考研数学高等数学复习讲义详细版

1、文档编码 : CA2Z5U6E7U8 HA9X5X7J2B9 ZK1G5O10J4V72022 年考研数学高等数学复习讲义 第一章 函数,极限,连续 函数 （甲）内容要点 一,函数的概念 1.函数的定义 设 D 是一个非空的实数集,假如有一个对应规划 f,对每一个 x D ,都能 对应惟一的一个实数 y,就这个对应规划 f 称为定义在 D 上的一个函数,记以 y=fx,称 x 为函数的自变量, y 为函数的因变量或函数值, D 称为函数的定义域, 并把实数集 Z y | y f x, x D称为函数的值域； 2.分段函数 假如自变量在定义域内不同的值, 函数不能用同一个表达式表示, 而要用两

2、上或两个以上的表达式来表示；这类函数称为分段函数； 例如 y f x x 1x1 是一个分段函数,它有两个分段点, x 1 和 x1,它们两侧的函数表达式不 同,因此争论函数 y=fx在分段点处的极限,连续,导数等问题时,必需分别先 争论左,右极限,左,右连续性和左,右导数；需要强调：分段函数一般不是初 等函数,不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理； 3.隐函数 形如 y=fx有函数称为显函数,由方程 F（x,y）=0 确定的 yyx称为隐函 数,有些隐函数可以化为显函数（不愿定是一个单值函数） ,而有些隐函数就不 能化为显函数； 4.反函数 假如 y=fx可以解出 x y 是一个函数（单值

3、）,就称它为 fx的反函数, 记以 x f 1 y ；有时也用 y f 1 x 表示； 二,基本初等函数 1.常值函数 2.幂函数 3.指数函数 y C（常数） y x （ 常数） y ax （a0,a1 常数） 1第 1 页,共 130 页4.对数函数 y ex （e,无理数） y log a x （a0,a1 常数） 常用对数 y log 10 x lg x 自然对数 y log e x ln x 5.三角函数 y sin x; y cos x; y tan x. y cot x; y secx; y cscx. 6.反三角函数 y arcsin x; y arc cos x; y arc

4、tanx; y arc cot x. 基本初等函数的概念, 性质及其图像特别重要,影响深远；例如以后常常会 1 1用 lim arctanx ； lim arctanx ； lim x x x 0 ex ； lim x 0 ex ； lim ln x 0 x 等等,就需要对 y arctanx , y ex , y ln x 的图像很清楚； 三,复合函数与初等函数 1.复合函数 设 y f u 定义域 U u g x 定义域 X,值域 U* *假如 U U,就 y f g x 是定义在 X 上的一个复合函数,其中 u 称为中 间变量； 2.初等函数 由基本初等函数经过有限次四就运算和复合所构成

5、的用一个分析表达式表 示的函数称为初等函数； 四,函数的几种性质 1.有界性：设函数 y=fx在 X 内有定义,如存在正数 M ,使 x X 都有 f x M ,就称 fx在 X 上是有界的； 2. 奇偶性：设区间 X 关于原点对称,如对 x X ,都有 f x f x , 就称 f x 在 X 上是奇函数；如对 x X ,都有 f x f x ,就称 f x 在 X 上 是偶函数；奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于 y 轴对称； 3. 单调性：设 f x 在 X 上有定义,如对任意 x1 X, x2 X, x1 x2 都有 2第 2 页,共 130 页f x1 f x2 f x1 f

6、x2 ,就称 f x 在 X 上是单调增加的 单调削减的 ； x2 都有 f x1 f x2 f x1f x2 ,就称 f x 如对任意 x1 X, x2 X, x1 在 X 上是单调不减 单调不增 ； （留意： 有些书上把这里单调增加称为严格单调增加； 把这里单调不减称为 单调增加；） 4. 周期性： 设 f x 在 X 上有定义, 假如存在常数 T 0 ,使得任意 x X , x T X ,都有 f x T f x ,就称 f x 是周期函数,称 T 为 f x 的周期； 由此可见, 周期函数有无穷多个周期, 一般我们把其中的最小正周期称为周 期； （乙）典型例题 一,求函数的定义域 【例

7、 1】 求函数 f x ln ln ln x 100 x 2 的定义域； 解 lnlnln x 要有定义, x e , 100 x2 要有定义, x2 100,x 10 , 因此, f x 的定义域为 e,10【例 2】 求 y x x 15的定义域； 1 的定义域； 1aln x 解 x x 要有定义, x 1 和 x 015要有定义, x 5,x 4,x 6 , ln x 因此,定义域为 01,44,55,66, 【例 3】 设 f x 的定义域为 a,a a 0 ,求 f 2 x 解 要求 a2 x 1 a ,就 1 a2 x 1 a , 当 a 1 时, 1a 0 , 2 x 1 a

