模型五：数列中的存在、恒成立问题（解析版）

1、模型五：数列中的“存在、恒成立问题”在“知识交汇处命题”是高考试题的主要特色，不等式中的“存在、恒成立问题”是高考经久不衰、常考常新的热点问题。数列作为特殊函数，“存在、恒成立问题”能巧妙地植入数列中，甚至是以数列形式进行巧妙“包装”。一、探究数列中的存在性问题例1.在公差不为零的等差数列 HYPERLINK 和等比数列 b中 , b , = b, = b,问是否存在常数、b使得一切nN，都有=log+b成立，若存在，求出所有n的值，若不存在说明理由。【解析】易得数列 HYPERLINK 的公差d=5, 数列 b的公比q=6,假设存在常数、b使=log+b 成立，即1+5(n-1)= log,

2、(5- log)n=4+b- log 对一切nN成立于解得a=6 b=1存在常数 =6 b=1 满足题意。【点睛】是否存在的探索性题的一般解法：假设存在，再演绎推理，导出矛盾或找出结论。 二、与分组求和整合例2.已知数列 HYPERLINK 中，（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。【解析】（1）， 数列是以1为首项，为公比的等比数列；数列是以 HYPERLINK 为首项，为公比的等比数列。（2）（3）当且仅当 HYPERLINK 时取等号，所以，即，的最大值为48 【点睛】数列中的恒成立问题“参变分离”后等价转化成以正整数n为自

3、变量的函数问题来求解。如本题中通过分组把非特殊数列转化成两个等比数列求和，再利用分离常数法求函数最值即可。三、与裂项相消求和交汇例3.已知各项为正的数列的前项和为 。（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，当不等式（）恒成立时，求实数的取值范围。 (eq f(1,2n1)eq f(1,2n1)所以Tn (1eq f(1,3)(eq f(1,3)eq f(1,5)(eq f(1,2n1)eq f(1,2n1) (1eq f(1,2n1)当为偶数时，要使不等式（）恒成立，只需不等式恒成立即可，等号在时取得， 当为奇数时，要使不等式（）恒成立，只需不等式恒成立即可，是随的增大而增大

4、，时，取得最小值， 综合可得的取值范围是 四、与错位相减求和联合例4.（2015.成都一模）已知各项均为正数的等差数列前三项的和为27，且满足.数列的前n项和为，且对一切正整数n,点(n，Sn)都在函数的图象上.(I) 求数列和的通项公式； (II)设数列的前n项和，且，若对恒成立,试证明：（2） 由- 可得点评：对等差数列和等比数列乘积型数列求和适合用错位相减法求和，问题转化成函数恒成立，分离参数时注意对n的奇偶的讨论。四、与函数思想-数列单调性解整合例5在Sn2bn1，4bnbn1(n2)，bnbn12(n2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在

5、，说明理由已知数列an为等比数列，a1eq f(2,3)，a3a1a2，数列bn的首项b11，其前n项和为Sn，_，是否存在kN*，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立？【解析】设等比数列an的公比为q，因为a1eq f(2,3)，a3a1a2，所以qeq f(a3,a2)eq f(2,3)，故aneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n).若选，解答过程如下：因为Sn2bn1，所以Sn12bn11(n2)，两式相减并整理得eq f(bn,bn1)2(n2)，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn2n1.所以anbneq blc(rc)

6、(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)2n1eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)eq sup12(n).由指数函数的性质知，数列anbn为递增数列，没有最大项，所以不存在kN*，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立若选，解答过程如下：由4bnbn1(n2)，b11，知数列bn是首项为1，公比为eq f(1,4)的等比数列，所以bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n1).所以anbneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)eq blc(rc)(avs4alco1(

7、f(1,4)eq sup12(n1)(4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)eq sup12(n)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)eq sup12(n)4eq f(1,6)eq f(2,3).所以存在k1，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立若选，解答过程如下：由bnbn12(n2)知数列bn是公差为2的等差数列又b11，所以bn2n1.设cnanbneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)(2n1)，则cn1cneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n1)(2n1)eq bl

8、c(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)eq f(52n,3).所以当n2时，cn1cn，当n3时，cn1cn.即c1c2c3，c3c4c5.所以存在k3，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立五、与主干知识“联谊”例6、（2022届浙江省高考仿真模拟（5）T20）已知数列满足，数列满足，（）数列，的通项公式；（）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值（）由得，所以数列是等比数列，公比为，解得由，得，所以是一个以为首项，以1为公差的等差数列，所以，解得（）由得，记，所以

9、为单调递减且，所以，因此，当时，的的最大值为44；当时，的的最大值为43；故的的最大值为44【强化演练】1.已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有.()求数列的通项公式；()若对任意的恒成立，求实数的最大值.【解析】 () 当时， ，又各项均为正数 数列是等差数列， ()，若对于任意的恒成立，则 令，当时 因，所以 则实数的最大值2.设数列an的前n项和为Sn，且a1=2，an12Sn2 （）求数列an的通项公式； （）若数列bn的各项均为正数，且bn是eq f(n,an)与eq f(n,an2)的等比中项，求bn的前n项和为Tn；若对任意，都有，求实数的取值范围【解析】（）当n2

10、时，由，得，两式相减得，故，当时，此时，故当时，则数列是首项为2，公比为3的等比数列，. 6分（）. 8分 所以. 则. ，则. 则得：. 所以，由于单调递增，则的最小值为， 由，得或者，解得或者. 12分注：本题对人教A版必修1第75页习题2.2 B组第2题）：原题：若，且，求实数的取值范围.进行巧妙的改编与整合。本题对新教材2019人教A版必修一第141页习题4.4B组第12题）：原题：若，且，求实数的取值范围.进行巧妙的改编与整合。3.(2021届天津市滨海新区高三毕业班质量监测（二）T19）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足，.（）求数列的通项公式；（）求数列前项和；（）在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，即，又，即，解得，对于，有，故，（2）（3）在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1，下面说明理由若，则由，得化简得，此式左边为偶数，右边