2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)文

1、大纲全国文科一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,文1)设全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,则UA=().A.1,2B.3,4,5C.1,2,3,4,5D.答案:B解析:由题意得UA=3,4,5.故选B.2.(2013大纲全国,文2)已知是第二象限角,sin =513,则cos =()A.-1213B.-513C.513答案:A解析:是第二象限角,cos =-1-sin2=-1-3.(2013大纲全国,文3)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则=().A.-4B.-3C.

2、-2D.-1答案:B解析:(m+n)(m-n),(m+n)(m-n)=0.|m|2-|n|2=0,即(+1)2+1-(+2)2+4=0.=-3.故选B.4.(2013大纲全国,文4)不等式|x2-2|2的解集是().A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-1,0)(0,1)D.(-2,0)(0,2)答案:D解析:|x2-2|2-2x2-220 x240|x|2-2x0或0 x0)的反函数f-1(x)=(A.12x-1(x0)B.12C.2x-1(xR)D.2x-1(x0)答案:A解析:由y=f(x)=log21+1x1+1x=2yx0,y0.f-1(x)=12x-1(x0)7.(2013大纲全

3、国,文7)已知数列an满足3an+1+an=0,a2=-43,则an的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.19(1-310C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:3an+1+an=0an+1=-13anan是以-13为公比的等比数列又a2=-43,a1S10=41-13101+138.(2013大纲全国,文8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为().A.x22+y2=1B.C.x24+y2答案:C解析:如图,|AF2|=12|AB|=32,|F1F2由椭圆定义得|AF1|=2

4、a-32.在RtAF1F2中,|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2=322+22由得a=2,b2=a2-c2=3.椭圆C的方程为x24+y29.(2013大纲全国,文9)若函数y=sin(x+)(0)的部分图像如图,则=().A.5B.4C.3D.2答案:B解析:由题中图象可知x0+4-x0=T2.T=2.2=2.10.(2013大纲全国,文10)已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=().A.9B.6C.-9D.-6答案:D解析:由题意知y|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8,则a=-6.故选D.11.(2013大纲全国,文11)已

5、知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于().A.23B.3C.23D.答案:A解析:如图,设AA1=2AB=2,AC交BD于点O,连结OC1,过C作CHOC1于点H,连结DH.BDAC,BDAA1,BD平面ACC1A1.CH平面ACC1A1,CHBD.CH平面C1BD.CDH为CD与平面BDC1所成的角.OC1=CC由等面积法得OC1CH=OCCC1,32CH=222.CH=sinCDH=CHCD=2312.(2013大纲全国,文12)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MAMB=0

6、,则k=(A.12B.22C.2答案:D解析:设AB:y=k(x-2),代入y2=8x得:k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4kx1x2=4.(*)MAMB=0,(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0,即(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0.x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.y1=k(x1-2),y2=k(x2y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2x1x2-2(x1+x2)+4.由(*)及得k=2.故选D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国

7、,文13)设f(x)是以2为周期的函数,且当x1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)=.答案:-1解析:f(x)是以2为周期的函数,且x1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1.14.(2013大纲全国,文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)答案:60解析:分三步:第一步,一等奖有C61种可能的结果;第二步,二等奖有C52种可能的结果;第三步,三等奖有C33种可能的结果.故共有C15.(2013大纲全国,文15)若x,y满足约束条件x0,x+3y答案:0解析:z=-x+yy=x+

8、z,z表示直线y=x+z在y轴上的截距,截距越小,z就越小.画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示),当直线过点A(1,1)时,zmin=0.16.(2013大纲全国,文16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=32,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60,则球O的表面积等于答案:16解析:如图,设MN为公共弦,长度为R,E为MN中点,连结OE,EK,则OEMN,KEMN.OEK为圆O与圆K所在平面的二面角.OEK=60.又OMN为正三角形,OE=32OK=32,且OKKEOEsin 60=32.32RR=2.S=4R2=16.三、解答题:解答应写

9、出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,文17)(本小题满分10分)等差数列an中,a7=4,a19=2a9.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1nan,求数列bn的前n项和解:(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d.因为a所以a解得a1=1,d=12所以an的通项公式为an=n+12(2)因为bn=2n所以Sn=21-218.(2013大纲全国,文18)(本小题满分12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sin Asin C=3-14解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=a

10、c,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=a2+c因此B=120.(2)由(1)知A+C=60,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=12+2=32故A-C=30或A-C=-30,因此C=15或C=45.19.(2013大纲全国,文19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB和PAD都是边长为2的等边三角形.(1)证明:PBCD;(2)求点A到平面PCD的距离.(1)证明:取BC的中点E,连

11、结DE,则ABED为正方形.过P作PO平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OEBD,从而PBOE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OECD.因此PBCD.(2)解:取PD的中点F,连结OF,则OFPB.由(1)知,PBCD,故OFCD.又OD=12BD=2,OP=P故POD为等腰三角形,因此OFPD.又PDCD=D,所以OF平面PCD.因为AECD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而OF=

12、12PB=1所以A到平面PCD的距离为1.20.(2013大纲全国,文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.解:(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”.则A=A1A2.P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=14(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第2局乙参加

13、比赛时,结果为乙胜”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”.则B=B1B3+B1B2B3+B1P(B)=P(B1B3+B1B2B3+B1=P(B1B3)+P(B1B2B3)+P(B1=P(B1)P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)+P(B1)P(=1=5821.(2013大纲全国,文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(1)当a=-2时,讨论f(x)的单调性;(2)若x2,+)时,f(x)0,求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,f(x)=x3-32x2+3x+1,f(x)=3x2-62x+3.令f(x

14、)=0,得x1=2-1,x2=2+1.当x(-,2-1)时,f(x)0,f(x)在(-,2-1)是增函数;当x(2-1,2+1)时,f(x)0,f(x)在(2+1,+)是增函数.(2)由f(2)0得a-54当a-54,x(2,+)时f(x)=3(x2+2ax+1)3x2-52x+1=3x所以f(x)在(2,+)是增函数,于是当x2,+)时,f(x)f(2)0.综上,a的取值范围是-522.(2013大纲全国,文22)(本小题满分12分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.(1)解:由题设知ca=3,即a2+b2a2=9所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,并求得x=a2由题设知,2a2+12=所以a=1,b=22.(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|22,代入并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1-1,x21,x1+x2