8、,就 x 当 0 a 1 时, 1 a 0 , 1ax 1a也即 1ax 1 a 或 1ax 1a3第 3 页,共 130 页1,0 x 2【例 4】 设 g x 2,2 x 4 求 f x g 2x g x 1 的定义域, 并求 f 3 . 2解 g x 的 定 义 域 为 0,4, 要 求 0 2x 4, 就 0 x 2 ； 要 求 0 x 1 4,就 1 x 5 ,于是 f x 的定义域为 1,2； 3 1又 f g 3 g 2132 2二,求函数的值域 【例 1】 求 y 3 e13 x 1 的值域； 解 我们先求出反函数,它的定义域就是原先函数的值域； ln y 113 , x 11

9、, y 0 ,且 y 1 3x 3ln3x 3 1 1 , 它的定义域 y ln 3 y 所以原先函数的值域为 0,1 1, ； 三,求复合函数有关表达式 1.已知 fx和 gx,求 fgx. 【例 1】 已知 f x x ,求 f 11. （ x 1） x 1f x 解 f x 1x 1 1, x 1 11x 1x 1f x 于是, f 11f x 1 x 11 x 1（ x 1, x 2 ） f x x 1 x2【例 2】 设 f x 1x ,求 f f f x f n x . x2 n 重复合 解 f2 xf f x 1f x 1x 11x2 2 x x 2, f 2 x 2 x 1 2

10、x4第 4 页,共 130 页如 fk x 1x ,就 fk 1 x f x x 11 kx x2 22 kx 2 1 fk x 1 kx 2x 1k 2 1x n, fn x 1x 依据数学归纳法可知,对正整数 2 nx 2.已知 gx和 fgx,求 fx. 【例 1】 设 f e x1 e2 x ex x ,求 fx. 解 令 e x 1 u , x ln u 1 f u u 1 2u 1 ln u 1 u 2 u ln u 1 于是 f x 2 x x l n x 1 x 【例 2】 已知 f e x xe ,且 f 1 0 ,求 fx. 解 令 ex t, x ln t ,因此 f e

11、 x f t ln t , t x f x f 1 1t x ln tdt 1 ln 2 2 t 1 1 ln 2 2x f 1 0 , f x 1 ln 2 x 2四,有关四种性质 【例 1】 设 F x f x ,就以下结论正确选项（ ）. （A）如 fx为奇函数,就 Fx为偶函数 （B）如 fx为偶函数,就 Fx为奇函数 （C）如 fx为周期函数,就 Fx为周期函数 （D）如 fx为单调函数,就 Fx为单调函数 3解 B 不成立,反例 f x x , F x 2 x 13C不成立,反例 f x cos x 1, F x sin x x D 不成立,反例 f x 2 x, F x x 2

12、在 , 内 A 成立； 5第 5 页,共 130 页证明 F x F 0 x 0f t d t为, 奇 函数, 数 , f x f ud u F x F 0 0 x f t dt F 0 0F 0 x f u du F x F x 为偶函数； 0【例 2】 求 I 15 x x x e x e ln x 2 x 1 dx. 1解 f1 x x eex 是 奇 函 f1 x ex ex f1 x, f2 x ln x 2 x 1 是奇函数, f x ln x 2 x 1 x ln x 2 1 x 2 x 1ln1 ln x 2 x 1 f2 x 因此 x e x x e ln x 2 x 1 是

13、奇函数； 于是 I 1x 6 dx 01 2 x 06dx 2； 17【例 3】 两个周期函数之和是否仍是周期函数？ 解 不愿定 （1） f x sin x 2cos x 3x f1 x sin 2x f2 x cos 3周期为 4 周期为 6 4 和 6 的最小公倍数12 为 f x 是以 12 为周期的函数 （2） f x sin 2 x cos x f1 x sin 2 x 周期为 f2 x c os x 周期为 2 和 2 没有最小公倍 数 x 不是周期函数 （3） f x sin 2 x 1 sin 2 x f1 x sin 2 x 周期为 6第 6 页,共 130 页f2 x 1

14、sin 2 x 周期为 虽然 f1 x , f2 x 不但都是周期函数,而且它们的周期有最小公倍数； 但是 f x f1 x f 2 x 1 ,却不是周期函数； （由于没有最小正周 期；） 【 例 4 】 设 f x , g x 是 恒 大 于 零 的 可 导 函 数 , 且 f x g x f xg x 0 ,就当 a x b 时,以下结论成立的是（ ） A f x gb f b g x B f xga f a g x C f xg x f b gb D f xg x f ag a 解 f x 2 1 f xg x f x g x 0 , f x 单调削减 g x g x g x 于是 xN

15、 时,就有 xn A . （2） lim x f x A 任给 0 ,存在正整数 X,当 xX 时,就有 f x A （3） lim x f x A . 任给 0 ,存在正整数 X,当 xX 时,就有 f x A （4） lim f x x A 任给 0 ,存在正整数 X,当|x|X 时,就有 f x A （5） lim x x0 f x A 7第 7 页,共 130 页任给 0 ,存在正数 ,当 0 x x0 时,就有 f x A ； （6） lim f x A （用 f x0 0 表示） x x0 任给 0 ,存在正数 ,当 0 x x0 时,就有 f x A （7） lim f x A

