直线与圆基础知识

1、（一）直线1、 直线的斜率与倾斜角(1) 斜率：两点的斜率公式：P( x1 , y1), Q( x2 , y2 ) ，则 kPQy2y1 (x2 x1 )x2x1直线的倾斜角范围： 0 ,180（3）斜率与倾斜角的关系：ktan(90 )注：（ 1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为0 的直线斜率为0 ；倾斜角为 90 的直线斜率不存在。2、直线方程点斜式： y y0 k( x x0 ) ；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：ykxb ；适用于斜率存在的直线注： b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：xx1yy1 (x1x2

2、 , y1 y2 ) ；适用于斜率存在且不为零的直线x2x1y2y1（4）截距式： xy1 ；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线ab（5）一般式： Ax ByC0（ A,B 不同时为 0 ）（6）特殊直线方程斜率不存在的直线（与y 轴垂直）： xx0 ；特别地， y 轴： x0斜率为 0 的直线（与 x 轴垂直）： yy0 ；特别地， x 轴： y0在两轴上截距相等的直线：（） yxb ；（） y kx在两轴上截距相反的直线：（） yxb；（） y kx在两轴上截距的绝对值相等的直线：（） yxb ；（） yxb ；（） ykx3、平面上两直线的位置关系及判断方法（1） l1 : yk1

3、 xb1; l2 : yk2 xb2平行： k1k2 且 b1b2 （注意验证 b1b2 ）重合： k1k2 且 b1b2相交： k1k2特别地，垂直： k1k21（2） l1 : A1xB1 yC10;l 2 : A2 xB2 yC20平行： A1B2A2B1 且 AC1 2A2C1 （验证）重合： A BA B且 AC2A C1221121相交： A1B2A2 B1特别地，垂直：A1A2B1B20（3）与直线 AxByC0 平行的直线可设为：AxBym0与直线 AxByC0垂直的直线可设为：BxAyn04、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：A( x1, y1 ), B( x2 , y2

4、 ) ，则 AB( x1x2 ) 2( y1y2 )2（2）线段中点坐标公式：A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 A, B 中点的坐标为 ( x1x2 , y1y2 )22（ 3）三角形重心坐标公式：A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) ，则三角形 ABC 的重心坐标公式为： ( x1x2x3 , y1y2y3 )33（4）点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : AxByC0的距离公式： dAx0By0CA2B2（ 5） 两 平 行 线 l1 : AxByC1 0;l2 : Ax ByC20(C1C2)间的距离：dC2C1

5、（用此公式前要将两直线中x, y 的系数统一）A2B2（6）点 A 关于点 P 的对称点 B 的求法：点P 为 A, B 中点（7）点 A 关于直线 l 的对称点B 的求法： 利用直线AB 与直线 l 垂直以及 AB 的中点在直线上，列出方程组，求出点 B 的坐标。（二）、圆1、圆的方程（1）圆的标准方程： ( x a)2( yb) 2r 2 ，其中 (a, b) 为圆心， r 为半径（ 2 ） 圆 的 一 般 方 程 ： x2y2DxEy F 0(D 2E24F 0)，其中圆心为(D ,E ) ，半径为1D 2E 24F (只有当 x2 , y2 的系数化为1 时才能用上述公式 )222注意

6、：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。2、直线与圆的位置关系(1) 直线 l : AxByC0 ，圆 C :( x a) 2( yb) 2r 2 ，记圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离Aa BbCdB2A2直线与圆相交 ,则 0dr 或方程组的0直线与圆相切，则dr 或方程组的0直线与圆相离，则dr 或方程组的0（2）直线与圆相交时，半径r ，圆心到弦的距离d ，弦长 l ，满足： l 2 r 2d23）直线与圆相切时，切线的求法：（）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线 ,切点与圆心的连线与切线垂直；（）已知切线斜率求切线，有两条互相平行

7、的切线，设切线方程为y kxb ，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值；（）已知过圆外的点P( x0 , y0 ) 求圆 C : ( x a)2( yb)2r 2 的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：yy0k ( x x0 ) ，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出 k 的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为xx0 ，验证圆心到切线距离是否等于半径。由圆外点 P( x0 , y0 )向圆 C : ( xa)2( yb) 2r 2 引切线，记 P,C 两点的距离为 d ，则切线长 ld2r 2（ 4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d ，则圆上点到直线的最近距离为d r ，最远距离为 dr3、两圆的位置关系圆 C :( x a ) 2( y b )2r2， 圆 C: (x a 2)( y b2)2，r 两 圆 圆 心 距 离11112222d( a1a2 ) 2(b1b2 )2(1) 两圆相离，则 dr1r2（ 2）两圆相外切，则 d r1r2（ 3）两圆相交，则 r1 r2d r1 r2注：圆 C1 : x2y2D1xE1