际象棋的发明者达依尔宰相达依尔对国王说：“我有一个简单的愿望，请您在棋盘的第一个方格放一粒小麦，在第二个方格放两粒，第三个方格放四粒，以此类推，每一方格的麦粒数都是前一方格麦粒数的两倍这就是我想要的”国王觉得要求不高，就慷慨地答应了宰相的要求，国王真的能兑现他对宰相许下的诺言吗?等比数列的前n项和新知探索 我们来计算一下所需麦粒数 每一个方格内的麦粒数依次为1，2，22

3、，23，263，其总和记为S64，则 S64=122223262263 式右边每一项的 2 倍是它的后一项，因此 2S64 =2222324263264 由可得 S64 = 2641 这是一个二十位数，将这个数字的小麦折算成质量（假设千粒麦子重 40 g），超过7 000 亿吨，据统计，2017 年全世界小麦总产量约为7.5亿吨，由此看来，国王根本不可能兑现他的诺言等比数列的前n项和仿照上面的计算方法，我们来寻求等比数列前n 项和的计算公式 一般地，设公比为q的等比数列an的前n项和是 Sn=a1a2a3 an 将式两端同时乘以公比q，由an=a1qn1 可得 qSn= a2a3a4 an a

4、n+1 由得， (1q) Sn= a1 an+1 = a1 (1qn) 所以当q1时， 由此得到等比数列an的前n项和的公式 又当q = 1时，Sn= na1等比数列的前n项和 这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数（或末项）唯一确定等比数列的前项和n公式： 如果等比数列an的首项a1，公比为q ，那么该等比数列的前n项和公式为： 等比数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，q ，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二（注意方程思想的应用）等比数列的前n项和解： 将该等比数列记作an，公比为q，则 因此例7 求等比数列 的各项的和等比数列的前n项和例8 某制糖厂第一年制糖5万

5、吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万吨（结果保留到个位）?解： 设制糖厂第n年的产量为an万吨由题意，an是一个等比数列， 其中a1= 5，公比q=1+10%=1.1 答： 约5年内可使总产量达到30万吨 等比数列的前n项和解： 因为S3，S9，S6成等差数列，所以 S3S6=2S9，若q = 1，则S3 = 3a1，S6 = 6a1，S9 = 9a1，因为a1 0，所以S3S62S9，与题设矛盾，故q 1例9 已知等比数列an的前 n 项和为Sn，且 S3，S9，S6成等差数列， 试求an的公比等比数列的前n项和例10 如图1.3-4，一个小

6、球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原 来高度的 （1）小球第 10 次落地时，经过的路程是多少米?（2）小球第几次落地时，经过的路程为 m?解： （1）设小球从第n1次落地到第n次落地时经过的路程为an m，则而且，当n 2 时，我们可以得到递推关系等比数列的前n项和例10 如图1.3-4，一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原 来高度的 （1）小球第 10 次落地时，经过的路程是多少米?这是一个首项为 ，公比为 的等比数列而且，当n 2 时，我们可以得到递推关系所以小球第 10 次落地时，经过的路程为等比数列的前n项和例10 如图1.3-4，一个小球从10 m高处自由

7、落下，每次着地后又弹回到原 来高度的 （1）小球第 10 次落地时，经过的路程是多少米?（2）小球第几次落地时，经过的路程为 m?解：（2）设小球第n次落地时经过的路程为 m，则所以当小球第4次落地时经过的路程为 m等比数列的前n项和已知等比数列an的前n项和为Sn（1）求证：S2，S4S2，S6S4成等比数列；（2）求证：S3，S6S3，S9S6 成等比数列；（3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明证明：（1）记数列an的公比为求q，因为S2 = a1a2，S4S2 = a3a4，S6S4 = a5a6，所以S4S2 = q2S2 ， S6S4 = q2(S4S2) ，所以S

8、2，S4S2，S6S4是以为q2公比的等比数列拓展提升等比数列的前n项和证明：（2）记数列an的公比为求q，因为S3 = a1a2a3，S6S3 = a4a5a6，S9S6 = a7a8a9，所以 S6S3 = q3S3 ， S9S6 = q3(S6S3)，所以S3，S6S3，S9S6是以q3为公比的等比数列已知等比数列an的前n项和为Sn（1）求证：S2，S4S2，S6S4成等比数列；（2）求证：S3，S6S3，S9S6 成等比数列；（3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明等比数列的前n项和已知等比数列an的前n项和为Sn，（3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以

9、证明猜想：Sm，S2mSm，S3mS2m成等比数列证明：(3)因为Sm = a1a2am， S2mSm = am+1 am+2a2m， S3mS2m = a2m+1 a2m+2a3m，所以 S2mSm = qmSm ， S3mS2m = qm(S2mSm)，所以 Sm，S2mSm，S3mS2m 成等比数列注：Sm=0时，结论不成立例如，数列： 2，2，2，2，2，2，此时 S2=0，S4S2=0，S6S4=0，不能构成等比等比数列的前n项和变式 若在等比数列an中，有a1a4a7=4，a3a6a9=16，则a2a5a8= 解：记等比数列an的公比为q， 因为a3a6a9 = q2(a1a4a7)， 即16=4q2 ， 所以q=2 ， 所以a2a5a8=q(a1a4a7) = 8 等比数列的前n项和等比数列的前项和n公式： 如果等比数列an的首项a1，