16、（用 f x0 0表示） x x0 任給 0 ,存在正数 ,当 x x0 0 时,就有 f x A ； 其中 f x0 0 称为 f x 在 x0 处右极限值, f x0 0称为 f x 在 x0 处左极 限值； 有时我们用 lim f x A 表示上述六类函数的极限,它具有的性质,上述六 类函数极限皆具有这种性质；有时我们把 xn f n ,即数列极限也看作这种抽 象的变量的极限的特例,以便于争论； 2. 极限的基本性质 定理 1（极限的惟一性）设 lim f x A, lim f x B ,則 A B ； 定理 2（极限的不等式性质）设 lim f x A, lim g x B 如 x 变

17、化确定以后,总有 f x g x ,就 A B 定理 3反之, A B ,就 x 变化确定以后,有 f x g x （注：当 g x 0, B 0 情形也称为极限的保号性） （极限的局部有界性） 设 lim f x A ,就当 x 变化确定以后, f x 有界的； 定理 4设 lim f x A, lim g x B 就 （1） lim f x g x A B （2） lim f x g x A B （3） lim f x g x A B （4） lim f x A B 0gx B 8第 8 页,共 130 页（5） lim f x g x B A A 0二,无穷小量 1. 无穷小量定义：如

18、lim f x 0 ,就称 f x 为无穷小量 （注：无穷小量与 x 的变化过程有关, lim 10 ,当 x 时 为无穷小量, 1x x x 而 x x0 或其他时, 1 不是无穷小量） x 2. 无穷大量定义：任給 M 0 ,当 x 变化确定以后,总有 f x M,就 称 f x 为无穷大量,记 lim f x ； 3. 无穷小量与无穷大量的关系：在 x 的同一个变化过程中,如 f x 为无 穷大量,就 1 为无穷小量,如 f x 为无穷小量且 f x 0 ,就 1 为无穷 f x f x 大量； 4. 无穷小量与极限的关系 o g x lim f x A f x A a x 其中 lim

19、 a x 05. 两个无穷小量的比较 设 lim f x 0,limg x 0 ,且 lim f x lg x 1 l0 ,称 f x 是比 g x 高阶的无穷小量,记以 f x 称 g x 是比 f x 低阶的无穷小量, 2 l 0 ,称 f x 与 g x 是同阶无穷小量； 3 l 1,称 f x 与 g x 是等价无穷小量,记以 f x g x 6. 常见的等价无穷小量 当 x 0 时 sin x x,tan x x,arcsin x x,arctanx x 1 cosx 1 x 2,e x1 x,ln1 x x,1 x a1 ax （ a 为实常数）； 27. 无穷小量的重要性质 有界

20、变量乘无穷小量仍是无穷小量； 三,求极限的方法 1. 利用极限的四就运算和幂指数运算法就 2. 两个准就 准就 1 单调有界数列极限确定存在； 9第 9 页,共 130 页（1）如 xn 1xn （ n 为正整数）,又 xn m（ n 为正整数） n o x （ 为实 就 lim nxn A 存在且 A m（2）如 xn 1xn （ n 为正整数）,又 xn m（ n 为正整数） 就 lim nxn A 存在A m且 准就 2 （夹逼定理）设 g x f x h x 如 lim g x A,limh x A,就 lim f x A 3. 两个重要公式 公式 1 lim x 0 sin x 1x

21、 公式 2 lim 1 n1ne； lim 1 u1ue； lim v 0 1 v 1 v enu4. 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 5. 用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻） 当 x 0 时 ex1 x 2 x n x on x 2. n. sin x x 3 x 5 x 1n2n 1 x 2 n 1 o x 3. 5. 2n 1 . cosx 12 x 4 x 1n2 n x ox2 n 2. 4. 2n . ln 1 x x 2 x 3 x 1n1n x n o x 23narctan x x 3 x 5 x 1n2n 1 x 2n 1 o x 352n 11 x 1x 2. 1

22、2 x 1n. n1n x 常数） 6. 洛必达法就 法就 1 0 型 0设（ 1） lim f x 0 , lim g x 0（2） x 变化过程中, f x , g x 皆存在 10 第 10 页,共 130 页（3） lim f x A （或 ） lim f x 不存 gx 就 lim f x A （或 ） gx 注：假如 lim f gx x 不存在且不是无穷大量情形,就不能得出 gx 在且不是无穷大量情形 法就 2 型 设（ 1） lim f x , lim g x （2） x 变化过程中, f x , g x 皆存在 （3） lim f x A （或 ） gx 就 lim f x

