高中数学排列组合问题的类型及解答策略学法指导

1、高中数学排列组合问题的种类及解答策略排列组合问题，联系实质，生动风趣，但题型多样，思路灵巧，不易掌握。实践证明，备考有效的方法是题型与解法归类，鉴识模式，娴熟运用。本文介绍十二类典型排列组合问题的解答策略，供参照。一、相邻问题捆绑法例16名同学排成一排，其中甲、乙两人必定排在一同的不一样样排法有（）种A.720B.360C.240D.120解：因甲、乙两人要排在一同，故将甲、乙两人捆在一同视作一人，与其余四人进行5252全排列有A5种排法；甲、乙两人之间有A2种排法。由分步计数原理可知，共有A5A2=240种不一样样排法，选C。评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决关于某几个元素

2、相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。二、相离问题插空法例2要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不一样样的排法？（只需求写出式子，不用计算）解：先将6个歌唱节目排好，其不一样样的排法为A66种；这6个歌唱节目的空隙及两头共7个地点中再排4个舞蹈节目，有A74种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A74A66种。评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不可以相邻，由其余元素将它们分开。此类问题可以先将其余元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两头地点，故称插空法。三、定序问题缩倍法例3信号

3、兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不一样样信号的种数是_（用数字作答）。解：5面旗全排列有A55种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一A55次的挂法，故共有不一样样的信号种数是=10（种）。A33A22评法：在排列问题中限制某几个元素必定保持必定次序称为定序问题。这类问题用减小倍数的方法求解比较方便快捷。四、标号排位问题分步法例4同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，此后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分派方式有（）A.6种B.9种C.11种D.23种解：本题可以看作是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3

4、，4填一个数，且每个方格的标号与所填数不一样样的填法问题。所以先将1的四个方格里，每格填入2至4号的3个方格里有C13种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其余3个方格，又有C13种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有331=9种填法，而选B。评注：把元素排在指定号码的地点上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，这样连续下去，依次即可达成。五、有序分派问题逐分法选派例5有甲、乙、丙三项任务，甲需由4人肩负这三项任务，不一样样的选法共有（2人肩负，乙、丙各需由）种1人肩负，从10人中A.1260B.2025C.2520D.

5、5040解：先从10人中选出2人肩负甲项任务，再从剩下8人中选1人肩负乙项任务，最后从剩下7人中选1人肩负丙项任务。依照分步计数原理可知，不一样样的选法共有C102C18C17=2520种，应选C。评注：有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，常采用逐渐下量分组法求解。六、多元问题分类法例6由数字0，1，2，3，4，5构成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A.210个B.300个C.464个D.600个解：按题意个位数只可能是0，共5种情况，符合题意的分别有A5，A1A1A2，12345433A1A1A3，A1A1A3，A1A3个。归并总计，共有A5A1A1A3A1A1A

6、3A1A1A3333233335433333233A13A33=300（个），应选B。评注：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分红互不相容的几类情况分别计算，最后总计。另解：先排首位，不用0，有A51种方法；再同时排个位和十位，由于个位数字小于十位数字，即次序固定，故有C52种方法；最后排节余三个地点，有A33种排法。故共有符合要求的六位数A15C52A33=300（个）。七、交织问题会合法例7从6名运动员中选出4名参加4100米接力赛，假如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不一样样的参赛方法？解：设全集U=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，依照求

7、会合元素个数的公式可得参赛方法共有card(U)card(A)card(B)card(AB)A46A35A35A24=252（种）。评注：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数的公式：card(AB)card(A)card(B)card(AB)来求解。八、定位问题优限法例8计划展出10幅不一样样的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈设，要求同一品种的画必定连在一同，并且水彩画不放在两头，那么不一样样的陈设方式有（）A.A44A55B.A33A44A55C.C13A44A55D.A22A44A55解：先把3种品种的画看作整体，而水彩画不可以放在头尾，故只能放在中间，

8、则油画与国画有A22种放法。再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。故总的排列的方法为A22A44A55种，应选D。评注：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或地点）在解题时优先考虑。九、多排问题单排法例9两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不一样样的坐法种数为（）A.C85C83B.A12C85C83C.A85A83D.A88解：本题分两排坐，实质上就是8个人坐在8个座位上，故有A88种坐法，所以选D。评注：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑。十、最少问题间接法例10从4台甲型和5台乙型电视机中随意取出3台，其中最少要甲型与乙型电视机各一台，则

9、不一样样的取法共有（）种A.140B.80C.70D.35分析：在被取出的3台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意，故符合题意的取法有C93C43C53=70种，选C。评注：含“至多”或“最少”的排列组合问题，平常用分类法。本题所用的解法是间接法，即除去法（整体去杂），合用于反面情况明确且易于计算的情况。十一、选排问题先取后排法例11四个不一样样的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_种（用数字作答）。解：先从四个小球中取两个放在一同，C42种不一样样的取法；再把取出的两个小球与其余两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A34种不一样样的放法。依照分步计数原理，共有C42A34144种不一样样的方法。评注：这是一道排列组合的混淆应用题目，这类问题的一般解法是先取（组合）后排（排列）。本题正确求解的要点是把四个小球中的两个视为一个整体，假如考虑不周，就会出现重复和遗漏的错误。十二、部分符合条件裁汰法例12周围体的极点及各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不一样样的取法共有（）A.150种B.147种C.144种D.141种解：10个点中取4个点共有C104种取法，其中同一侧面内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有4个；又同一条棱上的3个点与对棱的中点也四点共面，共有6个面；再各棱中点共6个点中，取四点共