高等数学第二节对面积的曲面积分

1、高等数学第二节对面积的曲面积分第1页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四一、对面积的曲面积分的定义二、 对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用第2页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四 把曲面分成n片小曲面, 这些小曲面为S1,S2, ,Sn, Si也表示Si的面积(i=1,2,n).一、对面积的曲面积分的定义 设有一曲面形构件, 它所占位置的空间曲面见图9-4, 面密度为连续函数u=f(x, y, z), 利用分割、作和、取极限的方法求该构件的质量. 在Si上取点 Mi(i, i, i), 称Si任意取两点间距离的最

2、大值为Si的直径,Si图9-4,第3页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四则曲面形构件的质量为式中为n片小曲面直径中的最大值.Si图9-4,第4页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四 定义2 设是光滑曲面, 函数u = f ( x, y, z ), 在上有界,分为n片小曲面, 这些小曲面为S1, S2, , Sn, Si 也表示Si 的面积 ( i =1, 2, , n ).如果存在, 则称该值f ( x, y, z )在上的对面积的曲面积分, 也称为第一型的曲面积分, 记成 在Si上取点Mi(i, i, i), 记为n片小曲面直径的最大值.其中f (

3、x, y, z ) 称为被积分函数, 称为积分曲面.第5页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四如果是闭合曲面上的积分, 又可记成 定理1 当f ( x, y, z )在光滑或分段光滑曲面上连续时,存在.第6页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四二、 对面积的曲面积分的性质 设下面所涉及的曲面积分是存在的, 则有下述性质性质1 设k为常数, 则性质2 第7页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四性质3 将分成1 与2, 则 k为常数, A为的面积.性质4性质5 若在上 f ( x, y, z ) g ( x, y, z ), 则第8页，共

4、19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四 性质7 当 f ( x, y, z )在光滑曲面上连续时, 必有 (, , )在上, 使得性质6 在上若没m f ( x, y, z ) M, 则其中A表示的面积.第9页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四三、对面积的曲面积分的计算 定理2 设曲面: 在z = z ( x, y ), 它在xOy面上的投影区域为Dxy, z = z ( x, y ) 在Dxy上具有连续偏导数, f ( x, y, z ) 在上连续, 则有公式如果曲面投影到yOz或 zOx面, 则有下述计算曲面积分的公式第10页，共19页，2022年，5月

5、20日，21点30分，星期四 定理3 设 f ( x, y, z )与满足定理 2 的条件, 若 f ( x, y, z ) = f ( x, y, - z ), 关于xOy对称, 1表示的位于xOy面上方的部分, 则有若f ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) , 则有第11页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例1 求其中为平面 中解出在第一卦限中的部分.将在xOy面上投影区域记为Dxy, 如图9-5第12页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四图9-5第13页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例2 求其中 :

6、x2 + y2 = R2, 0 z h (R 0) 解法1 把分成前后两部分1与2, 则Dyz: - R y R, 0 z h解法2 面积的微分dS = 2Rdz,故第14页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四 设有一分布着质量的光滑曲面, 在点 ( x, y, z )处的面密度为连续函数f ( x, y, z ), 利用微元分析法不难推得下面各公式.四、 对面积的曲面积分的应用 质量 设重心为则第15页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四转动惯量式中Ix, Iy, Iz, Io, 分别表示曲面对x轴, y轴, z轴以及原点的转动惯量.第16页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例3 求抛物面壳的质量 此壳面密度为 = z.所求质量为第17页，共19页，2022年，5月20日，21点30分，星期四故所求转动惯量为 例4 求面密度为常数 0的半球壳 x2 + y2 + z