23、A （或 ） g x 7. 利用导数定义求极限 基本公式： lim x 0 f x0 x f x0 f x 0假如存在 x 8. 利用定积分定义求极限 基本公式： lim n1nf k 1f x dx 假如存在 nk 1 n09. 其他综合方法 10. 求极限的反问题有关方法 （乙）典型例题 一,通过各种基本技巧化 简后直接求出极限 【例 1】 设 am 0,bn0,求 lim x m amx am m 1 1 x a1 x a0 n b x b n1n 1 x b x b 0解 l i x m a x m b x m nam1m 1 x a x a00b n 1 x n 1 b x blim

24、 x mn x am am 1x 11m a1x a0 x mb nb x 11 n b x b x n11 第 11 页,共 130 页0当 mnn 1 ar . 2 am 当 m时 nbn 时 【例 2】 设 a 当nar m 0 , r时 1 ,求 lim a n解 l i ma ar nn ar 1a n1r nl i rm 1ar2n1特例：（1）求 lim n22223n1 1 3333解 例 2 中取 a2 , r 32 ,可知原式 1233253（2） lim n111n2422111n33233【例 3】 求 lim nn 1 32n. n 1 2n 3解 n 分子,分母用

25、3 除之, 原式 lim n322n332n13（注：主要用当 r n 1 时, lim r n0 ） 【例 4】 设 l 是正整数,求 lim nn1. l k 1 kk 解 1k k l 111llk k n1l 111111 k k l2ln1nlk 1 12 第 12 页,共 130 页因此 原式 1l1111 n 1d . 2l特例：（1） lim nn11 1（l 1） k 1 kk （2） lim nn12 1113（ l2） k 1 kk 224【例 6】 设 d 0 为常数,求 lim n11 d n2n2n2解 原式 lim n1n11 n 1d dn222特例： d 1

26、lim n12n12 nn2n22d 2 lim n132n 11n22 nn2【例 7】 求以下各极限 （1） lim x 01 x x 1 x （ 2） lim x 031 x 31 x x 解 （1）解一 原式 lim x 0 x 1 x 1 x 2 211 x 1 x 解二 原式 lim x 0 1 x 1x 1 x 1等价无穷小量代换 lim x 0 1x x x 122解三 用洛必达法就 111x 121 x 1 x 31 x 22原式 lim x 0 2 1 x 121（2）解一 原式 lim x 0 x 31 x 31 x 31 x 3解二 类似（ 1）中解二用等价无穷小量代换

27、 13 第 13 页,共 130 页解三 类似（ 1）中解三用洛必达法就 11【例 8】 求以下极限 （1）设 r 1 , lim1 nr 1 r22 n1 r （2） lim n11111122322 n解 （ 1）分子分母都乘 1-r ,就原式 lim n1rn1 21r1r（2）原式 lim 1 n11111111112233nn lim n1 3 2 4n1n1lim nn112 2 3 3nn2n 2二,用两个重要公式 【例 1】 求 lim cos cos n 2 x 4 x cos 2 x n； 解 当 x=0 时,原式 =1 n x x x x 2 sin n cos cos

28、cos n当 x0 时,原式 = lim 2 2 4 2n2 sin n x n22 n1 cos cos x x cos x n 1 sin x n 1 = lim 2 4 2 2n2 sin n x n2x = lim n2 sin n sin x x n lim sin x x sin 2 nx n sin x x 2 2x nlim nsin 22 x n 1【例 2】 求以下极限 （1） lim x 12x 10 x 10 lim x 12（2） lim x 0 1x 1x 21x x x 2 x 10 2x 解 （ 1） lim n1x x 14 第 14 页,共 130 页 li

29、m x 1121x 2110 x lim 1 x x 0 1 1 12e1ee22e2x x 1lim 1 x x 0 1（2）解一 lim x 0 x x x x lim x 0 1 x 1e1 x e1x 11解二 lim x 0 x x lim x 0 1 x 2x x lim 1 x 0 12x 2x x 21x 1x x 【例 3】 求以下极限 （1） lim1 tan x x 0 cot x（2） lim x 141cos2 x xx 1 （3） limcos x cot 2 x x 0 解 （ 1）令 tan x t 就 cot x 1 ,当 x t 于是 lim1 tan x

30、x 0 c ox t lim1 t 0 t 1e0 时 t 0（2）令 x 1 t 就 x 1t ,当 x 1 时, t 0于是 lim x x 1 41lim1 t 0 4lim t 0 1 t 14e 4 t tx t cos2 x （3） limcos x cot 2 x x 0 lim1 x 0 sin x 2 2sin 2 x lim x 0 1 sin x 22 sin x 21 e 2三,用夹逼定理求极限 【例 1】 解 令 x n求 lim 13 5 2n 1 . n 2 4 6 2n 1 3 5 2n 1, y 2 4 6 2n 2 4 12n , 3 5 12n 1就 0

