2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(四川卷)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学1.(2016四川,理1)设集合A=x|-2x2,Z为整数集,则集合AZ中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C由题意,AZ=-2,-1,0,1,2,故其中的元素个数为5,选C.2.(2016四川,理2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案A二项式(x+i)6展开的通项Tr+1=C6rx6-rir,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为C62x4i2=-15x43.(2016四川,理3)为了得到函数y=sin2x-3的图象,只需把

2、函数y=sin 2xA.向左平行移动3B.向右平行移动3C.向左平行移动6D.向右平行移动6答案D由题意,为得到函数y=sin2x-sin2x-6,只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平行移动64.(2016四川,理4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1,3,5,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=5.(2016四川,理5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比

3、上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130(1+12%)n200,1.12n200130,两边取常用对数得nlg 1.12lg200nlg2-lg1.3lg1n4,故选B.6.(2016四川,理6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出

4、了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为()A.9B.18C.20D.35答案B程序运行如下n=3,x=2v=1,i=20v=12+2=4,i=10v=42+1=9,i=00v=92+0=18,i=-10)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22答案C设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t0),Fp2则FP=FM=x-kOM=2t2当且仅当t=22时等号成立.(kOM)max=22,故选C9.(2016四川,理9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0 x1图象

5、上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与yA.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案A设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x11,0 x21,SPAB=12|yA-yB|xP|=2x10SPAB1,故选A.10.(2016四川,理10)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DADB=DBDC=DCDA=-2,动点P,M满足|AP|=1,PM=A.434B.494C.37+63答案B由已知易得ADC=ADB=BDC=120,|DA|=|DB|=|DC|=2.以D为原点,直线DA为x轴,过D的DA垂线为

6、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(2,0),B(-1,-3),C(-1,3).设P(x,y),由已知|AP|=1,得(x-2)2+y2=1,PM=MC,MBM=BM2=(x+1)2+(y+33)24,它表示圆(x-2)2+y2=1上点(|BM|2)max=1432+11.(2016四川,理11)cos28-sin28=答案2解析由三角函数二倍角公式得,cos28-sin28=cos12.(2016四川,理12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案3解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正

7、),(反反),所以试验一次成功的概率为1-12所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,其中P(X=0)=14P(X=1)=C2P(X=2)=34所以在2次试验中成功次数X的均值是EX=0116+138+213.(2016四川,理13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案3解析由三棱锥的正视图知,三棱锥的高为1,底面边长分别为23,2,2,所以底面三角形的高为22-(所以,三棱锥的体积为V=131223114.(2016四川,理14)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 x0.85,而前5组的频率之和为0.04+0.

8、08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以2.5x0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+解(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2

9、.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率e由e2=1+q2=53因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以1+q2(k-1)qk-1于是e1+e2+en1+q+qn-1=qn-故e1+e2+en4n20.(2016四川,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.解(1)由已知,a=2b

10、,则椭圆E的方程为x22b由方程组x22b2+y2b2=1,y=-x+3,得方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此时方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为x26+y23=(2)由已知可设直线l的方程为y=12x+m(m由方程组y=1所以P点坐标为2-2m3,1+2m设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组x可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2m2),由0,解得-322m1x-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数)解(1)f(x)=2ax-1x=2a当a0时,f(x)0时,由f(x)=0,有x=12此时,当x0,12a时,f(x)0,f(2)令g(x)=1x-1ex-1,s(x则s(x)=ex-1-1.而当x1时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立