小学奥数专题-加乘原理之数字问题(二).学生版

1、 7-3-3. 原之问（教学目复习乘原理和加法原理；培养学综合运用加法原理和乘法原理的能力让学生得并运用加法、乘法原理来解决问,握常见的计数方法会使用这些方法解决问题在分类讨论中结合分步分析 , 在步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类 哪是分 步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合知识要一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时 ,有类不同的方法 ,具体做的时候 ,只采用其中某一类中的一 种方法就可以完并且这几类方法是互不影响的么考虑完成这件事所有可能的做就要用到加法原理来 解决还有这样的一种情况是做件事,分几步才能完而在完成每一步又有几种不同

2、的法 知道完成这件事情共有多少种方,要用到乘法原理来解决二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：加法原理是把完成一件事的方法分成几类 ,每类中的任何一种方法都能完成任务 所完成任务的不 同方法数等于各类方法数之和乘法原理是把一件事分几步完这几步缺一不可所完成任务的不同方法数等于各步方数的乘积 在很多题目中,法原理和乘法原理都不是单独出现这就需要我们能够熟练的运用好这两大原综合分析正确作出分类和分步加法原理运用的范围成件的方法分成几每一类中的任何一种方法能完成任这样的问题可 以使用加法原理解决我们可以简记为“加法分类类独乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影的立步来完成,几

3、步是完成这件任务缺一不可 的,这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以记为“法分步步相关”例题精【 1 用数 , 组成一八数其至连续位是 的多个【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 将 个 1 看成一个整其余 4 个有 情况：4 个 2 2 个 、1 个 没有 ；4 个 2 时, 个 1 可以有 插法；3 个 2 时, 个 2 和 1 共有 排法,一种排法有 4 种法共 4 种；2 个 2 时, 个 2 和 1 共有 排法,一种排法有 3 种法共 种1 个 2 时, 个 2 和 1 共有 排法,一种排法有 2 种法共 种；有 时只 1 ；所以总共有： 5 48 答：至少连续四位

4、都是 1 的 48 个【答案】 7-4.乘原理之数字问题（二） .库教师版page 1 9【 2 七位的位字和 60 ,这样的位一有少？【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 七位数字之和最多可为 9 七位数的可能数字组合为：9,9,9,9,9,9,6第一种情况只需要确定 6 的置即可所以有 6 情况9,9,9,9,9,8,7第二种情况只需要确定 8 和 7 位,数字即确定8 有 7 位7 有 个位置所以第二种情况可 以组成的 位数有 个第三种情况, 个 位置确定即 数也确定三个 8 的置放置共有 种三个相同的 置会产生 种复的放置方式所以 3 个 8 和 4 个 9 组的不同

5、的七位数共有 210 35 种所以数字和为 60 的位数共有 【答案】 【 3 从自数 140 中意取个使所取两数和被 4 整除有多种法【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 数的和能被 4 ,可以根据被 4 除余数分为两类：第一类：余数分别为 中被 4 整的数共有 10 45（种）取法； （个）,10 个选 ,有第二类：余数分别为 1,3140 中 4 除余 余 3 的也分别都有 个有 第三类：余数分别为 第一, 45 取法根据加法原共有 45 45 （种）取法 100（种）取法；【答案】 190【 4】 从 1,3,5,7 中 任 取 个 字 成 有 复 字 的 三 位 数

6、 三 位 数 中 能 被 整 除 的 个【考点】加乘原理之综合运用 【度3 星 【型】填空【关键词】希望四年级二, 题【解析】 一个能被 整除它的各位数之和就能够被 3 整。 1,3,5,7 中任选 个数可以是 1,3,51,3,7； 1,5,7；3,5,7。和能被 除的有 和 3,5,7,共能组成 3！2 个数。【答案】 个数【 5】 从 中取干数使得们和 的数但是 的倍数那么有 的取法【考点】加乘原理之综合运用 【度3 星 【型】填空【关键词】迎春五年级初 题【解析 从 些数中选取的数的和小于 满足条件的和数有 3 、 6 、 、 12 、 、 21 分别有 、 4 、 、 、 2 、 种

