单粒子轨道理论

1、单粒子轨道理论单粒子轨道理论是指将等离子体中的带电粒子独立的办理，忽视它们之间的互相作用，只考虑电磁场对单个带电粒子的作用，不考虑带电粒子运动惹起的电磁场变化。1均匀磁场中的带电粒子的盘旋运动在处于恒定磁场的空间中，带电粒子的运动方程是dvqvBdt取B为z方向，写成重量形式：&vyvx&vxvy&0vz这里Bqm称为盘旋频次。记%ivy，将(1.3)式乘以i与(1.2)式相加，获得vvx&v%v%其解为(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)%ceit(1.7)v此中，积分常数cvei是复数，可写为模v和辐角的形式。对(1.7)式分别取实部和虚部，获得vxvcos(t)(

2、1.8)vyvsin(t)(1.9)vP,c均为积分常数，因此，带电粒子的运动是环绕磁场作以为角频次的盘旋运动，也称为Larmor盘旋运动。其角速度为：ez(1.10)盘旋的半径（也称为Larmor半径）为：v(1.11)而在平行于磁场的方向，从(1.4)解得：vzvP(1.12)积分常数vP为平行方向速度的初值，带电粒子速度保持不变。值得注意的是，盘旋频次只与磁场的大小有关，而与盘旋粒子的垂直速度或盘旋半径无关。但假如相对论效应不可以忽视，则带电粒子的质量会发生变化，盘旋频次会跟着垂直方向的速度改变。此时，带电粒子的运动方程为dvqvB(1.13)mdt此中相对论因子211v2(1.14)c

3、2它只与带电粒子速度的大小有关，与速度的方向没关。而事实上，只需用v点乘(1.13)式即可看出：vdv1dv20(1.15)dt2dt即带电粒子速度的大小是常数。因此在解带电粒子的运动方程时，可以将视为常数。解的结果与非相对论状况的不同样点但是在于盘旋频次的差异：Bq(1.16)m带电粒子在磁场中的运动可以看作是垂直于磁场的盘旋运动和盘旋指引中心的运动（即平行于磁场的运动加上漂移运动）构成。2盘旋指引中心的运动第一，我们考虑带电粒子在稳恒、但空间上不用然均匀的磁场中的运动过程。从上一节的讨论可知，假如磁场不随空间和时间变化，或许在带电粒子所在的地区内可以将磁场近似的看作是不变的，带电粒子将沿着

4、磁力线作盘旋运动。为了更好理解和办理在空间不均匀磁场中的带电粒子的运动，我们将其分解为环绕指引中心的盘旋运动和指引中心自己运动两部分。关于角频次为的盘旋运动，其速度v为：Bv=(t)(1.17)这里(t)是盘旋的矢量半径，它与v,构成互相垂直的右手系统。因此r(t)vR(t)=(1.18)2在磁场中带电粒子盘旋运动角频次矢量为：qB(1.19)Obm这里b是磁场方向的单位向量。带电粒子除了沿着磁场方向运动外，在垂直于磁场的方向上，带电粒子做盘旋运动及漂移运动。因为漂移运动速度一般远小于盘旋运动速度，带电粒子运动速度v的垂直重量可以用盘旋运动速度vg替代，在这类近似下，(1.18)式可以改写为b

5、v(1.20)实质应用中，倒是先用此式定义盘旋半径，因为若还用(1.18)式，将会与(1.17)式一并坠入循环定义。我们也可以理解(1.20)式定义的盘旋半径为带电粒子运动的刹时的盘旋半径，在盘旋一周的过程中，若同时有漂移运动，带电粒子的盘旋速度和半径是随时改变的。认识指引中心的运动比认识带电粒子的详尽的运动更存心义。指引中心的地点R(t)可以简单求得：R(t)r(t)(t)(1.21)这里r(t)是带电粒子的刹时地点。这实质上也可以看作是指引中心的定义。指引中心的运动速度vc可以求得：&bbvd(1.22)vcR(t)v()vdt(1.22)式中出现的带电粒子加快度可分为两部分，其一是由磁场