31、xnyn ,于是 0 2 x nx y n 2n 由夹逼定理可知 lim x 2 x 0 ,于是原极限为 0. 【例 2】 求以下极限 （1） lim nnk 1 1k nn1（2） lim nnn2k k n2k 1 nnn解 （ 1） n2nk 1 2k n2115 第 15 页,共 130 页而 n l i m nn 2 nnl1 i m 1 1 n121lim nnn1lim n1112n2由夹逼定理可知 lim nnn1k 11k 1 2（2） 122nn12nnnk nk 1 n2nk n2n1nlim n1 nn l i 2 m n n 1 nn 21 2l i m 1nn22n

32、 n而 2就夹逼定理可知 lim 1 nn2n1n1 12 n 2 n12lim nnn2k 1k 1 nk 2四,用定积分定义求数列的极限 【例 1】 求 lim nnn2n2 k . . k 1 分析 假如仍想用夹逼定理中方法来考虑 n2nnn2n2n22 k 1 n 2 k n22 1而 lim nn22 nn21 , lim 2 nnn22 112由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑 解 lim nnn 2 nk2 lim n1n12k 1 nk 1 1k n 1 dx 20 1 x 1 arctanx 04【例 2】 设 p1,求 lim n1 p 2 p np

33、1 n p . 16 第 16 页,共 130 页解 原式 lim n1nk pnk 1 n 1p x dx 0 1p1五,用洛必达法就求极限 1. “ 0 ”型和“ ”型. 01 sin 1【例 1】 求 lim n n3 1 n . sin n解 离散型不能直接用洛必达法就,故考虑 lim x sin x 3 等价无穷小代换 lim x sin x 3x 0 sin x x 0 x lim 1x 0 3x cosx 2 lim sin x 6x 6 1原式 1 . 612【例 2】 求 lim e x . x 0 x10 1解 如直接用“ 0 ”型洛必达法就 0 1,就得 lim x 0

34、x 210 x 3 e9 x 2lim x 0 e5x x 12 12（不好办 了,分母 x 的次数反而增加）,为了防止分子求导数的复杂性,我们先用变量替 换,令 1 t , x 2 1于是 li m x 0 ex 1 0 x 2 t l i m et t 5 t 5t t e l i“m ”型 4 lim t 5t e t t lim 5. e t 02. “- ”型和“ 0”型 . 【例 1】 求 lim x 0 1e1 x 1. x 17 第 17 页,共 130 页解 lim x 0 1x ex 11 lim x 0 xe e x x 1 x 1 （“ 0”型） 0 lim x 0 e

35、 x e x 1 1xe x lim x 0 ex ex e x xe x lim 1 1x 0 2 x 22【例 2】 求 lim x 0 sin x 12 cos x x 2 . 2 2 2解 原式 lim x sin x cos x x 0 x 2 sin 2 x x 2 1 sin 2 2x lim 4 4x 0 x 2x 4 sin 2xcos2x lim x 0 4 4x 3x 1 sin 4 x lim 4x 0 2x 3 lim 1x 0 6x cos4x 2 lim x 0 4sin 4x 12x 43【例 3】 求 lim sin 2 xln x. x 0 解 原式 lim

36、 x 2ln x lim ln x 2 “ ”型 x 0 x 0 x 1 lim x 0 2 x x 3 00 03. “1 ”型,“0 ”型和“ ”型 g x lim g xln f x 这类都是 lim f x 形式,可化为 e,而 lim g xln f x 都是 “ 0”型,按 2 的情形处理 . sin2 x 【例 1】 求 lim x x 0 . sin x ln x 20 （见 2 中例 3） 解 令 y x sin 2 x , ln y lim ln y x 0 2 lim sin xln x x 0 lim y x 0 0 e118 第 18 页,共 130 页cot 2 x

37、 【例 2】 求 lim cos x x 0 （前面已用重要公式的方法） . 2解 令 y cos x cot x , ln y cot2 x ln cos x limln y x 0 limcot x 0 2 xln cosx lim x 0 ln cosx tan 2 x lim x 0 ln cosx x 2 1（“ 0”型） lim tan x 1 , lim y e 20 x 0 2x 2 x 0 x 【例 3】 求 lim sin 1 cos 1. x x x 1 1 x 1 1解 令 y sin cos , ln y xln sin cos x x x x 1 1ln sin c

38、os lim ln y lim x x lim lnsin t cost x x 1 t 0 t x lim t 0 cost sin t 1sin t cost lim x y e六,用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 【例 1】 求 lim n3n2n1sin n 2 1 . 2113n 1解 lim n3 n 2 3n n1lim n313110 , sin nnn2 1n3 1n0. 依据有界变量乘无穷小量仍是无穷小量,可知原式 【例 2】 求 lim x 0 1 cos 2 xarctan 3 x . 1ln1 2 xsin 5 x ex解 用等价无穷小量代换 原式 lim x 0

39、 1 2 x 3x 22x 2 x 5x 3519 第 19 页,共 130 页2 1 3sin x x cos 【例 3】 求 lim x . 1 cos xln1 x x 0 解 这个极限虽是“ 0 ”型,但分子,分母分别求导数后的极限不存在,因 0 此不能用洛必达法就 . 原式 lim 1 3 sin x x xcos 1 x 3x 0 1 cosx ln1 x 2x 七,用泰勒公式求极限 【例 1】 求 lim x 0 sin x x 1 x 63 . （当 x 0 时） 5 x 解 sin x x 3 x 5 x 5 o x 3. 5. 原式 lim x 0 5 x ox5 115.