7、取方共 2 种取方法【答案】 19 种【 1 在 1 至 300 全自数是 的数 的数数有 个 、 、 C、141 D、种同【考点】加乘原理之综合运用 【度3 星 【型】选择【关键词】华杯五年级初【解析】 倍有 个, 的倍数有 个,是 3 又是 5 的数有 20 个则是 或者 5 的数数共有 100+60-20=140 个。【答案】 【 6 在 1 这 个然中每取出个同数使它的是 3 的数共有 【考点】加乘原理之综合运用 【度3 星 【型】填空种同取。7-4.乘原理之数字问题（二） .库教师版page 2 9【关键词】走美, 年级,决赛第 题 年级,第 题【解析】 两个的和是 倍数有两种情,或

8、者两个数都是 3 的数或 个除 3 余 1,一个除以 。 1 中能被 整除的有 数,取两个有 取法以 3 余 的 个,除以 3 余 2 的 个数 各取 1 个 12 种法。所以共有取法 3+12=15()。【答案】 15 种【固 从 1 到 中最多取个,使任两个不 倍系【考点】加乘原理之综合运用 【度3 星 【型】填空【关键词】学而思杯, 级第 13 【解析】 和 存, 和 不能共存 能共存 和1 不能共, 和1 不共存 6 和1 不共存。要破 坏这些组合,少要去掉 4 个,例 3,4,5,6【答案】16 个【固 从 1 个然这 25 个然中每取两不的 使们和 的数共 中 不的法【考点】加乘原

9、理之综合运用 【度3 星 【型】填空【关键词】走美, 年级,决赛第 8 题【解析】 到 25 中除以 4 ,数是 1 数有 个余是 的有 个,余是 数有 6 个,余数是 数有 6 , 所以共有 72 （【答案】 种【 7 在 1100 的自然中出个同数,其和是 的数共有少不的法【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 将 1 按除以 3 余数分为 3 类：第一,余数为 1 的 一有 34 个第二类, 数为 2 的共有 33 个第三类可以被 整的一共有 个取出两个不同的数其和是 3 倍数只 有两种情况：第一种, 第一、二类中各取一个数 , 种法；第二种 ,从三类中取两 个数有 取法

10、根据加法原理不同取法共有：1122 528 1650 种【答案】 1650【固 在 1 这 个自然中每次出个同数使它的是 3 的数共有少不的法 【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 两个的和是 的数两种情或者两个数都是 的倍数或有 1 个以 余 1,另一个除以 3 余 210 中被 3 整除的有 个数取两个有 3 取法；除以 余 的 4 个数除以 3 余 的有 个数各取 有 3 种法根据加法原共有取法： 3 【答案】 15【固 在1 这 个自数中每取出个同数使它的是 3 的数多种同取？ 【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 三个同的数和为 的倍数有四种情况：

11、三个数同余 三个数同余 三个数都被 3 整余 数各有 1 个四情况分别有 4 、 种、1 种 4 36 种所一共有 36 42 种【答案】 【固 从 7,9 ,7677 这 个数选两不的数使和 3 的数选总是少【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 两个和为 的倍数情况有两种：两个被 除的数和是 3 的倍一个被 3 除 的和一个被 3 除余 2 的相加也能被 整除这 个数中被 整除, 3 除余 1,被 3 除余 的分别有 2324、24 个 选两数只要是符合之前所说的两种情况就可以了 选两个被 整的数的法有 23 从被 余 1 和 除余 2 的中各取 个的方法共有 24 24

12、种所 一共有 829 种取方法【答案】 829【 8 从这数选两,使和 除余 的选方有少？被 除余 的选方有少？ 【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 两个的和被 除余 情况有两种：两个被 3 除余 数相和一个被 整的数和一个被 3 除7-4.乘原理之数字问题（二） .库教师版page 3 9余 1 的数相,以选取方法有 种同样的也可以求出被 3 除 2 的选取方法有 24 种【答案】 828【 9 1 到 60 60 自数选两数使它的积被 除 的偶数问一共多种法 【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 两个的乘积被 除余 有类情况一类是两个数被 除别余 和