6、惹起的旋转，另一部分由其余外力的总和f惹起的加快度&fqvBfvb(1.23)vmm在稳恒近似的条件下，没有迅速变化的电场和磁场，对时间的偏导数可以忽视，只保存空间地点改变惹起的变化。因此(1.22)式中对时间t的随体导数近似为dvv(1.24)dtt用(1.23)和(1.24)，化简(1.22)式，获得指引中心运动速度的三部分：vcv|vfvm(1.25)此中vPvPb(vb)b是带电粒子沿平行磁场方向的运动速度。平行速度是指引中心运动速度的主要部分。其余，(1.25)式中的第二项vffb(1.26)m是外力惹起的垂直磁场方向的漂移，如电场漂移、重力漂移等。而(1.25)式的第三项vmv(v

7、b(1.27)它与磁场的大小（B）和方向（b）在空间上的变化有关，是由空间磁场的不均匀性惹起的漂移，如磁场梯度漂移、曲率漂移等。此刻，我们获得的带电粒子运动大概图像：第一，它主假如沿着磁力线运动，同时还绕着磁力线旋转。其次，指引中心会在外力作用下漂移偏离磁力线，其漂移方向与磁力线垂直，也与力的方向垂直。其余，磁场的不均匀性也能惹起漂移运动。下边我们详尽分析一下带电粒子的各样漂移运动。1)电场力关于恒定的电场，带电粒子受力fqE，电场惹起的漂移速度vEEbEB(1.28)BB2值得注意的是，电场漂移速度与带电粒子的电荷的正负符号没关，也与带电粒子的质量没关。在等离子体中，离子和电子以同样的方向和

8、速度漂移，不会造成的电荷分别。事实上，我们假如取一个以相对速度vE运动的新参照系（称为deHoffman-Teller参照系），经过洛仑兹变换可以发现，在新的参照系中电场为0，带电粒子但是简单地环绕磁力线旋转。而在我们原来的参照系中察看，全部的电子和离子除了盘旋以外，均以一个同样的速度vE做漂移运动。重力或其余恒定外力一般状况下，力老是惹起与其方向一致的加快度。而在有磁场的状况下，力惹起的是一个垂直方向的漂移速度，与平时经验有很大的不同样。漂移速度的表达式为：fB(1.29)vf2qB这个速度与带电粒子的质量也没有关系，但与其电荷有关。特别关于电荷符号相反的带电粒子，其漂移方向也相反。在等离子

9、体中，电子和离子漂移方向不同样，会惹起电荷分别，进而产生一些特其余物理现象（如等离子体-磁场分界面上产生的瑞利-泰勒不坚固性）。在讨论磁场空间不均匀性惹起的漂移问题以前，有必需先办理一下公式(1.26)的第三项，我们用vm代表这项磁场惹起的漂移。比较其余两项来说，这一项相对复杂。因为此中含有运动速度v，因此有盘旋运动惹起的随时间迅速变化的项。这些迅速变化的项不是我们想要的，经过在一个盘旋周期中做均匀的方法可以除去去。我们简化v为只有平行运动和盘旋运动两项，忽视全部的漂移运动：v(t)v|bv(1.30)盘旋运动速度可以表示为：v(t)vx?cos(t)y?sin(t)(1.31)这里x?,y?