40、 x5 5. 120 八,用导数定义求极限 【例 1】 设 f x0 2 ,求 lim x 0 f x0 3 x f x0 2 x . 2x 解 原式 lim x 0 f x0 3 x f x0 x f x0 2 x f x0 3 lim x 0 f x0 3 x f x0 2 lim x 0 f x0 2 x f x0 3 x 2 x 3 f x0 2 f x0 5 f x0 10 【例 2】 设曲线 y f x 与 y sin x 在原点相切,求 lim nf 2 . n n解 由题设可知 f 0 0 , f 0 sin x x 01于是 linmf n2n2 f li m 2 n2f 0

41、f 2 0 n0n九,求递归数列的极限 20 第 20 页,共 130 页lim n【例 1】 设 a 0 , x1 b0 , x2 1x1 a, xn 1xn 1a1求 2x1 2xn xn . 解 xn xn 1a1a0 （算术平均值几何平均值） xn 又 xn 1xn 1xn axn ax2 2xn 0 ,就 xn 1xn 2xn 存在 因此 xn 单调削减,又有下界,依据准就 1, lim xn nA 把 xn 1xn 1a1两边取极限,得 A 1A a2xn 2A A2 a ,A 0,取 A a ,于是 lim nx na十,求分段函数的极限 【例 1】 求以下函数在分段点处的极限

42、f x sin 2 x x0 2 x 1 cos x 解 f 0 0 lim x 0 sin 2x lim x 0 2 sin 2x 2x x f 0 0 lim x 0 2 x lim x 0 2 x 1 2 x 221 cos x lim f x x 0 2 1【例 2】 求 lim x 0 2ex sin x . 14 x ex 1解 lim x 0 2ex sin x 2114 x 1ex 21 第 21 页,共 130 页lim x 0 2e 4e3sin x 011x x e41x x 1 lim x 0 2ex sin x 14x 1ex 十一,求极限的反问题 2【例 1】 设

43、lim x 1 x sin x ax b21 3,求 a 和 b. 2解 由题设可知 lim x x 1 ax b 0 , 1+a+b=0 再对极限用洛必达法就 lim x 1 2 x ax b2sin x 1 lim x 1 2 x a 2 2 xcos x 1 2a3a4, b 52【例 2】 设 lim x 0 bx 1x x 2 t dt a t 1,求 a 和 b. sin 0解 把极限用洛必达法就 2原式左边 lim x 0 x b cos x a x ,假如 b 1,就极限值为 0,今极限为 1,就 b 12因此 原式左边 lim 1 x lim 2 2x 0 a x 1 cos

44、 x x 0 a x a由 2 1 ,得出 a=4. a 连续 甲内容要点 一,函数连续的概念 1. 函数在点 x0 处连续 定义 1 设函数 y f x 在点 x0 的某个邻域内有定义, 假如当自变量的转变 量 x （初值为 x0 ）趋近于 0 时,相应的函数转变量 22 y 也趋近于 0,即 lim x 0 y 0 x x0 时,函 或 lim x 0 f x0 x f x0 0就称函数 y f x 在点 x0 处连续； 函数 y f x 在点 x0 处连续也可作如下定义； 定义 2 设函数 y f x 在点 x0 的某个邻域内有定义,假如当 数 f x 的极限值存在,且等于 x0 处的函

45、数值 f x0 ,即 就称函数 y lim f x x 0 x f x0 x lim x0 f x f x0 f x 在点 x0 处连续,此时有 lim x x0 f x 并且有 lim x x0 f x f x f lim x x x 0 即假如函数在点 x0 处连续,就在点 x0 处可以交换极限号和函数号的次序； 定义 3 设函数 y f x ,假如 x lim x0 f x f x0 ,就函数 f x 在点 x0 处左 连续；假如 lim f x x0 x f x0 ,就称函数 f x 在点 x0 处右连续； 由上述定义 2 可知,假如函数 y 连续也右连续； f x 在点 x0 处连续

46、,就 f x 在 x0 处既左 2. 函数在区间内（上）连续的定义 假如函数 y f x 在开区间 a,b 内的每一点都连续,就称 f x 在 a,b 内连续； 假如 y f x 在开区间内连续, 在区间端点 a 右连续,在区间端点 b 左连续, 就称 f x 在闭区间 a, b 上连续； 二,函数的间断点及其分类 1. 函数的间断点的定义 假如函数 y f x 在点 x0 不连续,就称 x0 为 f x 的间断点； 2. 函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设 x0 是函数 y f x 的间断点,假如 f x 在间断点 x0 处的左,右极限都存 23 第 23 页