13、2,另一是两个数被 5 除别 余 和 只要两乘数中有一个是偶数就能使乘积也为偶.1 到 60 这 自然数中,被 5 除 3 的偶数各有 个被 除 1、23 的数也各有 6 个所符合条件的选取方式一共有 种【答案】 【 10 一自数如果顺看倒来都一的么这数“回数例如 1331, 都是 回数而 则不回数问从位六的文一有少?中第 1996 数多 少?【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 我们回文数分为一位二位、三位六位来逐组计算所有的一位数均回文数,有 个在二位数中,须为形式的即 (因为首位不能为 0,下同)；在三位数中,须为(可相同在题中,不同的字母代表的数可以相形式的即有 91

14、0 个；在四位数中,须为 abba 形的即 910 个在五位数中,须为形式的即 91010=900 个在六位数中,须为 形式即有 91010=900 个所以共有 90 90 + 900 + 900 1998 个最的为 999999,其次为 998899,次为 997799 而第 个为倒数第 个数即为 997799所以从一位到六位的回文数一共有 个其中的第 1996 个数是 997799【答案】997799【 11 如 ,将 1234 分填图中 的子 ,求在格的比它边两数大共 种同填【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【关键词】走美, 年级,决赛第 5 题【解析】 因为要 “填黑格里数

15、比它旁边的两个数都大 ” 所以填入黑格中的数不能够太小 , 则就不满足 条件通过枚举法可知填入黑格里的数只有两类：第一填在黑格里的数是 5 和 4第二类,填在黑 格里的数是 和 接下来就根据这两类进行计数：第一类填在黑格里的数是 和 4 时分以下几步：第一,一个黑格可从 5 和 中选一个有 2 种选法；第二步,二个黑格可从 5 和 4 中下一个数,有 种选法；第三步,一个白格可 从 中任意选一, 3 种选法第四,二个白格从 1,2,3 剩下的两个数中任选一有 2 种 法；第五步,后一个白格只有 1 种法根据乘法原一共有 种第二类填在黑格里的数是 5 和 3 时黑中有两种填此时白格也有两种填根据

16、乘法原不同的 填法有 种所以根据加法原不同的填法共有 种【答案】 16【固 在图示 的子填 ,2,4,5,678 中的个,要填的各相,并且在格的 数它边两数大共 种不的法7-4.乘原理之数字问题（二） .库教师版page 4 9【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 如 果取来的五个数是 、 、 、5, 则有不同填法 种从 个中选出 个 共 876(321)=56 中,所以共 种【答案】896【 12 从 1 中出 7 个然,要求选的中存某自数另个然的 倍那一有 种法【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 由于求选出的数中不在某个自然数是另一个自然数的 倍,以先

17、根据 倍系 12 进行如 下分组：(1,2,4,8)；(3,4,12)；(5,10)；(9)；由于第一组最多可选出 2 个数第二组最多可选出 2 个其余四组最多各可选出 1 个所以最多可 选出 8 个现在要求出 数,以恰好有一组选出的数比它最多可选出的数少一个 如是第一组少一个 , 也是说第一组选 个 , 第组选 2 个, 其余四组各选 1 个 , 此有 种法；果是第二组少一也就是说第一组选 2 个其五组各选一此时第一组有 3 种法根据乘法 原理有 种法；如果是第三组少一个 ,也就是说第一组选 个第组选 个 三组不选 ,其余三组各选 1 个,有 3 种法；如果是第四、五、六组中的某组少一个 ,

18、由于这三组地位相同 所以各有 种选 法根据加法原共有 种同的选法【答案】 【 13 从1 到 999 这 999 自数有 个的位字和能 4 整除【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 由于一个数的前面写几个 0 不影响这个数的各位字之,以可以将 到 中的一位数和两 位数的前面补上两个或一个 使之成为一个三位数现在相当于要求 001 到 999 中位数字之和能 被 4 整除的数的个数个数除以 4 余数可能为 9 中除以 4 余 的数有 3 个除 4 余 1 的也有 个除以 余 和 3 的有 个个数的和要能被 4 整,须要求它们除以 4 的余数的和 能被 4 整除,数的情况有如下

