专题4.6 正弦定理与余弦定理(重难点突破)

1、2 2 2 4 R 2 22 22 2 2 4 R 2 22 2专题 正弦定理与余定理一考分掌正弦定理、余弦定理，并能解决一些简的三角形度量问.二经分考一正定和弦理 中，若角 A，C 所对的边分别是 a， 为 外圆径，则定理公式常见变形正弦定理 b Rsin A sin C(1)asin A2RsinB，csinC A ， B ， C ； 2R R(3)acsinAsinBC；(4)a sin ，sin csin ， C 余弦定理b2ccos；b2 a2a2cosB；2b2abC c2cacos ；2c2a2cos ；2b2c2cos Cabc2ABC1 1 1 abc 1 sin C A a

2、csin B a)rr 是三角形内切圆的半，可由此计算 ，. 中，已知 ， 和 A 时，解的情况如下：A 为角图形A 为钝或直角关系式解的个数sin A一解sin A一解b无解考二三函关和影理三形中的三角函数关系 C(1)sin(A ；cos ；(3)sin ； . 三形中的射影定理在 中abcos Ccos ；acos ccos A；cos Acos . AB 223 4 AB 223 4 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第边ABabsin sin cos ，所以 ，所以 B 以 B，又 ， 所以 A6075. 【变式训练 eq oac(, ) 中， ， ，a，则 b 等 )A2 B1

3、C. D. 2【案D b 1 【解析】由正弦定理 ， ，所以 ，所以 b sin A sin sin 4 2 例 2、(2020 贵阳拟平行四边形 ABCD 中AB2，4，则 BD( )A4C. 19【答案】B 【解析】如图所示 10 AB2AC2 416 1在 ，3，由余弦定理得 ABC ，所以 coscosABC ， ABD 中，由余弦定理得 BD 2AD DAB32 所 BD 10. ABC2 ABC2 c【变式训练 】 eq oac(, ) 的角 AB 的边分别为 bc eq oac(, )ABC 的积为 则 C ) D. 3 4 6【案C b2c【解析题可知 S sin 以 c22s

4、in 余定理 cabC，以 sin Ccos 因为 ，所以 C 故选 3例 3(2020 泸州拟 eq oac(, ) 中，角 B 为 ，BC 边的高恰为 BC 边的一半，则 ) C.【答案】A【解析】设 BC 边上的高为 ，则 2h ，余弦定理，ACBC2AB Bh2422 2 10h2AB，故 10所以 AB 2 5 .2 2h 【变式训练 eq oac(, ) 中，c，cos (1)求 ， 的值；(2)求 sin()的值 3【答案）57.（） .【解析】(1)由余弦定理 ba2c，得32 c23c 2 因为 c2，所以(2 c23 2 解得 c，所以 b 3(2)由 cos ，得 2c

5、3由正弦定理，得 sinC sinB . 14在 B 是钝角，所以 C 为角，所以 cos sin . 所以 BCcosBC 重点型破 2 利正、余弦定理边角互化例 4 eq oac(, )ABC 的角 A 所的边分别为 bcos ccos B ABC 的状为 )A锐角三角形 C角三角形B角三角形 D确【案【解析】由正弦定理得 sin Csin Ccos B2A sin(C)sin2，即 sin(A)2A，sin AA(0，sin A0，sin 1即 A ， 为角三角形c【变式训练 汉研)在 ABC ，角 AB 所的边分别为 abc，若 A， eq oac(, )ABC 为( )A钝角三角形

6、C角三角形B角三角形 D边角形【答案】Ac【解析】因为 A，所以 cb，正弦定理得 sincosA又 A，所以 sinAB)所以 sincosABsinA，所以 B，又 sinA，所以 B0B 为钝角，所 eq oac(, ) 是钝角三角形【变式训练 (2019 全国 eq oac(,) eq oac(, )ABC 的内角 C 的边分别为 知 B4C b ，则 ) A6C4 【答案】AB5D【解析】 bsin csin ，由正弦定理得 a24c2，即 4c2b2 由弦定理得 A ca2 b22b2 3c2 1 ，bc bc bc 4 c故选 【变式训练 黄冈拟)在 ABC 中，角 A，B， 的