10、是两个垂直于磁场的方向上的单位矢量，与b方向构成右手系。由(1.30)，(1.31)，将公式(1.27)经过一个盘旋周期的均匀今后，磁场不均匀性惹起的漂移均匀速度为vm2bv2bv|b(b)2(1.32)此中x?xy?b(b)b(b)(1.33)y是在垂直方向上的空间微分算符。在公式(1.32)中，磁场在空间的变化包含两个部分，一是磁力线方向b的变化，另一个是磁场强度B的变化。沿着磁力线方向看磁场方向的变化，可计算磁力线的曲率(b)b(1.34)(1.32)式可写为vmvP2bmv2B(1.35)2qB2注意到(1.33)式，进一步化简BBb(b)b0j2BBb(1.36)B2B2BB2B3B

11、利用矢量微分公式(pq)p(q)q(p)(p)q(q)p(1.37)及b是单位向量的特点，曲率也可以表达为(b)b1(bb)b(b)(1.38)2在垂直方向上磁场强度的梯度为Bb(bB)b(B)Bb(b)b0jB(1.39)利用(1.33)，(1.34)及(1.39)式，化简(1.35)式：212bmv20(jPbj)vm(mvP2mv)qB2qB2(1.40)在空间没有电流时，由(1.39)可知bbB(1.41)B由磁场惹起的漂移速度为vm(2wPw)bB(1.42)qB2此中，wP,w分别是带电粒子在平行方向和垂直方向的动能。磁场的空间不均匀性惹起的漂移运动又可以分为两部分，此中一部分漂移

12、速度是离心力惹起的，为mvP2eRB(1.43)vRqB2R式中R为曲率半径，eR是曲率半径的方向单位矢量，与方向相反。另一部分漂移速度是磁场梯度惹起的，为vgradBB2qB这里wB是粒子的磁矩。而B表现了磁场的梯度对带电粒子所施加的等效作使劲。在考虑空间有电流的状况下，指引中心的运动速度为fB(2wPw)BB0(2wPjwjPb)vcvPbqB2BqB2qB2若把漂移速度写为与磁场有关的量，则(1.35)为vmvP2mv2b(bbb2q)BvP2bv2bBb2bBvP2bv2b)B2b(b(bB注意到(1.38)式，代换，得vmvP2bv2b(b(b)B2bB最后vvPv2(b)fBv2b

13、BvP2bbbc2qB22B3带电粒子在变化电场中的漂移讨论在有恒定磁场BB0ez和垂直于磁场的变化电场EE0cos(t)ex状况下带电粒子的漂移运动。可解运动方程&qEvezvmex获得：&%qE0%costvivm(1.44)(1.45)(1.46)(1.47)(1.48)(1.49)(1.50)(1.51)(1.52)令v%v1eit，则v1qE0eitcos(t)dtm可得%qE0eiteitvei(t)v2miqE0icos(t)sin(t)vei(t)m(22)或vxvcos(tqdE1)22mdtvyvsin(t)qEm22此中，x方向的漂移为极化漂移，而在y方向的漂移近似于一般

14、的电场漂移。之比为的量级。(1.53)(1.54)(1.55)(1.56)二者漂移速度在=的缓变电场状况下，极化漂移速度远小于一般的电场漂移速度，比较之下可以忽视。在?的高频变化的电场状况下，极化漂移速度比一般的电场漂移速度更大，显得特别重要。4守恒量和绝热不变量关于在没有电场和重力场等力场所区运动的带电粒子，其动能守恒。带电粒子的运动方(1.1)两头同时点乘速度v，可以获得(1.15)式，进而证了然在这类状况下，带电粒子动能守恒。一般来说，关于广义坐标q，p是q对应的广义动量。假如运动关于q是周期的，则对于积分：I?pdq(1.57)是绝热不变量，也即在系统变化的特点时间远远擅长运动的周期的条件下，该物理量保持不变。这里积分在一个运动周期进步行，积分过程中保持系统的能量不变。假定系统是随参量迟缓变化的，为简化起见，假定系统只有一对广义坐标和广义动量，即：H(p,q,(t)E(t)(1.58)这里H是系统的Hamilton函数。关于(1.57)的积分，被积函数p可以从(1.58)式反解为pp(q,(t),E(t)(1.59)因此d