19、种： ； 0 ； 0 ；1 ； 2 果是 0 即 3 个除以 4 余数都是 0,每位上都有 3 选择,有 27 种能但 是注意到其中也包含了 000 个数应予排所以此时共有 个；果是 , 3 个除以 的数分别为 0,1,3,而在 个置上的排列有 3! 种所以此时有 个；如果是 0 , 3 个除以 的数分别为 在 3 个置上的排列有 3 种 所以此时有 3 个如是 1 即 3 个除以 的数分别 在 3 个置上的排列有 种, 所此时有 个 如是 3 个除以 的数分别为 2,3,3, 在 个置上的排列有 3 时有 个根据加法原共有 248 【答案】 248【固从 到 这 个自数其字能 4 整除数有少

20、？【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 分段算：在 4999 这 个中数字和被 余 、1、3 的有 个在 200 这 个数中,字和被 4 除 0、3 的有 200 个在 20、120 这 160 个中,数字和被 4 除 、1、2、 的各有 40 个此外19100119 种别 2 个 4 个 除,7-4.乘原理之数字问题（二） .库教师版page 5 9所以共有 1000 200 1246 【答案】 1246【固从 1 到 这 3998 个自然中又多个的位字和被 整？【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 从 0 到 共有 个数,们除以 的数为 0,1,2,3,

21、样,这 个数每一个加上千位上对应的 0,1,2,3,都被 4 ,所以答案为 1000 个【答案】【 14 表第 1 是把 100 整依全排出来然从 行是据律直到后第 行请：个中共多个能 77 整？第行 2 3 第行 3 7 97 98 99 100 195 197 199第行 12 16 第行第行第 【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答 【关键词】日本小学数学奥林匹克决赛【解析】 在这表,的数字的正下方写着比它大 .A2A-1A+1A2 4A假如某数字是不能被 77 除的数那不管它被 4 多少,也能被 整除.于是我们得知不能 被 77 除的数字下面写的数字都不能被 77 那么如果某数

22、字是可被 77 整,不管乘多少回 得出的数字都可以被 77 除.可被 整除的数字下面都可以被 整.目的表中从左右两边第 N 个的下面写着 个整表的第一行从右数第 个 77,它下面写的 个数都可以被 77 整除. 另外从左数第二行第 个是 38 77 所在它下面写的 个整数都可以被 整除在表的第一 行和第二行里除此之外再没有可以被 77 整除的数了.整个表来看除上述的 24 个外, 再也没有可以被 77 整的数了所以答案为 62.【答案】 【 15 有个完一的方,每个方的个面分标数 1、5、将个方 体到面向的面字和偶的多种形【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 要使个数字之和为

23、偶只要这两个数字的奇偶性相,即这两个数字要么同为奇数,么同为偶数 所以要分两大类来考虑第一类两个数字同为奇数由于放两个正方体可认为是一个一个地放放第一个正方体现奇数 有三种可能, 第个正方,出现奇数也有三种可,由乘法原理,时共有 3 种同的 情形第二类,个数字同为偶,似第一类的讨论方法,有 3 种同情形最后再由加法原理即可求解正体向上的一面数字之和为偶数的共有 种同的 情形【答案】 18【固 有个完一的方,每个方的个面分标数 、2、将两正7-4.乘原理之数字问题（二） .库教师版page 6 9体到面向的面字和奇的多种形【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 要使个数字之和为奇

24、只要这两个数字的奇偶性不,即这两个数字一个为奇数,一个为偶数, 于放两个正方体可认为是一个一个地放第一个正方体,出现奇数有三种可能即 1,3,5第二个 正方体出现偶数也有三种可由乘法原,时共有 种同的情形【答案】 9【 16 有个子每个子六面别 1、345、 个点意这个子向上面数 和偶的形多种【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 方法：要使两个骰子点数之和为偶只这两个点数奇偶性相,以分为两步：第一步第一个骰子随意掷有 可能的点数；第二步当第一个骰子的点数确定了以第二 个骰子的点数只能是与第一个骰子的点数相同奇偶性的 种可能的点数根据乘法原理向上一面的点数之和为偶的情形有 6