47、,共 130 页在,就称 x0 是 f x 的第一类间断点； 第一类间断点包括可去间断点和跳动间断点； （2）其次类间断点 第一类间断点以外的其他间断点 统称为其次类间断点； 常见的其次类间断点有无穷间 断点和振荡间断点； 例如 x 0 是 f x sin x 的可去间断点,是 f x x 的跳动间断点,是 x x f x 1 的无穷间断点,是 x f x sin 1 的振荡间断点； x 三,初等函数的连续性 1在区间 I 连续的函数的和,差,积及商 续的； 分母不为零 ,在区间 I 仍是连 2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数； 3在区间 I 连续且单调的函数的反函

48、数,在对应区间仍连续且单调； 4基本初等函数在它的定义域内是连续的； 5初等函数在它的定义区间内是连续的； 四,闭区间上连续函数的性质 在闭区间 a, b 上连续的函数 f x ,有以下几个基本性质,这些性质以后 都要用到； 定理 1 （有界定理）假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续,就 f x 必在 a, b 上有界； 定理 2 （最大值和最小值定理）假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续,就 在这个区间上确定存在最大值 M 和最小值 m ； 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下： 定义 设 f x0 M 是区间 a,b 上某点 x0 处的函数值,假如对于区间 a, b 上的任

49、一点 x ,总有 f x 同样可以定义最小值 m ； M ,就称 M 为函数 f x 在 a,b 上的最大值, 定理 3 （介值定理）假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续,且其最大值和 最小值分别为 M 和 m ,就对于介于 m 和 M 之间的任何实数 C ,在 a,b 上至少 存在一个 ,使得 f C 推论 假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续,且 f a 与 f b 异号,就在 24 第 24 页,共 130 页a,b 内至少存在一个点 ,使得 f 0这个推论也称为零点定理； 摸索题：什么情形下能保证推论中的 是惟一的？ 乙 典型例题 一,争论函数的连续性 由于初等函数在它的定

50、义区间内总是连续的, 所以,函数的连续性争论多是 指分段函数在分段点处的连续性； 对于分段函数在分段点处的连续性, 如函数在 分段点两侧表达式不同时,需依据函数在一点连续的充要条件进行争论； 【例 1】 争论函数 f x e 01x 00 连续. x x 01 x sin x x 0在点 x 0 处的连续性； 解 因 f 00lim f x x 0 lim x 0 e10 x f 00lim f x 0 x lim xsin x 0 10 x f 00即有 f 00f 00f 0 ,故 f x 在点 x 【例 2】 争论函数 .ln1 - . x x x 0在点 x 0 的连续性 . 1解 f

51、 00 x lim 0 ln1 x x x lim 0 ln1 x x 1f 00 lim 1 x 1 lim 1 1x 0 x x 0 1 x 1 2因 f 00 f 00,因而 lim f x 不存在,故 f x 在点 x 0 不连续 . x 025 第 25 页,共 130 页二,已知函数的连续性求未知参数 【例 1】 设 f x = .sin x . x x 1 0 在 x = 0 处连续,求常数 k. .k x = 0解 lim f x 0 x lim sin x x 1f 0 k ,由连续性可知 k 1.1. sin x x 0. . x 和 q. 1解 lim f x lim s

52、in x 1, f 0 px 0 x 0 x 由 f x 在 x 0 处连续性可知 p1又 lim f x lim x sin 1 q q, f 0 1x 0 x 0 x 由 f x 在 x 0 处连续性可知 q 1 . 三,求函数的间断点并确定其类型 【例 1】 求函数 f x 3x 1 的间断点,并确定其类型 . x 1解 明显 x 1 是间断点,由于 lim 3x 1 lim 3 x 1x 1 x 1 x 1 3x 1 3 x 2 3x 1 1 1 lim x 1 3 x 2 3 x 1 3所以 x 1 是 x 的可去间断点 . f 2【例 2】 求函数 f x x 2x 的间断点,并确

53、定其类型 . x x 2 4解 所给函数在点 x 0,-2,2 没有定义,因此 x 间断点 .下面确定它们的类型 . 26 0 ,-2,2 是所给函数的 第 26 页,共 130 页x 对于 x 0 ,由于 f 0 0 lim x 0 xx 2 2 1, f 0 0 lim x 0 x x 2 1x x 2 x 2x x 2 x 2 2故 x 0 是第一类间断点,且为跳动间断点 . 对于 x 2 ,由于 f 2 0 f 2 0 x x 2 x lim 2 x x 2 x 2 故 x 2 是其次类间断点,且为无穷间断点 2 ,由于 . 对于 x f 2 0 f 2 0 lim x 2 xx 2