7、边分别为 ，b， 且满足 acosccos bcos. A sin C 3 2 A sin C 3 2 (1)求角 A；(2)若 13， 6， eq oac(, )ABC 的【答案） （2 13【解析】(1)因为 2cosbC， b c在 ，由正弦定理 2， 得 aRA，2sin，c2sin，所以 AAsincosCC，即 cosAsin(BC)sin，因为 ，所以 sinA0， 所以 1即 A ，以 (2)由余弦定理 2bc22bccos，得 2 c .得(b)3bc，由 AC6，得 6所以 12.所以(c236，得 7所 eq oac(, ) 周长为 ab7 13.重点型破 3 与角形面积

8、有关的问题例 、 全国卷 eq oac(,) eq oac(, ) 的角 ， 的对边分别为 ab，.若 b，a2c， ， eq oac(, ) 的 面积为【答案】6 3【解析一为 2 以余定理 2acaccos B (2c)ccccos 1 1 ，得 c2 3所以 a4 ，所 eq oac(, ) 的面积 acsin B 3.法二：因为 2，6，B ，所由余弦定理 bc22cos ， (2)c ，得 c2 3所以 a 3，所以 ab2 1c2所以 ，所 eq oac(, ) 面积 2 【变式训练 内角 ，B， 的边分别为 ，c，已知 b， ， ， eq oac(, )ABC 的 面积为【答案】

9、 3 【解析】b， ， ， 4sin B 12 ABCbc 2 3A sin sinC BC sinA 1 sin B 12 ABCbc 2 3A sin sinC BC sinA 1 由正弦定理 ，sin B C2sin C 得 c 2，A( ) ， sin A )sin sin . 3 3 3 6 则 S sin 22 2 3 【变式训练 5-2 江西省九市模) eq oac(, )ABC 中，bc 分为角 A，B，C 的边，已知 2AB2sinBC ， eq oac(, ) 面积为 ， 值【答案】2 3【解析 eq oac(, )ABC 中由 2Acos2CsinsinC ， A(1si

10、n2Bsin2Csin22CsinAsinBCbcca 1 a2bc，由余弦定理，得 cos ，又 A(0， 由正 bc a2弦定理 得 2又 ABC 的面积为 sin bcA ABC 3，bc4，解得 【变式训练 内角 ，B， 的边分别为 ，c.知 A，a2 ，b2. (1)求 ；(2)设 为 BC 边一点，且 AD， eq oac(, )ABD 的面积【答案）4） 2【解析】由已知条件可得 A 3A，以 A ， eq oac(, ) 中由余弦定理得 424cos2，即 c2c，解得 c6(舍去)，或 c(2)法一：如图，由题设可得CAD ，所以BADBAC ， ABD ABD AB 故 面

11、 eq oac(, )ACD 面的比值为 1，AC 又 面积为 42sinBAC 3所以 ABD 的面积为 3.法二：由余弦定理得 C，AC在 eq oac(, ) 中，cos ，所以 7所以 AD 3，CD ， 所以 S 2 7sin 7 3. 7 2法三： ，由弦定理得 cos C ， 所以 7所以 AD 3所以 S 4 3. ABD 四迁应1北枣强中学 2018-2019 学期末）在 中角 ，C1b A ，则 ）3的对边分别是，若A【答案】B 7C D【解析】由余弦定理可得：bc cos ，解得a ，故选 D。2省白山市 2018-2019 学期末ABC中角, B 所对的边分别为a c

12、c sin C， 2，则 B )ABCD【答案】【解析】因为c b C ，以 C 2sin B C，所以sin B ，则 B 6或5，因为 2，所以 ，故选 。3西咸阳市 2019 届三模拟检测）已知 a.b. 分别 的内角 A、 的对边，若 则 的形状为（ ）A钝角三角形B角三角C角三角形边三角形【答案】c cos ， cosA【解析】由sinC A又因为在ABC 有sinA sinBcos sinBcosA 即 sinAB 所以又因为 ，以 cos ，所以角 为角所 的形状为钝角三角形故选 Ac A，4北石家庄市 2019 届中毕业模拟） 中角 A， ，C的对边长分别为 a ， ，足 3 B ， b ， 的积为（ ）