25、种）方法二：要使两个骰子点数之和为偶只要这两个点数的奇偶性,以,以分为两类： 第一类：两个数字同为奇数有 种）不同的情形第二类：两个数字同为偶数类似第一,也有 3 （）不同的情形根据加法原向上一面点数之为偶数的情形共有 （）方法三：随意掷两个骰总共有 36 种）不同的情形因为两个骰子点数之和为奇数与偶数 的可能性是一样所以点数之和为偶数的情形有 （）【答案】 18【固 有个子每个子六面别 1、5、 个点意这个子向上一面数 和偶的形多种【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 方法一要使三个点数之和为偶数 有种情况,三点数都为偶数 或者一个点数为偶数另外两个点 数为奇数可以分为三步

26、：第一第个骰子随意掷有 6 种能的点数；第二当第一个骰子的点 数确定了以第二个骰子的点数还是奇偶数都有可能所有也有 6 可能的点数三当前两个 骰子的点数即奇偶性都确定了之后第三个骰子点数的奇偶性就确定了所以只有 可能的点数根据乘法原理向上一面的点数之和为偶的情形有 6 （种）方法二：要使三个点数之和为偶数 有两种情况,三点数都为偶数或者一个点数为偶数外两个点 数为奇数所以要分两大类来考虑：第一类：三个点数同为偶数由于掷骰子可认为是一个一个地掷每掷一个骰子出现偶数 点数都有 种能由乘法原理,这类共有 27 （）同的情形第二类：一个点数为偶数另外两个点数为奇数先选一个骰子作为偶数点数的骰子有 3

27、种 选法然后类似第一类的讨论方共有 不情形根据加法原三个骰子向上一面点数之为偶数的情形共有 （ 【答案】 【固 3 个子掷的数中哪数有能？【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 对于 3 个子的情,况比较复杂点和的取值范围是 到 18,中点数和为 3 到 8 的况种数 可以用隔板法求例, 点情,实际上将 8 隔 段一有 7 (2 种而 13 到 的点数情况种数也可以直接求出 ,例如点数为 13 的况 每个骰子的数值分别记为 (7 ) (7 ) 、 (7 ) , 、 b 、 的值都是 到 则问题变为 (7 ) (7 ) (7 ) 的 的数量即 a 的的数这又可以用隔板法来求得数还

28、是 种(事实上构成的数表一 定是左右对称的 对点数和为 、 10 、 11 的情况能用隔板法来求 如对 进行隔板有 8 但 28 种中还包括了 、7,1、7、1 三情况所实际的情况有 种对于点数和为 10 点的情况用挡板法求得 45 种扣除 种现超过 6 点情况还有 36 种详表 如图：7-4.乘原理之数字问题（二） .库教师版page 7 9所以 3 个子的点数和, 和 的能性最大【答案】10 和 【 17 一电表 点 分 6 时显示时如所。么 点 10 点这时内电子上 六数都相有_个。 : : 【考点】加乘原理之综合运用 【度3 星 【型】填空【关键词】希望六年级一, 16 【解析】 分的

29、位只能取 2,考虑秒的十位可以取 、5 三,的个位可以取 10-4=6 种秒个位可以取 10-5=5 所以一共有 种【答案】 【 18 有种 位表时的方：两表分三四表时五六表日七八表月后四 位示不数 面 0照种法 , 年 月 日 点 分可表为 个的点是它一12 的序即数顺正写着都相的 自数称反序如 23032 是序 与 82 相,所以 28, 都是序 问从元 年 2002 年 12 共多个样时？【考点】加乘原理之综合运用 【度 【题型】解答【解析】 反序是关于中心对称数期的两个数可以是 的任意一个份的前两位可以是 10 中的任意数份的末两位可以分别是 9,0 的任意数公元 公元 2000 年符合条件的数共有 1080 个2000,2