54、2 1x x 2 x 4故 x 2 是第一类间断点,且为可去间断点 .如补充定义 f 2 1 ,就 f x 在 42 连续 . 【例 3】 设 f x 在 , 内有定义,且 lim x f x ag x f 1x 0 x 0 x 0就以下结论中正确选项（ ） A x 0 必g x 的第一类间断点 是 B x 0 必是 gx 的其次类间断点 C x 0 必是 gx 的连续点 D g x 在 x 0 处的连续性与 a 的取值有关 解 lim g x lim f 1 lim f t ax 0 x 0 x t a 0 时 x 0 是 gx 的连续点, a 0 时, 0 是 g x 的可去间断点应选 x

55、 D. 【例 4】 设 f x , gx 在 , 内有定义, f x 为连续,且 f x 0 , g x 有间断点,就以下函数中必有间断点为（ ） 2 g x A g f x B gx C f gx D f x 27 第 27 页,共 130 页解 A 不愿定有间断点例 g x 11x 0 ,f x 1 ,就 gf x 1 为 x 0, a . 1 yn = ax ln a n（3） y = sin x yn = 骣 sin .x + .桫 np 2 （4） y = cosx n y = 骣 cos.x + .桫 np 2 （5） y = ln x yn = - 1n- 1 n - 1. x-

56、【例 1】 设 y = xk （ k 正整数）,求 yn （n 正整数） . 解 y n k- n = .k k - 1L k - n + 1x .0 n . k n k 【例 2】 设 y = xn 1- x ,求 y n （n 正整数） . 解 y = n x - 1+ 1 = 1- x 1x - x + x n- 1 n- 2 + L + x+ 1 1- n y 轾 -1= 犏 臌1- x n = 1- n. n+ 1 x 【例 3】 设 y = 2 x - 12,求 yn （ n 正整数） . 3x + 41 第 41 页,共 130 页解 y = x- 1x - 12 = x- 12

57、-x - 11 = x - 2 - 1 - x - 1 -1y= - 轾 x- 2 犏 臌- 2- x- 1-2y = - 1 -2犏 轾 臌 x -2-3- x 1-3yn = - 1 n. x n轾 - 2- n+ 1 - x- 1-n+ 1 【例 4】 设 y = sin 4 x + cos 4 x ,求 y n （n 正整数） . 2 2解 y = 骣珑 桫2 cos2x鼢 鼢+ 骣1+ cos2x 2桫 1 2 + 4 2cos 2x= 3 + 1 cos4x 4 4 y n = 14 g4 cos珑4 x + n 骣 珑 桫 np 鼢 2 鼢= 鼢 4 n- 1cos 4 x+ 骣

58、 桫 np 242 第 42 页,共 130 页微分中值定理 本节特地争论考研数学中常常考的四大定理, 罗尔定理,拉格朗日中值定理, 柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式） . 这部分有关考题主要是证明题,其中技巧性比较高,因此典型例题比较多, 争论比较具体 . 甲 内容要点 一,罗尔定理 设函数 f x 中意 （1）在闭区间 a,b上连续； （2）在开区间（ a,b）内可导； （3） f a f b . f x = 0 . 就存在 x . a,b ,使得 几何意义：条件（ 1）说明曲线 y 续曲线包括点 A 和点 B. f x 在 A a, f a 和 Bb, f b 之间是连 条件（ 2）说明

59、曲线 y f x 在 A,B 之间是光滑曲线,也即每一点都有不 垂直于 x 轴的切线不包括点 A 和 B 条件（ 3）说明曲线 y f x 在端点 A 和 B 处纵坐标相等； 结论说明曲线 y f x 在 A 点和 B 点之间不包括AB至少有一点, 它的切线平行于 x 轴； 点 和 二,拉格朗日中值定理 设函数 f x 中意 （1）在闭区间 a,b 上连续； （2）在开区间 a,b 内可导； 就存在 a,b ,使得 baabf bf af ba或写成 f bf af 43 第 43 页,共 130 页有时也写成 f x0 x f x0 f x0 x x 01这里 x0 相当 a 或 b 都可以

60、, x 可正可负； 几何意义： 条件（ 1）说明曲线 y 间包括点 A 和点 B是连续曲线； f x 在点 A a, f a和点 B b,f b之 条件（ 2）说明曲线 y f x 不包括点 A 和 B是光滑曲线； 点 结论说明曲线 y f x 在 A, B 之间不包括点 A 和点 B至少有一点,它 的切线与割线 AB 是平行的； 推论 1如 f x 在 a, b 内可导,且 f x 0 ,就 f x 在 a,b 内为常 数； 推论 2如 f x ,g x 在 a,b 内皆可导, 且 f x g x ,就在 a,b 内 f x g x c ,其中 c 为一个常数； （注：拉格朗日中值定理为罗尔